讓學(xué)生多維度思考問(wèn)題
——以一道練習(xí)題的教學(xué)為例

文︳郁晶晶

讓學(xué)生多維度思考問(wèn)題
——以一道練習(xí)題的教學(xué)為例

文︳郁晶晶

在學(xué)完比的應(yīng)用后，學(xué)生學(xué)習(xí)的勁頭很足，對(duì)于一般的按比例分配的題目，做題的興致很高，解答正確率高。如果遇上稍難的題目，學(xué)生會(huì)不會(huì)運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)順利解答呢？為了培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，在整理與復(fù)習(xí)課上，我給學(xué)生出示了一道綜合應(yīng)用題：甲、乙兩箱中粉筆盒數(shù)之比是5∶1，如果從甲箱里取出12盒放入乙箱中，甲、乙兩箱中粉筆盒數(shù)的比變?yōu)?∶5，那么甲、乙兩箱中共有粉筆多少盒？

這道題有一定的難度，我先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后一起探討如何解題。在思考的過(guò)程中，很多平時(shí)一拿到題目就動(dòng)筆寫(xiě)的學(xué)生輕蹙眉頭，不知從何處下手；還有的學(xué)生不停地在草稿紙上寫(xiě)寫(xiě)、畫(huà)畫(huà)。10分鐘后，有學(xué)生終于展顏，有了答案。于是我讓解出答案的學(xué)生上臺(tái)匯報(bào)。

生1的方法是：不管甲、乙兩箱中的粉筆盒數(shù)怎么變化，粉筆的總盒數(shù)是不變的，因此，可以設(shè)甲、乙兩箱共有粉筆x盒。變化前，甲、乙兩箱中粉筆盒數(shù)之比為5∶1，可知甲箱中粉筆盒數(shù)占了總盒數(shù)的，所以甲箱中有粉筆x盒；當(dāng)從甲箱取出12盒放入乙箱后，甲、乙兩箱中粉筆的盒數(shù)之比為7∶5，可知甲箱中粉筆的盒數(shù)占了總盒數(shù)的，這時(shí)甲箱中有粉筆盒。根據(jù)等量關(guān)系式：變化前甲箱的粉筆盒數(shù)-變化后甲箱的粉筆盒數(shù)=12，我們可以列出方程：x-x=12，解得x=48。所以甲、乙兩箱中共有粉筆48盒。

這一方法是借助于按比例分配的思路，根據(jù)題意列出方程解題，解題的思路清晰，計(jì)算相對(duì)容易，其他學(xué)生容易理解。

生1的方法剛講完，生2就迫不及待地匯報(bào)了他的方法，他是用比來(lái)解的。

生2的方法是：因?yàn)樽兓凹?、乙兩箱中粉筆的盒數(shù)比是5∶1，那可以設(shè)乙箱原有粉筆x盒，則甲箱粉筆為5x盒，根據(jù)“甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙兩箱中粉筆盒數(shù)的比變?yōu)?∶5”這一關(guān)鍵句來(lái)列方程。等量關(guān)系式為：（甲箱原有的粉筆盒數(shù)-12）∶（乙箱原有的粉筆盒數(shù)+12）=7∶5，列出方程為（5x-12）∶（x+12）=7∶5。

面對(duì)這一方程，學(xué)生們一籌莫展，都不會(huì)計(jì)算。于是我引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)的知識(shí)：“兩個(gè)數(shù)的比就是什么？”生答：“兩個(gè)數(shù)的比就是兩個(gè)數(shù)相除?！睂W(xué)生茅塞頓開(kāi)，反應(yīng)快的馬上把算式寫(xiě)成了（5x-12）÷（x+12）=7÷5，解出x=8，則5x=5×8=40，40+8=48（盒）。所以甲、乙兩箱中共有粉筆48盒。

還有學(xué)生指出可以運(yùn)用比例的基本性質(zhì)“兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積”來(lái)解：（5x-12）∶（x+12）=7∶5，則有（x+12）×7=（5x-12）×5，兩邊分別運(yùn)用乘法分配律去掉括號(hào)，得到7x+84=25x-60，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出x=8。

這一方法所列方程計(jì)算時(shí)有點(diǎn)復(fù)雜，但是學(xué)生能夠在老師的啟發(fā)下根據(jù)比與除法的聯(lián)系、比例的基本性質(zhì)和等式的性質(zhì)進(jìn)行解答，也非常不錯(cuò)。

當(dāng)我把期待和贊許的目光投向全班學(xué)生時(shí)，精彩又來(lái)了——

生3的方法是：不管甲箱和乙箱中的粉筆數(shù)量怎么變化，兩箱粉筆的總數(shù)量不變，就是說(shuō)單位“1”沒(méi)變，只是變化前和變化后甲箱與乙箱中的粉筆盒數(shù)所占的分率發(fā)生了變化，甲箱中的粉筆盒數(shù)變化前占了總數(shù)的，變化后占了總數(shù)。之所以會(huì)有這樣的變化，是因?yàn)榧紫淙〕?2盒給了乙箱，只要找到12盒這個(gè)比較量所對(duì)應(yīng)的分率就可以知道單位“1”的量是多少。很多學(xué)生滿臉疑惑，似懂非懂。生3根據(jù)題目中的量率對(duì)應(yīng)關(guān)系畫(huà)出線段圖（如圖1），指著線段圖中甲“取出12盒”這一部分說(shuō)：12所對(duì)應(yīng)的分率正好是（-），也就是說(shuō)，已知總數(shù)的（-）是12，求總數(shù)是多少，可以用除法計(jì)算，列式為：12÷（），答案為48盒。

圖1

這種解法干凈利落，思路非常清晰。聽(tīng)他對(duì)照線段圖分析完后，原來(lái)云里霧里的學(xué)生眉頭漸漸舒展開(kāi)來(lái)。

此時(shí)，生4興奮地站起來(lái)說(shuō)從生3的方法中得到了啟發(fā)。他一邊說(shuō)一邊畫(huà)圖（如圖2）：變化前甲乙兩箱中的粉筆盒數(shù)比為5∶1，即乙箱中的粉筆盒數(shù)占總數(shù)的；甲箱取出12盒給乙箱后，兩箱中的粉筆盒數(shù)之比為7∶5，即乙箱中的粉筆盒數(shù)占總數(shù)的；乙箱新增的這“12盒”對(duì)應(yīng)于總數(shù)的分率為（-）。

圖2

學(xué)生紛紛點(diǎn)頭，沒(méi)等生4說(shuō)完，就寫(xiě)出了算式：12÷（），算出得數(shù)為48。

當(dāng)學(xué)生沉浸在會(huì)心一悟時(shí)，我又要求學(xué)生對(duì)照板書(shū)，找出幾種方法的異同，溝通方法之間的聯(lián)系。學(xué)生積極交流、思辨，課堂呈現(xiàn)出從未有過(guò)的活躍。

一道綜合題，學(xué)生居然得出了多種解法，我在驚嘆之余，頗有感觸。

綜合題對(duì)相當(dāng)一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是有挑戰(zhàn)性的。教師要先給學(xué)生嘗試的機(jī)會(huì)，讓他們有獨(dú)立思考的時(shí)間。對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，只有思維碰壁后，才會(huì)有想要學(xué)習(xí)、想要掌握、想要傾聽(tīng)的意愿。

在解決這道綜合題的過(guò)程中，正是由于教師給足了學(xué)生思考的時(shí)間，學(xué)生得出了不同的解題方法。教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比、辨析，溝通了這些方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，使訓(xùn)練效果達(dá)到最大化。尤其值得一提的是，方法三采用了量率對(duì)應(yīng)的方法解決問(wèn)題。運(yùn)用這一方法把比的應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題，實(shí)現(xiàn)比與分?jǐn)?shù)之間的快速轉(zhuǎn)化是前提，理清量率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵，利用線段圖幫助理解題意是一種重要策略。從案例中我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生理解方法三是有困難的，而借助線段圖，較好地實(shí)現(xiàn)了比與分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)化、量率對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立和基本數(shù)量關(guān)系的表達(dá)。由于受到方法三的思路的啟發(fā)，有學(xué)生甚至自然遷移出另一種方法。

數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，是啟迪智慧的鑰匙。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)之一。在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生多維度思考問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探討，把思考引向深入。本節(jié)課雖然教學(xué)時(shí)間延長(zhǎng)了20分鐘，但學(xué)生的思維是活躍的。他們?cè)诓粩嗵剿鞯倪^(guò)程中找到了方法，收獲了自信，極大地增強(qiáng)了成功感，解題能力也得到了提高。

（作者單位：江蘇省海門(mén)市海南小學(xué)）