考慮頻變特性的架空輸電線端口分數(shù)階模型

梁貴書， 于 聰， 劉 欣

(華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定 071003)

考慮頻變特性的架空輸電線端口分數(shù)階模型

梁貴書， 于 聰， 劉 欣

(華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定 071003)

分數(shù)階微積分理論在眾多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，基于分數(shù)階微積分理論進行建模能夠準確、簡潔地描述研究對象。架空線的集膚效應(yīng)和有損土壤的影響是造成架空線參數(shù)頻變的主要因素。應(yīng)用分數(shù)階矢量匹配法對特性阻抗進行擬合，基于遞歸卷積法建立了考慮頻變特性的架空線端口分數(shù)階簡潔等效模型。最后通過具體算例，與電磁暫態(tài)計算程序EMTP中的J. Marti模型相比較，驗證了所提分數(shù)階模型的準確性。

頻變特性； 特征阻抗； 端口模型； 分數(shù)階模型

0 引 言

導線的集膚效應(yīng)和有損土壤的影響導致架空線的電阻、電感參數(shù)呈現(xiàn)出頻變特性。二十世紀七十年代以來，許多學者對頻變參數(shù)線路暫態(tài)計算問題進行了研究，并基于行波方程建立了相應(yīng)的模型。早期的方法主要有線路導納權(quán)函數(shù)法、行波法以及Meyer和Dommel提出的前、反行波權(quán)函數(shù)方法，這些方法含有多個卷積積分，導致計算復雜[1]。為了解決這一問題，Semlyen用指數(shù)函數(shù)對線路階躍響應(yīng)及沖擊響應(yīng)進行了擬合，并利用插值法避免了卷積運算[2]。J.Marti進一步發(fā)展了Semlyen的思想，建立了更為有效的J. Marti模型[3]，并嵌入到了電磁暫態(tài)計算程序ATP-EMTP中。

對J. Mart模型分析可知，頻變傳輸線端口建模的思路是對傳輸線的特征阻抗和傳播參數(shù)進行擬合，從而得到頻變傳輸線端口模型。文獻[4，5]應(yīng)用矢量匹配法對傳輸線的特征導納和行波權(quán)函數(shù)進行有理近似，得到了更好的電磁暫態(tài)仿真計算結(jié)果。文獻[6]將多導體傳輸線的土壤復數(shù)阻抗拓展為土壤運算阻抗，采用Pade展開法，提出了計及土壤影響的多導體傳輸線的時域模型。文獻[7]考慮多層土壤對傳輸線的影響，采用矢量匹配法并結(jié)合拉普拉斯反變換將土壤阻抗的時域形式展開為有限項指數(shù)函數(shù)之和，得到傳輸線頻變模型。文獻[8]對傳輸線阻抗中的頻變部分用矢量匹配進行擬合，建立傳輸線頻變模型。

上述已有模型雖然在準確性上有很大提高，但其形式都較為復雜，因此需要提出一種更為簡潔的考慮土壤參數(shù)頻變特性的傳輸線端口模型。本文在考慮導線的集膚效應(yīng)和土壤電參數(shù)(相對介電常數(shù)和電導率)頻變特性的情況下，基于分數(shù)階微積分理論，對傳輸線特征阻抗進行擬合，運用遞歸卷積法建立了結(jié)構(gòu)簡潔的架空線端口分數(shù)階模型，并通過算例驗證所提分數(shù)階模型的準確性。

1 考慮頻變特性的架空線端口頻域模型

1.1 考慮頻變特性的架空線端口頻域等值電路

作為多導體傳輸線，考慮頻變特性時，線路電報方程的復頻域形式為

(1)

(2)

式中:Le、Ce分別為理想情況(無損線且不考慮大地的影響)下多導體傳輸線的單位長度電感、電容矩陣；Zg(s)為計及土壤損耗時的單位長度土壤阻抗矩陣；Z0(s)為計及線路損耗時的單位長度內(nèi)阻抗矩陣；對于架空線路，由于單位長度電導矩陣G數(shù)值很小可忽略不計[1]，故未出現(xiàn)在方程(2)中。

線路的特征阻抗矩陣Zc(s)為

(3)

其中Z(s)=Zg(s)+Z0(s)+sLe，Y(s)=sCe。

采用常實數(shù)模變換矩陣將多導體的波動方程變換為多個單導體的波動方程，以圖1(a)的某一模量上的單導體輸電線路為例，通過求解頻域電報方程可得到方程(4)和(5)。

(Uk+ZcIk)e-γl=Um-ZcIm

(4)

(Um+ZcIm)e-γl=Uk-ZcIk

(5)

式(4)和(5)可改寫為

Ik=Zc-1Uk+Ikh

(6)

Im=Zc-1Um+Imh

(7)

式中：Ikh=-(Zc-1Um+Im)e-γl；Imh=-(Zc-1Uk+Ik)e-γl。

由式(6)和式(7)可得到如圖1(b)所示的輸電線路頻域等值電路。

圖1 輸電線路端口頻域模型Fig.1 The frequency domain model of transmission line port

1.2 架空線的分布參數(shù)計算

單位長度電感矩陣Le、單位長度電容矩陣Ce和計及集膚效應(yīng)時導線的單位長度阻抗矩陣Z0的計算方法見文獻[1]。下面主要介紹架空線土壤阻抗Zg的計算。

圖2 以大地為回路的多導體傳輸線的截面示意圖Fig.2 Schematic section of MTL(multi-conductor transmission line) looped on the earth

圖2為以大地為回路的多導體傳輸線示意圖，設(shè)土壤的電阻率為σg、介電常數(shù)為εg、磁導率為μ0、信號角頻率為ω，導線足夠長時，不考慮導線的鄰近效應(yīng)，按照復深度法，土壤自阻抗和互阻抗可表示為[6]

(8)

(9)

其中p為電磁波在土壤中的透射深度，表達式為

(10)

文獻[9]對比了六種土壤電導率和介電常數(shù)的頻變表達式。綜合考慮頻率的適用范圍及是否滿足Kramers-Kronig關(guān)系，本文選擇形式較為簡單的Portela表達式[10]。Portela對大量的土壤樣本在100 Hz～2 MHz頻率范圍內(nèi)進行測量，提出如下土壤電導率和介電常數(shù)的表達式。

(11)

式中：σ100Hz=0.01 S/m為100 Hz下的土壤電導率；θ為土壤模型的可調(diào)參數(shù)；Δi為頻率為1 MHz時ωε的值。參數(shù)θ和Δi由土壤模型確定，對一般土壤可取中間值[11]，即θ=0.706 Δi=11.71 mS/m。

整理式(8)～(11)，并令s=jω得到土壤阻抗Zg的復頻域表達式。

(12)

(13)

(14)

顯然，導線內(nèi)阻抗和土壤阻抗中出現(xiàn)了復頻率s的非整數(shù)冪次，因此所求的特征阻抗含有分數(shù)階效應(yīng)。

2 考慮頻變特性的架空線端口時域模型

2.1 特征阻抗的等效電路模型

應(yīng)用上述模型求出的特征阻抗Zc的形式復雜，計算不便。特征阻抗Zc隨頻率的非整數(shù)階冪次變化，呈現(xiàn)出分數(shù)階效應(yīng)。如果仍采用整數(shù)階建模方法將導致逼近函數(shù)的階數(shù)較高，模型較為復雜。而分數(shù)階模型僅需要較少的參量和較少的項，就可以描述具有分數(shù)階特征的頻變特性，可有效降低模型的復雜度[12]。

本文采用分數(shù)階矢量匹配技術(shù)，對特征阻抗Zc進行擬合。分數(shù)階矢量匹配的擬合形式為[13]

(15)

對高h=10 m，長度l=140 m，導線半徑為r=0.025 5 m，土壤低頻電導率為σ100 Hz=0.01 S/m的單根傳輸線的特征阻抗Zc進行分數(shù)階矢量匹配，擬合結(jié)果如圖3所示。相對于整數(shù)階矢量匹配N=8，分數(shù)階矢量匹配N=1,α=0.35,β=-0.7時就能達到相應(yīng)的擬合精度，擬合結(jié)果見表1。

此時

(16)

根據(jù)電路綜合理論，式(16)中的每一項都可等效為如圖4所示簡單的RC支路[14-15]。

表1 Zc分數(shù)階矢量匹配的擬合結(jié)果

圖3 Zc的分數(shù)階矢量匹配結(jié)果Fig.3 Fractional vector fitting result of Zc

圖4 Zc的等效電路Fig.4 The equivalent circuit of Zc

2.2 等值電流源的時域模型

式(6)和式(7)形式上完全相同，下面僅討論式(6)的求解。式(6)中

Ikh=-(YcUm+Im)e-γl=

-Ume-sτYcesτ-γl-Ime-sτesτ-γl

(17)

τ為電磁波沿架空線傳播距離l的時間。為了便于時域計算，采用矢量匹配法[8]在復頻域?qū)cesτ-γl和esτ-γl均展開為

(18)

(19)

將式(18)、(19)代入式(17)得

(20)

將式(20)變換到時域可得

(21)

對式(21)右邊利用遞歸卷積可得

(22)

其中

按同樣的方法可求解式(7)中的等值電流源imh(t)。

由此可以建立考慮頻變特性的架空輸電線端口分數(shù)階模型，如圖5所示。

圖5 輸電線路時域等值電路Fig.5 The time domain equivalent circuit of transmission line

3 算例驗證

以三相架空線系統(tǒng)為例，線路參數(shù)如圖6所示，僅在A相加電壓激勵源，激勵源為5/20 μs標準雷電波，幅值為10 kV，真空介電常數(shù)為ε0=8.854 ×10-12F/m，大地相對介電常數(shù)εr=10，真空磁導率為μ0=4π×10-7H/m，大地相對磁導率μr=1，土壤低頻電導率為σ100 Hz=0.01 S/m。電源內(nèi)阻電源內(nèi)阻和負載均為50 Ω。

用頻域算法計算A相架空線首端、末端的電壓，并將分數(shù)階時域模型計算結(jié)果、電磁暫態(tài)計算程序ATP-EMTP中J.Marti模型的計算結(jié)果與頻域模型的計算結(jié)果相比較。計算結(jié)果如圖7所示。

圖6 三相架空線系統(tǒng)Fig.6 Three phase overhead transmission line system

較之J.Marti模型采用整數(shù)階擬合特征阻抗時，匹配階數(shù)取8階，分數(shù)階模型用1階的匹配階數(shù)就達到了相同的擬合效果，且分數(shù)階模型的計算結(jié)果與頻域模型的計算結(jié)果更吻合，從而驗證了分數(shù)階時域模型的簡潔性、可行性和準確性。

圖7 三相架空線始端和末端的電壓響應(yīng)Fig.7 Voltage waveform of the three-phrase lines at the start point the end point

4 結(jié) 論

本文考慮導線的集膚效應(yīng)和土壤電參數(shù)頻變特性，在分數(shù)階矢量匹配技術(shù)、Caputo定義的差分形式、遞歸卷積法的基礎(chǔ)上建立了考慮頻變特性的架空線端口分數(shù)階模型。通過算例驗證了本文所提出的分數(shù)階模型的準確性。相比于整數(shù)階模型，分數(shù)階模型僅需要較低的擬合階數(shù)就可以獲得較好的計算精度，這表明，分數(shù)階微積分適用于傳輸線端口有關(guān)頻變效應(yīng)的建模，所建的分數(shù)階模型更為簡潔。

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Fractional Order Model of Frequency-dependent Overhead Transmission Line Port

LIANG Guishu, YU Cong, LIU Xin
(School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

Fractional calculus theory has been widely applied in many areas. Basing on this theory, the modeling can describe the research objects accurately and concisely. Skin effect in overhead transmission line and the loss of soil caused by it are the main factors that lead to the frequency change of parameters of the overhead transmission line. The fractional order vector matching method is applied to fit the characteristic impedance. And basing on recursive convolution, we build a simple equivalent fraction model of frequency-dependent overhead transmission line port. At last, the accuracy of the proposed fractional order model is verified by comparing with J. Marti model of the electromagnetic transient simulation program EMTP.

frequency dependent characteristic; characteristic impedance; port model; fractional model

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2017.04.01

2016-09-13.

國家自然科學基金資助項目(51177048，51407073)；河北省自然科學基金項目(E2012502009).

TM63

A

1007-2691(2017)04-0001-06

梁貴書(1961-)，男，教授，博士生導師，研究方向為電網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用，電力系統(tǒng)電磁兼容和電力系統(tǒng)過電壓及其防護；于聰(1991-)，女，碩士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)過電壓及其防護；劉欣(1980-)，男，副教授，研究方向為電力系統(tǒng)電磁瞬態(tài)計算，電力系統(tǒng)電磁兼容及電力系統(tǒng)過電壓數(shù)值計算。