狹義相對論教學(xué)中不該出現(xiàn)的錯誤

張元仲

(中國科學(xué)院理論物理研究所，北京 100190)

特約稿件

狹義相對論教學(xué)中不該出現(xiàn)的錯誤

張元仲

(中國科學(xué)院理論物理研究所，北京 100190)

本文為了闡明個別大學(xué)物理教材中對光速不變假設(shè)的錯誤評論而詳細(xì)說明了光速不變原理的兩個用途：首要用途是用來定義慣性系中的時間坐標(biāo)(即定義同時性)；第二個用途是用來推導(dǎo)洛倫茲變換。隨后，在分析了鐘慢效應(yīng)、尺縮效應(yīng)、同時性的相對性之后解釋了尺縮佯謬，并特別指出了某大學(xué)物理教材中對一道習(xí)題提供的答案是錯誤的并用兩種解法給出了正確答案。

光速不變原理；相對性原理；洛倫茲變換；時鐘變慢；尺子縮短；同時性的相對性

1 背景

愛因斯坦狹義相對論第一篇論文的第一節(jié)“同時性的定義”非常重要[1,2],而且我們在《物理與工程》期刊上發(fā)表的相關(guān)文章[3]也強調(diào)了這個問題；但是最近發(fā)現(xiàn)仍有個別大學(xué)物理教材中存在對狹義相對論的錯誤評述。例如：(1)在芶秉聰和胡海云主編的《大學(xué)物理 下冊(2版)》[4]第144頁評論道：“光速不變原理從屬于愛因斯坦相對性原理，前者可由后者推出，后者才是狹義相對論的基本假設(shè)”，而且該書第242頁給出的習(xí)題11-12的答案是錯的。(2)在張三慧教授編著的《大學(xué)物理學(xué)·力學(xué)、熱學(xué)》第257頁的腳注中評論道[5]：“如果把光速當(dāng)成一個‘物理規(guī)律’，則光速不變原理就成了相對性原理的一個推論，無需作為一條獨立的假設(shè)提出。相對論理論不應(yīng)是電磁學(xué)的一個分支，不應(yīng)該依賴光速的極限性?？梢栽诳臻g的均勻性和各向同性的‘基本假設(shè)’的基礎(chǔ)上，根據(jù)相對性原理導(dǎo)出洛倫茲變換而建立相對論理論”；并給出了這一錯誤觀點的源頭[6]：Mermin N D, Relativity without light. Am J Phys, 1984, 52(2), 119～124。

對以上錯誤評述有必要進(jìn)行澄清：誰都不能“without light”。

2 狹義相對論的兩個基本原理(或假設(shè))

2.1 狹義相對性原理

一切物理定律在所有慣性系中均有效。對比經(jīng)典力學(xué)中的相對性原理：力學(xué)定律在所有慣性系中均有效。可以看出狹義相對性原理只是一種推廣。在沒有明確定義慣性系(特別是其中的同時性)之前就無法導(dǎo)出坐標(biāo)變換，也就無法用坐標(biāo)變換表述相對性原理。

2.2 光速不變原理

光在真空中總是以不變速度c傳播且與光源的運動無關(guān)。

對于光速不變假設(shè)在狹義相對論中的地位，愛因斯坦早在1916年發(fā)表的《廣義相對論基礎(chǔ)》[1]一文中已經(jīng)明確指出：“狹義相對論同經(jīng)典力學(xué)的分歧不在于相對性原理，而只在于真空中光速不變的假設(shè)，這個假設(shè)和狹義相對性原理結(jié)合起來，如所周知，就得出了同時性的相對性和洛倫茲變換，……”?？墒沁z憾的是，100多年后的當(dāng)代，一些作者竟然沒有真正理解愛因斯坦這種評論的具體含義。

光速不變原理有兩個用途：首要用途是“對鐘”；第二個用途是推導(dǎo)洛倫茲變換。為了闡明這兩種用途，下面將說明：(1)迄今為止人類用來“對鐘”的唯一手段就是用光信號*要想使用一只移動的標(biāo)準(zhǔn)時鐘去對準(zhǔn)各地的時鐘就要先知道移動的速度對于標(biāo)準(zhǔn)時鐘速率的影響，但是沒有辦法確切知道這種影響。；(2)單向光速不能由實驗測定而只能假定；(3)假定了單向光速不變后才能使它的數(shù)值取雙程光速的實驗測量值；(4)有了單向光速的數(shù)值才能被用來校準(zhǔn)全空間各地的時鐘從而才定義了慣性系的時間坐標(biāo)t；(5)定義了時間坐標(biāo)才能最終定義好慣性系，然后才有速度或其他與時間有關(guān)的物理量的測量。這就是愛因斯坦在他的第一篇狹義相對論的論文中的第一節(jié)陳述“同時性的定義”的原因。但是那些

“without light”的作者們在沒有“對鐘”的前提下就出現(xiàn)了速度之類的物理量。

3 最不能缺少的就是光速不變的假設(shè)

3.1 社會活動計時和實驗測量離不開(單向)光速不變的假設(shè)

“對鐘”是社會活動不能缺少的操作，否則就沒有共同的時間概念，更無法測量物體的運動速度等等物理量。在我們使用手機、電腦、電視顯示的時間數(shù)字來進(jìn)行日?；顒拥摹皩︾姟边^程中忽略了電磁信號傳到我們這里所花費的時間，因為這個時間差別對于日?；顒觼碚f太微小了；但是對于精密的實驗測量，這個微小的時間差別就不能被忽略。此時嚴(yán)格的“對鐘”過程是： 在A鐘的tA時刻從A點發(fā)射的光信號到達(dá)B點的時間是t=tA+r/c(其中r是A到B的距離，c是真空中的單向光速)；因為tA時刻是任意的，為了簡單，取tA=0。這樣，光信號到達(dá)B所花費的時間就簡化成

(1)

在B鐘接收到這個信號時把它的時間調(diào)節(jié)到式(1)右邊給出的數(shù)值，這就把B鐘與A鐘對準(zhǔn)了。B點是空間的任意一點，所以這也就使得全空間各地的時鐘互相對準(zhǔn)了。迄今為止，自然界中存在的用來對鐘的信號只有光信號(或者說電磁信號)；所以，最不能拋棄的就是“光”。需要強調(diào)的是：上面說的“對鐘”跟坐標(biāo)變換無關(guān)，因為我們只在同一個參考系統(tǒng)中進(jìn)行操作。另一點需要強調(diào)的是，上述對鐘需要事先知道單向光速c的具體數(shù)值才行。

但是，如下面第3.6節(jié)指出的，單向光速不能用實驗測得，假定了單向光速不變后c就可以取雙程光速的實驗測量值。

3.2 使用沒有事先對準(zhǔn)的B鐘和A鐘測量物體的速度仍需要單向光速的數(shù)值

設(shè)一個“粒子”與一個“光信號”從A點在tA時刻同時起跑，光信號到達(dá)B點時B鐘顯示的時間是tL(因為B鐘沒有事先同A鐘對準(zhǔn)，所以tL與tA的差值即tL-tA沒有任何物理意義)?！傲Ｗ印钡竭_(dá)B時B鐘顯示的時間是tP(參見圖1)；

圖1 測量粒子由A到B所用的時間

垂直的實線是B點的時鐘B顯示的時間(由下至上B鐘的讀數(shù)由小到大)，水平虛線是光信號的路徑，其到達(dá)B鐘的時間是tL，上、下虛線是粒子的路徑；上面的路徑代表粒子速度小于光速的情況，下面的路徑代表粒子速度大于光速的情況；它們跟光路徑實際重合，但是為了區(qū)分它們而把它們分開劃了——這相當(dāng)于時空圖，粒子到達(dá)B的時間是tP

(2)

其中δt的取值范圍是：

有3個極端的情況：

用式(2)計算粒子的速度u=lAB/ΔtAB必須事先知道光速c=30萬km/s這個具體數(shù)值才行。

以上分析表明，不知道單向光速的數(shù)值就無法測量粒子運動的時間(因為B鐘和A鐘事先沒有互相“對準(zhǔn)”)因而也就無法給出粒子的速度。

3.3 慣性系的時間坐標(biāo)定義離不開光速不變假設(shè)

接下來，時間坐標(biāo)t還需要定義(也就是需要同時性的定義)。點P(x,y,z,t)處的時間必須用放在該點的一只標(biāo)準(zhǔn)時鐘給出。這只時鐘顯示的時間假定是均勻流逝的(這跟牛頓力學(xué)中的沒區(qū)別)。但是，最重要的是各地的時鐘在互相對準(zhǔn)之前它們各自顯示的時間只是“當(dāng)?shù)貢r間”。因此如上節(jié)所說，在沒有對準(zhǔn)的時鐘之間來比對它們所顯示的時間沒有任何意義。只有把空間所有地方的時鐘互相對準(zhǔn)之后，那些時鐘顯示的時間才是慣性系的時間坐標(biāo)t。上節(jié)已給出了使用光信號對鐘的方程式(1)，式(1)的時間t就是慣性系的時間坐標(biāo)。

3.4 回顧愛因斯坦原文中有關(guān)“對鐘”的內(nèi)容

愛因斯坦狹義相對論的第一篇論文[2]《論動體的電動力學(xué)》的第一節(jié)其標(biāo)題就是“同時性的定義”。在此引用其中的重要陳述：“如果在空間的A點放一只鐘，那么對于A附近的事件的時間，在A處的一個觀察者能夠通過找出與這些事件同時出現(xiàn)的時針位置來加以測定。如果又在空間的B點放一只鐘——我們還要加一句話，‘這是一只同放在A處的鐘完全一樣的鐘’——那么，通過在B處的觀察者也能夠求出B附近的事件的時間來。但要是沒有進(jìn)一步的規(guī)定，就不可能把A處的事件同B處的事件在時間上作比較。到此為止，我們只定義了一個‘A時間’和一個‘B時間’，但還沒有定義對于A和B是公共的‘時間’。然而，當(dāng)我們通過定義光從A到B所需要的‘時間’等于它從B到A所需‘時間’的時候，這后一個時間也就可以定義了?！敲捶旁贏處和B處的這兩只鐘按照定義就是同步的?！@樣，我們借助于某些(想象的)物理經(jīng)驗，對于靜止在不同地方的各只鐘，規(guī)定了什么叫做它們走得同步，從而顯然也獲得了‘同時’和‘時間’的定義?！?/p>

愛因斯坦的這一節(jié)即同時性的定義(或說時鐘同步)是討論與時間有關(guān)的一切物理量的前提，而這些量中最常見的就是速度的定義與測量。不使用不變的光速來定義慣性系就談不上什么叫速度，也談不上洛倫茲變換的推導(dǎo)問題，也就無法建立狹義相對論。所以用光速不變原理“對鐘”是狹義相對論的首要任務(wù)*那些“without light ”的作者們要么沒有閱讀過愛因斯坦狹義相對論原著中的這一小節(jié)，要么就沒看懂愛因斯坦為什么把“同時性的定義”放在文章的首位。。

3.5 單向光速不能用實驗測定而只能假定

原則上說單向光速不可能用實驗進(jìn)行測定，或者說單向光速是否各向同性不可能用實驗進(jìn)行檢驗。

一個質(zhì)點的速度v=lAB/tAB，也就是A和B兩點之間的距離lAB除以時間間隔tAB=tB-tA，而時間tA是質(zhì)點通過A時由那里的A鐘測定的時間，tB是質(zhì)點通過B時由那里的B鐘測定的時間，鐘A和鐘B不在同一個地點，前面說過只有它們事先用光信號對準(zhǔn)之后它們的時間差才能代表質(zhì)點從A點運動到B點所用的時間。

如果把上述質(zhì)點換成光信號，就陷入了邏輯循環(huán)：要測量光速就要先把A鐘和B鐘對準(zhǔn)，要把A鐘和B鐘對準(zhǔn)又要先知道光速的數(shù)值。所以說迄今為止單向光速的數(shù)值是不可能用實驗直接給出的。

單向光速不能被實驗給出，也就是說光在不同方向的傳播速度是否相同不能用實驗判斷。這一點彭加勒早在1905年之前就已經(jīng)指出了。他在1898年發(fā)表的“時間測量”的論文中寫道：“光具有不變的速度，尤其是它的速度在一切方向上都是相同的，這是一個公設(shè)，沒有這個公設(shè)，就無法量度光速。這個公設(shè)從來也不能直接用經(jīng)驗來驗證；……。” 所以愛因斯坦在狹義相對論的第一篇論文中對單向光速的不變性只能假定。

3.6 為何必須假設(shè)單向(單程)光速不變

(3)

其中，

(4)

這里的tB是光到達(dá)B點由那里的B鐘記錄的時間。式(4)代入式(3)后給出

(5)

(6)

4 關(guān)于狹義相對性原理(簡稱相對性原理)

相對性原理是說一切物理定律在所有慣性系中均有效。

應(yīng)用這個原理的前提是先定義好慣性系的空間坐標(biāo)和時間坐標(biāo)，上一節(jié)已經(jīng)對時間坐標(biāo)的定義作了具體說明，而在定義時間坐標(biāo)時只需要單向光速不變的假定而不需要相對性原理。

慣性系就是慣性定律成立的那種參考系。定義了空間坐標(biāo)和時間坐標(biāo)后才能有慣性定律的如下陳述：不受力的質(zhì)點要么相對靜止要么勻速直線運動(因為定義了空間坐標(biāo)才有直線的定義，而定義了時間坐標(biāo)才能有勻速運動的定義)。在沒有坐標(biāo)變換的情況下，相對性原理無法用坐標(biāo)變換來表述。

5 洛倫茲變換的推導(dǎo)

狹義相對論只在慣性系中有效，所以定義慣性系是其首要任務(wù)。慣性系中的時間坐標(biāo)t使用式(1)定義：

(7)

取平方后變成

x2+y2+z2-c2t2=0

(8)

(9)

(10)

這里假定了各個慣性系中的光速不變*文獻(xiàn)[5]第257頁的腳注中說：“如果把光速當(dāng)成一個‘物理規(guī)律’，則光速不變原理就成了相對性原理的一個推論，無需作為一條獨立的假設(shè)提出?！钡沁@種說法是完全錯誤的；上面已經(jīng)反復(fù)強調(diào)沒有光速不變的假設(shè)就不能“對鐘”也就沒有速度的定義和慣性系時間坐標(biāo)的定義。而且，就是按照相對性原理，式(9)和式(10)中的c應(yīng)當(dāng)寫成c′，要使c′=c只能假定而不可能是相對性原理的推論。況且，在同一個慣性系中相對性原理根本就無法推論出光速與方向無關(guān)。需要強調(diào)：式(8)和式(10)只是光的運動學(xué)而不涉及光的動力學(xué)(‘物理規(guī)律’)。

設(shè)S系和S′系具有特殊的初始狀態(tài)：S′系相對于S系沿其x的正向以不變速度v運動，且在初始時刻兩系統(tǒng)相互重合。根據(jù)相對性原理，在S系作勻速直線運動的質(zhì)點在S′系看來也是勻速直線運動，那么這兩個慣性系之間的坐標(biāo)變換(最簡單的形式)是如下的線性變換(為了簡單,略去垂直方向的坐標(biāo)變換y′=y,z′=z)：

(11)

確定其中的3個常數(shù)α,β,γ最簡單方便的方式就是使用光速不變原理的方程式(8)和式(10)，因為這兩個方程先前已經(jīng)被用來定義慣性系的時間坐標(biāo)。將式(11)代入式(10)后需要變成式(8)，即坐標(biāo)變換要保證光速不變。由此解出α,β,γ后式(11)就成為通常熟悉的洛倫茲變換(略去了y′=y,z′=z)：

(12)

因為洛倫茲變換是線性變換，所以時空間隔的洛倫茲變換形式不變(同樣略去了Δy′=Δy,Δz′=Δz)：

(13)

其逆變換是：

(14)

6 再談狹義相對性原理

有了洛倫茲變換式(12)之后，狹義相對性原理才能更具體地陳述為：一切物理定律的方程式在洛倫茲變換下保持形式不變。

相對性原理的這種表述為我們提供了構(gòu)造近代物理理論的具體方法： 首先使用物理系統(tǒng)的動力學(xué)變量構(gòu)造出在洛倫茲變換下不變的作用量，然后取作用量對動力學(xué)變量的變分等于零(最小作用量原理)即得到該物理系統(tǒng)的動力學(xué)方程(歐拉-拉格朗日方程)，這樣得到的方程在洛倫茲變換下保持形式不變(即滿足狹義相對性原理的要求)。例如，平直時空的宏觀理論有：(狹義)相對論力學(xué)、運動介質(zhì)的(狹義)相對論電磁學(xué)等；微觀理論有：(狹義)相對論量子力學(xué)、(狹義)相對論性的量子電動力學(xué)、(狹義)相對論性的粒子物理理論等。所有這些(宏觀的和微觀的)理論其動力學(xué)方程式都在洛倫茲變換下保持形式不變；而且，這些作用量的洛倫茲不變性給出角動量守恒定律；時間坐標(biāo)的平移不變性給出能量守恒定律；空間坐標(biāo)的平移不變性給出動量守恒定律。所以說狹義相對論是所有這些近代物理理論的一大支柱。廣義相對論在彎曲時空的局部具有洛倫茲不變性，即狹義相對論也是廣義相對論的支柱；因而可以說廣義相對論是(局部)狹義相對論性的引力理論。

7 鐘慢效應(yīng)

考慮靜止在S′系中x′軸上的一只時鐘其空間坐標(biāo)間隔Δx′=0(即固定在一點不動)，代入洛倫茲變換式(14)得到：

(15)

把其中第二個式子寫成：

(16)

這就是通常的鐘慢效應(yīng)；需要強調(diào)的是，Δt′是靜止在S′系中的同一只時鐘給出的時間間隔，因而是固有時間隔(是直接測量量，不涉及同時性定義)；而右邊的Δt是由式(15)中的第一式給出的相距Δx>0的兩只時鐘記錄的時間差，因而是坐標(biāo)時間隔(與同時性定義相關(guān))；所以，式(16)是說(因為兩個慣性系的相對速度v總是小于真空光速c所以右邊的根號小于1)：一只運動的時鐘其速率比兩只異地的時鐘讀數(shù)之差慢了(固有時間隔比坐標(biāo)時間隔小)。

8 尺縮效應(yīng)

(17)

(18)

式(17)就是尺縮公式，表明運動尺子的長度l比靜止長度(固有長度)l0短了。

9 同時性的相對性

(19)

其中用到了式(18)和式(17)；這個結(jié)果在后面解題中會用到。這個結(jié)果說明：在S系的不同地點同時(Δt=0)發(fā)生的兩個事件在S′系看來不是同時(Δt′≠0)發(fā)生的，這就是“同時性的相對性”。

10 尺縮佯謬

圖2 尺縮佯謬

參見圖2(灰色部分是桌面，黑色部分是桿子)：一根桿子靜止時跟桌面的溝槽長度相同，如果它以速度v在桌面上移動，在運動到圖2(a)的位置時在桌面的S系同時(Δt=0)按下它的前后兩端，按照尺縮的公式(17)在S系的運動長度l比靜止桌面上的溝槽長度l0短因而可以掉入溝槽；但是在隨桿子運動的S′系看來溝槽在向相反的方向移動因而溝槽縮短所以桿子不能掉入溝槽(尺縮佯謬)。解決這個假矛盾的關(guān)鍵是注意到同時性的相對性：對于在桌面(S系)同時(Δt=0)按下桿子的前后兩端這個操作，在桿子系(S′系)看來是先按下它的前端之后，過了Δt′的時間才按下他的后端，而此時溝槽已經(jīng)向桿子后端運動了式(19)給出的δ距離(參見圖2(b))，這時桿子的后端已經(jīng)進(jìn)入到溝槽內(nèi)的位置，所以在S′系看來桿子的前端先進(jìn)入溝槽，桿子的后端后進(jìn)入溝槽(當(dāng)然在忽略桌面厚度的情況下桿子是“鉆入”溝槽的)。

11 《大學(xué)物理 下冊(2版)》[4] 第166頁習(xí)題11-12

為了后面解題用語方便我們把原文中的“粒子”換成了“時鐘”。原題如下：

兩個時鐘A,B以0.6c的相對速度互相接近，如果A所在參考系的觀測者測得兩鐘距離為3×108m時，B所在參考系的觀察者測得兩鐘還要經(jīng)過多長時間碰撞？

該書第242頁給出的答案2.08s是錯的。這個錯誤答案的解法是由《大學(xué)物理—學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答.2版》[7]第179頁給出的。

正確的解答可以有如下兩種等價的解法：

解法1 “鐘慢”效應(yīng)：

在A系看來B鐘距離A鐘為l=3×108m，所以B鐘以速度v=0.6c與A鐘相遇所用時間為

(20)

而運動的時鐘B記錄的時間間隔ΔτB由鐘慢效應(yīng)式(16)給出：

(21)

所以答案是：B所在參考系的觀察者測得兩鐘要經(jīng)過1.34s而相遇。

解法2 “尺縮+同時性的相對性”效應(yīng)：

兩只鐘的距離l=3×108m是A系測量運動的A跟B之間的距離，按照尺縮公式(17)B系中的相應(yīng)的固有距離是

(22)

因而，在B看來A運動到B的時間間隔(由B鐘記錄的時間間隔)是

(24)

其中第二個等號用了式(20)。這個結(jié)果與解法1.給出的鐘慢結(jié)果式(21)相同。

12 后記

1) 在開頭“背景”中引述的“without light”的觀點來源于一個美國教授(Mermin N D)在美國的與教學(xué)有關(guān)的刊物《美國物理學(xué)雜志(American Journal of Physics)》上發(fā)表的文章[6]。這種錯誤觀點竟然被我們的個別《大學(xué)物理》之類的與教學(xué)有關(guān)的教材和參考書中引用。試想，如果這類文章是由一個中國教授撰寫的并發(fā)表在中國的物理學(xué)雜志上，這些《大學(xué)物理》之類的書籍還會全盤采納嗎？

2) 感謝在撰寫本文的過程中北京工業(yè)大學(xué)王雯宇老師、《物理與工程》編輯部主任錢颯颯和編輯劉洋給予的大力幫助。

[1] 愛因斯坦，廣義相對論基礎(chǔ)[J]，德國《物理學(xué)記事》第四系列，1916,49: 769-822(中譯文見上海人民出版社1973年出版的《愛因斯坦論著選編》第36頁)

[2] 愛因斯坦，論動體的電動力學(xué)[J]，德國《物理學(xué)記事》第四系列，1905,17:891-921(中譯文見上海人民出版社1973年出版的《愛因斯坦論著選編》第1-22頁)

[3] 張元仲.愛因斯坦建立狹義相對論的關(guān)鍵一步——同時性定義[J].物理與工程，2015，25(3): 3-8. Zhang Yuanzhong. A key step in the development of the special relativity by Einstein-Definition of simultaneity[J]. Physics and Engineering, 2015, 25(3): 3-8.(in Chinese)

[4] 芶秉聰,胡海云.大學(xué)物理 下冊[M].2版.北京：國防工業(yè)出版社，2015年1月：144，242.

[5] 張三慧.大學(xué)物理學(xué)-力學(xué)、熱學(xué)[M].3版.第257頁，北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[6] Mermin N D. Relativity without light[J]. Am J Phys, 1984, 52(2): 119-124.

[7] 芶秉聰,胡海云.大學(xué)物理—學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答[M].2版.北京：國防工業(yè)出版社，2013:179.

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THE MISTAKES THAT SHOULD NOT APPEAR IN THE TEACHING MATERIALS OF SPECIAL RELATIVITY

Zhang Yuanzhong

(Institute of Theoretical Physics, Chinese Academy of Sciences，Beijing, 100190)

In order to clarify the wrong comments on the light speed invariance hypothesis in some of the teaching materials of “University Physics”, this paper illustrates in detail the two purposes of the light speed invariance principle: Its primary purpose is used to define the time coordinates in an inertial frame (i.e., defining simultaneity); The second purpose is used to derive the Lorentz transformation. After analyzing the time dilation effect, the length contraction effect and the relativity of simultaneity, we then explain the length contraction paradox. Finally we point out that the answer of an exercise providing in a book of “University Physics” is wrong, and we give the correct answer by use of two methods.

light speed invariance principle; the principle of relativity; Lorentz transformation; time dilation; length contraction; relativity of simultaneity

2016-04-19

中國科學(xué)院戰(zhàn)略性先導(dǎo)科技專項(B類)資助，任務(wù)編號XDB23030100和XDB21010100；國家自然科學(xué)基金No 91436107。

張元仲，男，研究員，主要研究領(lǐng)域是相對論、引力物理與宇宙學(xué)，著有專著《狹義相對論實驗基礎(chǔ)》。

張元仲. 狹義相對論教學(xué)中不該出現(xiàn)的錯誤[J]. 物理與工程，2017，27(4)：3-9.