牛頓法在兩類弱H?lder條件下的收斂性*

徐秀斌, 李凱富

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

牛頓法在兩類弱H?lder條件下的收斂性*

徐秀斌, 李凱富

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

對(duì)于Banach空間中一般的非線性方程,在一階導(dǎo)數(shù)滿足L平均的仿射徑向H?lder條件下,討論了經(jīng)典牛頓迭代法的局部收斂性,得到了局部收斂性條件,同時(shí)證明了該方法的R收斂階至少為1+p.在F′滿足L平均的H?lder條件下,利用遞推關(guān)系,給出了牛頓法的半局部收斂性定理.

牛頓法；L平均的仿射徑向H?lder條件；L平均的H?lder條件；局部收斂性；半局部收斂性

0 引 言

在工程和應(yīng)用數(shù)學(xué)上有大量的問題需要求非線性方程的解,然而這類非線性方程中的大部分都沒有解析解,因此需要用數(shù)值逼近的方法去求方程的近似解.通常,用迭代法得到一個(gè)收斂序列,用來逼近原方程的解.牛頓法是應(yīng)用最為廣泛的方法之一,眾多學(xué)者對(duì)牛頓法的收斂性做了大量的工作[1-4].

設(shè)X,Y是Banach空間,Ω?X是開凸子集,F:Ω?X→Y為非線性算子,且有連續(xù)的Fréchet導(dǎo)數(shù)F′.求解的非線性算子方程為

(1)

用于求解的牛頓法取如下形式:

(2)

式(2)中,x0∈Ω是初始點(diǎn).研究牛頓法的收斂性質(zhì),主要是研究其局部收斂性和半局部收斂性.近年來,在局部收斂性研究方面,文獻(xiàn)[5-6]給出了比Lipschitz條件更一般、更弱的L平均的徑向Lipschitz條件:

(3)

式(3)中:x*是F(x)的零點(diǎn)；ρ(x)=‖x-x*‖；L是取正值的非減可積函數(shù)；xτ=x*+τ(x-x*).且在條件(3)下得到了局部收斂性的最佳半徑r,即對(duì)于收斂球B(x*,r)內(nèi)的任意初值x0,由式(2)產(chǎn)生的序列都收斂到x*，若增加球半徑，則球內(nèi)總存在x0，使式(2)產(chǎn)生的序列不收斂到x*.受文獻(xiàn)[5-6]的啟發(fā)，本文引入如下的F′滿足L平均的仿射徑向H?lder條件：

(4)

式(4)中:ρ(x)和L由式(3)定義；p∈(0,1].在條件(4)下證明了牛頓法(2)的局部收斂性,得到了收斂階與解的唯一性.

關(guān)于牛頓法最經(jīng)典的一類半局部收斂性定理,來源于Newton-Kantorovich定理[7],這個(gè)定理建立在如下假設(shè)之上：

1)對(duì)初始近似x0∈Ω,存在Γ0= [F′(x0)]-1∈L(X,Y),‖Γ0‖≤β,且‖Γ0F(x0)‖≤η;

2)存在常數(shù)L≥0,?x,y∈Ω,有‖F(xiàn)′(x)-F′(y)‖≤L‖x-y‖;

近年來,有很多文獻(xiàn)通過改進(jìn)Newton-Kantorovich定理中的F′需滿足的條件,研究了牛頓法的半局部收斂性[8-10].文獻(xiàn)[11]用更寬松的ω-條件代替Lipschitz條件.受這些研究的啟發(fā),本文引入關(guān)于L平均的H?lder條件，即下面的條件(C2).

(C1)對(duì)初始近似x0∈Ω,存在Γ0=[F′(x0)]-1∈L(X,Y),且‖Γ0‖≤β,‖Γ0F(x0)‖≤η.

其中：ρ(x,y)=‖x-y‖;L由式(3)定義.由條件(C1)和(C2),本文通過構(gòu)造實(shí)遞推序列得到牛頓法(2)的半局部收斂性,此時(shí)序列{xn}具有R收斂階至少為1+p.

1 局部收斂性分析

下面研究當(dāng)F′滿足L平均的仿射徑向H?lder條件時(shí)方法(2)的局部收斂性,并給出了相應(yīng)的局部收斂性定理.為證明本文定理，先給出如下引理：

引理1 假設(shè)F在B(x*,r)內(nèi)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),F′(x*)-1存在,且F′(x*)-1F′滿足L平均的中心H?lder條件

(5)

定理1 假設(shè)F(x*)=0，F(xiàn)在B(x*,r)內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),F′(x*)-1存在,且F′(x*)-1F′滿足L平均的仿射徑向H?lder條件

(6)

式(6)中:p∈(0,1];xτ=x*+τ(x-x*);ρ(x)=‖x-x*‖;L是正的非減可積函數(shù).若r滿足

(7)

則牛頓法對(duì)任意的初值x0∈B(x*,r′)都收斂,且

(8)

證明 任意選取x0∈B(x*,r′),則由r滿足式(7)可推得q<1.事實(shí)上,由L的單調(diào)性知,對(duì)任意0

xn+1-x*=F′(xn)-1(F(x*)-F(xn)+F′(xn)(xn-x*))=

其中,xτ=x*+τ(xn-x*).因此,由引理1和式(6)可得

故式(8)成立,從而可以得到牛頓法(2)具有R收斂階至少為1+p.定理1證畢.

下面證明方程(1)解的唯一性.

定理2 假設(shè)F(x*)=0,F在B(x*,r)內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),F′(x*)-1存在,且 F′(x*)-1F′滿足L平均的中心H?lder條件

(9)

式(9)中:ρ(x)=‖x-x*‖;p∈(0,1];L是正的非減可積函數(shù).若r滿足

(10)

則方程F(x)=0在B(x*,r)內(nèi)有唯一解x*.

證明 任意選取x0∈B(x*,r),設(shè)F(x0)≠0,考慮如下迭代格式:

(11)

則

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明,存在q0<1,使得

(12)

(13)

2 半局部收斂性分析

接下來利用遞推關(guān)系式的技巧,研究當(dāng)F′滿足關(guān)于L平均的H?lder條件時(shí),牛頓法(2)的半局部收斂性,同時(shí)半局部收斂性定理給出了解的存在性、唯一性及相應(yīng)的解的誤差界.

(15)

式(15)中:

(16)

易知如下引理2:

引理2 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)由式(16)定義,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),有

1)f(x)是單調(diào)遞增的,且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)>1;

2)?γ∈(0,1),有f(γx)

為了研究序列(15)的性質(zhì),考慮輔助函數(shù)

(17)

引理3 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)由式(16)定義,a0∈(0,ζ)，p∈(0,1],則

1)f(a0)1+pg(a0)p<1;

2)f(ai)g(ai)

3)序列{an}是嚴(yán)格單調(diào)遞減的,且an∈(0,ζ)對(duì)所有的n≥0都成立.若a0=ζ,則an=a0<1.

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明1).當(dāng)n=2時(shí),由式(15)和引理3可知

引理5 若a0∈(0,ζ),x1∈Ω,在(C1)和(C2)條件下,由遞推關(guān)系式(15)產(chǎn)生的序列{an}及式(2)產(chǎn)生的序列{xn}滿足如下性質(zhì):

1)Γn-1=[F′(xn-1)]-1存在，且‖Γn-1‖≤f(an-2)‖Γn-2‖,n≥2；

2)‖xn-xn-1‖≤f(an-2)g(an-2)‖xn-1-xn-2‖,n≥2.

由式(2)可得,

因此,

f(a0)g(a0)‖x1-x0‖<‖x1-x0‖.

從而,

所以

由算子的Banach引理知,存在算子Γn-1=[F′(xn-1)]-1,且

另外，

從而，

‖xn-xn-1‖≤‖Γn-1‖‖F(xiàn)(xn-1)‖≤

f(an-2)f(an-3)…f(a0)‖Γ0‖Lm‖xn-1-xn-2‖p‖xn-1-xn-2‖≤

f(an-2)f(an-3)…f(a0)‖Γ0‖Lm[f(an-3)g(an-3)…f(a0)g(a0)]p‖x1-x0‖p‖xn-1-xn-2‖≤

由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)任意n≥1,1)和2)成立,且xn∈B(x0,R).引理5證畢.

下面給出半局部收斂性定理.

(18)

則x*是式(1)的唯一解.且當(dāng)a0∈(0,ζ)時(shí),序列{xn}具有R收斂階至少為1+p,

(19)

證明 由a0∈(0,ζ)和η

(20)

(21)

所以xn∈B(x0,R).因?yàn)锽(x0,R)?Ω,所以xn∈Ω,n≥0.

下證{xn}是柯西序列.由{xn}的定義知，

(22)

當(dāng)n→∞,對(duì)任意的m∈Z+,‖xn+m-xn‖→0,所以{xn}是柯西序列.設(shè)x*是{xn}的極限,下證x*是式(1)的解.由引理4和引理5可知,

(23)

下證x*的唯一性.假設(shè)y*是F(x)=0在B(x0,R)中的另一個(gè)解,則

(24)

所以式(18)保證了‖I-Γ0T‖<1.由Banach引理知，算子T的逆存在,所以x*=y*.

3 結(jié) 語

本文先討論了牛頓法的局部收斂性,得到了F′滿足L平均的仿射徑向H?lder條件時(shí)的收斂球半徑,以及F′滿足L平均的中心H?lder條件時(shí)方程具有唯一解的球半徑;接著討論了牛頓法在滿足關(guān)于L平均的H?lder條件下的半局部收斂性和收斂階.但本文未給出局部收斂性中牛頓法收斂球的最優(yōu)半徑和方程具有唯一解的最優(yōu)半徑,這是值得以后繼續(xù)研究的課題.

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[4]Argyros I K.On the convergence region of Newton′s method under H?lder continuity conditions[J].Int J Comput Math,2010,87(2):317-326.

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[10]Ezquerro J A,Gonzlez D,Hernndez M A.Majorizing sequences for Newton′s method from initial value problems[J].J Comput Appl Math,2012,236(9):2246-2258.

[11]Ezquerro J A,Hernndez M A.On an application of Newton′s method to nonlinear operator withω-conditioned second derivative[J].BIT,2002,42(3):519-530.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Convergence analysis of Newton method under two types of weak H?lder condition

XU Xiubin, LI Kaifu

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

Under the affine radius H?lder condition withLaverage for the first order Fréchet derivative, the local convergence of classical Newton method for solving nonlinear equations was studied. Some local convergence conditions were given, theR-order of convergence was proved to be at least 1+punder those conditions. Under H?lder condition withLaverage for the first order Fréchet derivative, by the technique based on recurrence relation instead of majorant principle, the semilocal convergence theorem was established.

Newton method; affine radius H?lder condition withLaverage; H?lder condition withLaverage; local convergence; semilocal convergence

10.16218/j.issn.1001-5051.2017.03.001

?2017-03-11；

2017-04-15

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11671365);浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(17A010006)

徐秀斌(1962-)，男，浙江蘭溪人，教授，博士.研究方向：數(shù)值逼近.>

O241.7

A

1001-5051(2017)03-0241-08