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    某些近于凸函數(shù)的子族的一些性質(zhì)

    2017-09-06 09:46:15傅秀蓮
    關(guān)鍵詞:計算機(jī)系解析定理

    傅秀蓮

    (廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計算機(jī)系, 廣州 510510)

    某些近于凸函數(shù)的子族的一些性質(zhì)

    傅秀蓮

    (廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計算機(jī)系, 廣州 510510)

    本文介紹和研究了一個近于凸函數(shù)的子族Ks(λ,α,β)的問題. 得到了包含關(guān)系,系數(shù)不等式和卷積等性質(zhì),推廣了Ks(α,β)結(jié)果.

    近于凸函數(shù); 卷積; 系數(shù)估計

    用A表示在U={z:z∈C,|z|<1}上形如

    的全體解析函數(shù)所成的函數(shù)類.用S表示在A中全體單葉函數(shù)族.

    設(shè)f(z)和F(z)在U內(nèi)解析,如果存在U內(nèi)的解析函數(shù)w(z)使得|w(z)|≤|z|且滿足f(z)≡F(w(z)),則稱f(z)從屬于F(z),記為f(z)F(z)或者fF.若f(z)在U內(nèi)單葉,則f(z)F(z)當(dāng)且僅當(dāng)f(0)=F(0)和f(U)?F(U).

    本文模仿C(k)(λ,α,β)的定義,給出了函數(shù)族Ks(λ,α,β)的定義,定義如下:

    定義1 設(shè)0≤α≤1,0<β≤1,0≤λ≤1,如果函數(shù)f(z)∈A滿足

    特別地,Ks(0,α,β)=Ks(α,β),所以Ks(λ,α,β)是Ks(α,β)的推廣.

    為了得到定理,需要下面的幾個引理.

    其中

    B2n-1=2b2n-1-2b2b2n-2+…+

    則G(z)∈S*.

    主要結(jié)論:

    定理1 設(shè)0≤α≤1,0<β≤1,0≤γ≤1,則f∈Ks(λ,α,β)當(dāng)且僅當(dāng)

    則式(2)可以寫成

    定理2 設(shè)0≤α≤1,0<β≤1,0≤λ≤1,則Ks(λ,α,β)?C?S.

    下面分兩種情況討論:

    1)當(dāng)λ=0,顯然f(z)=F(z)∈C.

    定理3 設(shè)0≤α1≤α2≤1,0<β1≤β2≤1,0≤λ≤1.則Ks(λ,α1,β1)?Ks(λ,α2,β2).

    證明:設(shè)f(z)∈Ks(λ,α1,β1),由定理1可得

    其中B2n-1由式(4)給出.

    證明:令F(z)=(1-λ)f(z)+λzf′(z),通過計算可得

    所以F(z)和G(z)滿足引理5的條件,由式(5)可得式(7).

    成立,其中B2n-1由式(4)給出,則f∈Ks(λ,α,β).

    證明:令F(z)=(1-λ)f(z)+λzf′(z),通過計算可得

    則對于z∈U,有

    M=|zF′(z)-G(z)|-β|αzF′(z)+G(z)|=

    取|z|=r<1,有

    (9)

    其中[]表示高斯符號.

    由引理6有

    另一方面,由引理7有

    把f(z),G(z)和p(z)的表達(dá)式代入式(10),得到

    (1+p1z+p2z2+p3z3+…+pnzn+…)

    (z+B3z3+…+B2n-1z2n-1+…)=

    z+2(1+λ)a2z2+…+2n(1+(2n-1)λ)a2nz2n+

    從式(13)可得

    2n(1+(2n-1)λ)a2n=p1B2n-1+p3B2n-3+

    (2n+1)(1+2nλ)a2n+1=B2n+1+p2B2n-1+

    結(jié)合式(11),(12),(14)和(15)可以得到

    由式(16)和(17)可得式(9).證畢.

    定理7 令|ξ|=1.則f(z)∈Ks(λ,α,β)當(dāng)且僅當(dāng)

    其中G(z)由式(3)給出.

    證明:設(shè)f(z)∈Ks(λ,α,β),由定理1可得

    這等價于

    式(19)可以寫成

    注意到

    把式(21)和(22)代入式(20),可以得到式(18).證畢.

    [1] Gao C, Zhou S. On a Class of Analytic Functions Related to the Starlike Functions[J]. Kyungpook Math. J. 2005,45(1):123-130.

    [2] Wang Z G, Gao C Y, Yuan S M. On Certain Subclass of Close-to-convex Functions[J]. Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis, 2006, 22(3):171-177.

    [3] Wang Z G, Gao C Y, Liu M S, et al. On Subclasses of Close-to-convex and Quasi-convex Functions with Respect to k-symmetric Points[J]. Advances in mathematics, 2009,38(1):44-56.

    [4] Wang Z G, Jiang Y P. On Certain Subclasses of Convex-to-convex and Quasi-convex Functions with Respect to 2k-symmetric Conjugate Points[J]. J. Math. Appl.,2007,29:167-179.

    [5] Wang Z G, Gao C Y, Yuan S M. On Certain Subclasses of Close-to-convex and Quasi-convex Functions with Respect to k-symmetric Points[J]. J. Math. Anal. Appl.,2006,322(1):97-106.

    [6] Kamali M, Akbulut S. On a Subclass of Certain Convex Functions with Negative Coefficients[J]. Appl. Math. Comput., 2003,145(2):341-350.

    [7] Sudharsan T V, Balasubrahmanyam P, Subramanian K G. On Functions Starlike with Respect to Symmetric and Conjugate Points[J]. Taiwanese J.Math.,1998, 2(1):57-68.

    [8] W. Rogosinski. On the Coefcients of Subordinate Functions[J]. Proc. London Math. Soc., 1945,48(1):48-82.

    [責(zé)任編輯 王迎春]

    Some Properties of Certain Subclass of Close-to-Conves Functions

    Fu Xiulian

    (Department of Computer Science, Guangdong College of Industry and Commerce, Guangzhou 510510, China)

    A certain new subclassKs(λ,α,β) of close-to-convex functions is introduced and discussed. The results such as inclusion relationships,coefficient inequalities and convolution property are derived, so as to generalize the results of the subclassKs(α,β).

    close-to-convex functions; convolution; coefficient bounds

    2016-12-05

    廣東省自然科學(xué)基金自由申請項目“隨機(jī)Laplace-Stieltjes變換的值分布與復(fù)方程解的存在性”(2015A030313628)

    傅秀蓮(1979-),女,碩士,副教授,主要研究方向為復(fù)分析及其應(yīng)用.E-mail: xxfxl@163.com

    10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.04.022

    O174.51

    A

    1672-948X(2017)04-0106-04

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