實數(shù)完備性的啟發(fā)與猜想

張海玲

摘 要 對于每個接觸數(shù)學(xué)的人來說都少不了對實數(shù)的認(rèn)識，可以說實數(shù)與我們的生活息息相關(guān)，從小學(xué)到初高中，我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識基本上都是在實數(shù)的基礎(chǔ)上建立起來的，而數(shù)學(xué)的發(fā)展也離不開實數(shù)理論的支撐，可以肯定的是對實數(shù)的研究是我們在數(shù)學(xué)中另辟蹊徑的一種有效方法，說到實數(shù)的完備性，很多人可能會首先想到和實數(shù)完備性有關(guān)的六個基本定理，即確界原理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點定理、以及cauchy收斂準(zhǔn)則，雖然這六個定理是相互等價的，但我們可以發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)之間的轉(zhuǎn)化和聯(lián)系，那么相對于n維歐氏空間而言，是否它也具備一定的完備性；以及相對于實數(shù)的這六條基本性質(zhì)而言，它們在歐氏空間以及其他像具有拓?fù)涞目臻g又將有何種特質(zhì)；以及如何將它們加以推廣，這是我們所要進行思考和研究的問題。由于實數(shù)完備性定理的證明在數(shù)學(xué)分析中給出了相應(yīng)的解答，在此我們就其證明過程則不做過多解釋，而將重點放在實數(shù)完備性定理對我們的啟發(fā)以及猜想上。

關(guān)鍵詞 確界原理 單調(diào)有界定理 區(qū)間套定理 有限覆蓋定理 聚點定理 cauchy收斂準(zhǔn)則

中圖分類號：Ol41.2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1確界原理

我們知道對于一維歐氏空間而言，它里面的元素也就是我們的實數(shù)，實數(shù)的完備性定理的第一條就是確界原理，即為有上下界的數(shù)集必有上下確界，那么我們在二維歐式空間中來看，對于確界原理而言，由于我們考慮的是平面點集所構(gòu)成的區(qū)域，所以在刻畫二維歐式空間的諸多性質(zhì)時，我們自然的引入了距離，也就是說我們沒有單純的像一維歐氏空間那樣用實數(shù)自身的大小來刻畫其性質(zhì)，而是借助別的東西來反映其本質(zhì)，但是我們發(fā)現(xiàn)確界定理到了這里似乎有所變化，我們會常去刻畫某一區(qū)域的上界，似乎很少去談?wù)撍南陆?，在此必須引入平面區(qū)域有界的概念，既存在的一個鄰域U，使得M包含與U，則M有界，那么我們就會考慮確界原理是否在二維歐氏空間里是成立的，顯然我們知道在二維歐氏空間里有上界的數(shù)集必定會存在上確界，supM=U（x， ）， =inf{ '|U（x， '） M}，而在這里我們一般不討論一個區(qū)域的下界，所以確界原理在二維歐氏空間里只能敘述為有上界的區(qū)域必有上確界，這樣的話我們可以將歐氏空間進行推廣，由于歐氏空間是度量空間，所以在它上面定義的距離是用來衡量上確界的一個重要指標(biāo)，所以我們同樣可以將確界原理像二維歐氏空間那樣推廣到n維歐氏空間，從這一特征的推廣過程我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們刻畫實數(shù)的上確界的時候很明顯用到了實數(shù)的度量，而n維歐氏空間上面的度量則是兩實數(shù)距離的普通意義下的推廣，所以這也就保證了實數(shù)的確界原理可以推廣到n維歐氏空間當(dāng)中，這就像在兩個拓?fù)淇臻g中，只要在它們中間存在拓?fù)溆成洌绻诖擞成湎履骋恍再|(zhì)保持不變則稱之為拓?fù)湫再|(zhì)，顯然我們也可以稱確界原理為歐氏空間的拓?fù)湫再|(zhì)。我們也發(fā)現(xiàn)在離散度量空間當(dāng)中任意兩點間的距離d（x，y）≤1，則該數(shù)集顯然滿足確界原理，上確界為d（x，y）=1的點，而對于C[a，b]，在它上面定義度量d（x，y）=max|x（t）y（t）|，如果我們能保證d（x，y）<+∞，則它有上確界，也就是說只要我們?nèi)（t），y（t）∈C[a，b]且x（t），y（t）是有界函數(shù)則它一定有界，從而有上確界?？梢园l(fā)現(xiàn)確界原理的應(yīng)用必須要依賴于刻畫數(shù)集有無界的東西也就是我們定義在它上面的度量。

2單調(diào)有界定理

通過將實數(shù)所滿足的確界原理在歐氏空間加以推廣后，我們會想到實數(shù)所滿足的單調(diào)有界定理是否依然可以推廣下去，結(jié)論是顯然的，在實數(shù)域中刻畫單調(diào)性依據(jù)的是實數(shù)的大小，而在n維歐氏空間當(dāng)中n≥2，由于可以將其中的元素看做向量，則其大小可以借助于向量的模長去刻畫，Rn為n維歐氏空間，存在它當(dāng)中的點列xm=（x1（m），x2（m），x3（m），）…xn（m）），m=1，2，…，x=（，，…，）∈Rn，不難證明{xm}按歐氏距離收收斂于x的充要條件為對于每個1≤i≤n，有，假設(shè)單調(diào)有界定理成立，我們?nèi)《〝?shù)列為二維歐氏空間的點集，，，，顯然它是單調(diào)遞增的數(shù)列，且它是有界的，因為n<∞，但是由于該數(shù)列是一些離散的點，所以它沒有辦法收斂與某一點，也就是說在二維歐氏空間中的數(shù)列有界并且單調(diào)不一定收斂與某一點，顯然如果在n維歐氏空間n>2中所取的點列是離散的一些點，即使單調(diào)且有界，也未必會收斂與一點，所以往往離散的區(qū)域里的點列其收斂性是比較差的，在刻畫其收斂的時候我們總是致力于各點之間的稠密程度，這就聯(lián)想到在一維以上的歐氏空間中，鄰域的加入為他眾多性質(zhì)的建立奠定了基礎(chǔ)，可以肯定的是我們所研究的對象的維數(shù)增加，則必然會有更多的外在因素?fù)诫s進去，就會有更多的東西去破壞我們原有基礎(chǔ)的性質(zhì)，而就必然需要我們?nèi)ブ萍s這一現(xiàn)象，也就是加入更多條件，使其更好的遵守原有的性質(zhì)。

3區(qū)間套定理

實數(shù)當(dāng)中建立區(qū)間套的性質(zhì)似乎有一種低維向高維擴展的趨勢，從定理我們可以看出有且只有一個點屬于所有區(qū)間套中的區(qū)間，我們似乎會想到是否這若干的區(qū)間套可以由這一點所生成呢？我想結(jié)論是顯然的，在自然界中，一個普遍的規(guī)律就是我們擴充某一事物往往只需少許條件就可完成，相對于將一件事物細(xì)化則比較簡單，那么就拿區(qū)間套定理而言，定理實際描述的是具有區(qū)間套性質(zhì)的區(qū)間總是交于唯一的一個點，但是縱觀定理的內(nèi)容我們會發(fā)現(xiàn)，如果隨便拿來一點，然后按照區(qū)間套的特點在已給出的這一點的基礎(chǔ)上去構(gòu)造區(qū)間套，顯然這一相對過程可以幫助我們更好的理解該定理，通過這一認(rèn)識，我們或許可以對所學(xué)的收斂等性質(zhì)有一個更加全面深刻的認(rèn)識。

當(dāng)我們將區(qū)間套定理擴展到二維歐氏空間時它又被稱為閉域套定理，那么我們可以接著前面的陳述得出，在n維歐氏空間，n>2時我們同樣可以找一點x=（，，3，…，），使得按照閉域套的特點以此點為基礎(chǔ)進行擴充，得到這些閉域必定交于該點，顯然反過來，我們就能得到閉域套定理也將適用于高維歐氏空間，通過這樣的推理我們會發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)乃至各門學(xué)科，有些性質(zhì)它們往往是相對的，過程的起點和終點往往是可以發(fā)生轉(zhuǎn)變的，只要我們所研究的性質(zhì)有條理，邏輯性強，從它的反面去觀察，往往會有意想不到的收獲。

4有限覆蓋定理

當(dāng)談?wù)摰綄崝?shù)的有限覆蓋定理時，我們很自然的知道，對于一個閉區(qū)間我們總能找到無限個開區(qū)間來覆蓋該區(qū)間（將閉區(qū)間中所有的點的任意開鄰域并起來顯然覆蓋此閉區(qū)間），但是有限覆蓋定理告訴我們總可以在這無限個開區(qū)間中找到有限個開區(qū)間來覆蓋此閉區(qū)間，我們可以先簡單的思考一個邏輯性問題，假如給出一個閉區(qū)間，顯然根據(jù)實函中所學(xué)的知識我們知道該閉區(qū)間是一個具有連續(xù)基數(shù)c的不可數(shù)集合，當(dāng)然它里面包含無限多個點，若對于x∈[1，4]以及U（X； ），它是x的開鄰域，且x∈[1，4]，則顯然這無窮多個開鄰域可以覆蓋閉區(qū)間[1，4]，所以說，任給閉區(qū)間總能找到無限多個開區(qū)間覆蓋此閉區(qū)間，但是如何從這無限個開區(qū)間中找出有限個開區(qū)間覆蓋閉區(qū)間則我們首先需要知道，一個集合M，必有M M，由于M是一個閉集，在用無限個開區(qū)間覆蓋閉區(qū)間時，由于已知區(qū)間是閉區(qū)間記為A，則A=A，所以對于x∈A，x的鄰域U（x； ），U∩A≠ 所以在我們找的無限個開鄰域當(dāng)中總會包含A中的除x外的點，但這并不能證明將某些開鄰域合并就能成為有限個開鄰域，假設(shè)找不到有限個開區(qū)間覆蓋A，則我們在閉區(qū)間A和它的無限多個開鄰域之間建立映射 ∶x→U（x； ），該映射可以直觀反映出任何一個閉區(qū)間A，總可以被無限多個開鄰域覆蓋，但是如何將其歸類為有限個，則是用反證法借助區(qū)間套定理來論證，那么當(dāng)將研究對象設(shè)定到n維歐氏空間中，由于區(qū)間套定理可以推廣到其中，所以我們的論證過程就可以類比實數(shù)中該定理的論證，當(dāng)然也就適用于n維歐氏空間.則我們可以得到這樣一個結(jié)論，當(dāng)我們要試圖證明某一性質(zhì)適用于所要研究的對象時，如果類比到滿足這一性質(zhì)的空間在證明該定理時所用到的性質(zhì)同樣適用于該對象，則我們可以得出在與之相類比的對象所滿足的這一性質(zhì)同樣滿足我們最初研究的對象。

5聚點定理

談到實數(shù)的聚點定理，我們首先會想到聚點的眾多刻畫形式，極限形式：對于點列{xn}，如果xn→x（n→+∞），則稱x為聚點，拓?fù)湫问剑簒為集合A的聚點，則有x的任則有x的任意領(lǐng)域U，U∩A/{x}≠ ，在拓?fù)鋵W(xué)中我們知道歐氏空間是拓?fù)淇臻g，而我們知道對于任意集合A，A是所有A的聚點組成的集合，且A A，這就是說明對于任何點集不管它是有限點集還是無限點集，只要它非空，則它的閉包即非空，所以它至少存在一個聚點，所以，我們可以大膽的將這一定理應(yīng)用在n維歐氏空間，乃至拓?fù)淇臻g，相對于聚點這一普遍存在于集合論中的一員，可以說它使我們認(rèn)識到集合與點之間所存在的聯(lián)系，聚點定理成立的條件是有界無限點集，但在剛才的敘述中我們發(fā)現(xiàn)在拓?fù)淇臻g中只要集合非空，則必存在至少一個聚點，又因為歐氏空間就是拓?fù)淇臻g，所以我們的聚點定理在n維歐氏空間中，就可以敘述為非空點集必存在至少一個聚點。

6 cauchy收斂準(zhǔn)則

在了解了實數(shù)完備性定理的前五個定理后，最后一個基本定理cauchy收斂準(zhǔn)則，成為我們論證數(shù)列收斂的有力工具，它刻畫了數(shù)列收斂的實質(zhì)是從某一項以后的任意兩項可以任意接近，也就是說從某一項以后的所有項都呈現(xiàn)出高度集中的特性，可以肯定的是當(dāng)我們在刻畫離散點列收斂時，不管它是在一維歐氏空間還是一維以上的歐氏空間，柯西收斂準(zhǔn)則總是成立的，因為其實質(zhì)就是刻畫點與點之間的相對位置無限接近的時候的收斂性質(zhì)，當(dāng)我們的研究對象不是單純的點列而是連續(xù)分塊區(qū)域所構(gòu)成的集列時，就不能片面的去用這一定理，所以這一定理在進行推廣的過程中我們要弄清它所研究的對象和在它上面的度量是否和普通定義的距離有異曲同工之妙在n維歐式空間中取點列{xn}，對于 >0，>0，n，m>N，有|xnxm|< ，通過這一點就可以發(fā)現(xiàn)實數(shù)完備性和連續(xù)性是等價的概念，從實數(shù)連續(xù)性出發(fā)，我們在它上面才建立了諸多性質(zhì)，需要我們知道的一點是完備概念其意義在于我們給定的任意實數(shù)列如果收斂，則必收斂到實數(shù)，而cauchy收斂準(zhǔn)則則給出了刻畫收斂的又一方法，如果我們推廣該定理到高維歐氏空間，同樣可以應(yīng)用它去刻畫收斂，而在這里則反映到坐標(biāo)分量的收斂上。在度量空間意義下則將這一準(zhǔn)則應(yīng)用于柯西點列的定義上，不同于分析學(xué)的是，在泛函中收斂點列卻不同于柯西點列，這就明顯區(qū)別于分析中用柯西收斂準(zhǔn)則去刻畫收斂點列。那么當(dāng)我們將對象轉(zhuǎn)移到拓?fù)淇臻g中時，由于拓?fù)淇臻g的收斂和度量空間有很大區(qū)別、所以不能直接將柯西收斂準(zhǔn)則推廣過去，由于柯西收斂準(zhǔn)則里涉及到距離，要想把它推廣到拓?fù)淇臻g也必須限定在具有度量拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g上，由于拓?fù)淇臻g的主要性質(zhì)是由開集刻畫的，所以如果在分析學(xué)的映射和拓?fù)鋵W(xué)的開集之間建立某種關(guān)系，有可能在分析學(xué)中諸多用極限刻畫的性質(zhì)可以推廣到拓?fù)鋵W(xué)中。

通過上述對實數(shù)基本定理認(rèn)識的闡述我們可以得出這樣一個結(jié)論，對于研究不同對象所具有同一性質(zhì)時，我們總可以想方設(shè)法去加入某些條件到該對象中使其具有該性質(zhì)，不同的只是使用的環(huán)境受到限制，而性質(zhì)本身所具有的實質(zhì)性問題則未發(fā)生改變?？梢哉J(rèn)清的是數(shù)學(xué)思想在我們學(xué)習(xí)過程中極其重要，由于事物之間所具有的普遍聯(lián)系，概念，性質(zhì)的推廣可以說是一種很自然的事情，然而在此背景之下則需要我們?nèi)ド钊肓私鈱嵸|(zhì)性的東西，可以說猜想并不是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)心路歷程，它只是我們對真理深入思考后的自我解答。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.