實際年利率計算方法誤差分析

阮孝政，吳明官，戴張磊

(1.正業(yè)勘測設(shè)計集團有限公司，哈爾濱 150090；2.黑龍江省水利水電勘測設(shè)計研究院，哈爾濱 150080)

科技成果

實際年利率計算方法誤差分析

阮孝政1，吳明官2，戴張磊1

(1.正業(yè)勘測設(shè)計集團有限公司，哈爾濱 150090；2.黑龍江省水利水電勘測設(shè)計研究院，哈爾濱 150080)

在日常生活和工作存款或貸款時，經(jīng)常遇到銀行系統(tǒng)公布的利率(名義利率)和實際利率的換算等實際問題，而且往往出現(xiàn)多種計算結(jié)果，無論是彈性系數(shù)、名義年利率、物價上漲指數(shù)、實際年利率、等額本金還貸法和等額本息還貸法等，具體的計算公式中，都與增長率以及涉及到名義增長率、物價增長率和實際增長率的時候，均可以采用本次提出的通用公式。在國民經(jīng)濟各領(lǐng)域中凡是涉及到物價增長率、實際增長率和彈性系數(shù)的時候，均可以采用本次推導(dǎo)的通用公式。

彈性系數(shù)；名義年利率；物價上漲指數(shù)；實際年利率；計算方法；誤差分析

1 問題的提出

在日常生活和工作存款或貸款時，經(jīng)常遇到銀行系統(tǒng)公布的利率(名義利率)和實際利率的換算等實際問題，而且往往出現(xiàn)多種計算結(jié)果，因此，產(chǎn)生諸多疑問。

為了解疑下面特介紹增長率、彈性系數(shù)、名義利率、物價指數(shù)、實際利率及相互關(guān)系、誤差分析、等額還貸等內(nèi)容。

2 增長率

在國民經(jīng)濟各領(lǐng)域中非常普遍地應(yīng)用增長率的基本概念和增長率基本公式，如：銀行常用的年利率、國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)增長率、工業(yè)產(chǎn)值增長率、工業(yè)用水量增長率、彈性系數(shù)等等。

根據(jù)增長率基本概念，把年增長率寫成如下的公式：

i=dX/X1=(X2-X1)/X1=X2/X1-1

(1)

式中：X1、X2為分別為相鄰兩年的技術(shù)經(jīng)濟指標(biāo)，即X1表示前一年的采用指標(biāo)、X2表示本年度的采用指標(biāo)。

3 彈性系數(shù)

彈性一詞來源于材料力學(xué)中的彈性變形的概念，彈性系數(shù)指材料長度變形的百分比同所施加力變化的百分比的比率。后來彈性的概念被推廣應(yīng)用于社會經(jīng)濟領(lǐng)域，彈性系數(shù)被用來表示兩個因素各自相對增長率之間的比率。在某一時期內(nèi)能源消耗的增長率同工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的增長率的比率，就稱為在該時期內(nèi)能源消耗相對于工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的彈性系數(shù)；再如：工業(yè)用水量平均年增長率與工業(yè)產(chǎn)值平均年增長率的比值，表示為工業(yè)用水彈性系數(shù)。

總之，彈性系數(shù)(Elasticcoefficient)是一定時期內(nèi)相互聯(lián)系的兩個經(jīng)濟指標(biāo)增長速度的比率，它是衡量一個經(jīng)濟變量的增長幅度對另一個經(jīng)濟變量增長幅度的依存關(guān)系。

因為，Xt=X0(1+i)t，t=1、2、3……n-1、n。

所以：

i=(Xt/X0)(1/t)-1

(2)

因此，工業(yè)用水量平均年增長率i和工業(yè)產(chǎn)值平均年增長率k可以寫成如下的公式：

i=(Wm/W0)(1/m)-1

(3)

k=(Gm/G0)(1/m)-1

(4)

根據(jù)上述的基本概念，工業(yè)用水彈性系數(shù)可以寫成如下的公式：

a=i/k

(5)

把式(3)和式(4)代入到式(5)后得到彈性系數(shù)計算公式(6)。

a=((Wm/W0)(1/m)-1)/((Gm/G0)(1/m)-1)

(6)

式中：a為工業(yè)用水彈性系數(shù)；i為工業(yè)用水量平均年增長率；k為工業(yè)產(chǎn)值平均年增長率；W0、G0分別為基準(zhǔn)年的工業(yè)用水量和工業(yè)產(chǎn)值；Wm、Gm分別為某水平年的工業(yè)用水量和工業(yè)產(chǎn)值；m為表示兩個水平年之間的時間差(以年為單位)。

4 實際年利率計算公式

根據(jù)年增長率計算公式(1)，可以寫成如下的名義年利率、物價年增長率和實際年利率公式：

i=dX/X1=(X2-X1)/X1=X2/X1-1

(7)

f=dY/Y1=(Y2-Y1)/Y1=Y2/Y1-1

(8)

j=dZ/Z1=(Z2-Z1)/Z1=Z2/Z1-1

(9)

式中：i、f、j分別為名義年利率(也就是銀行公布的年利率)、物價年增長率(又稱物價上漲指數(shù)或通貨膨脹率)和實際年利率；X1、X2分別表示第1年本金、第2年考慮利息后的本利和；Y1、Y2分別表示第1年物價、第2年物價；Z1、Z2分別表示第1年本金、第2年考慮物價上漲因素和利息后的本利和(也就是受物價上漲影響的本利和)。

4.1 計算公式1

若Z2=X2/Y2，Z1=X1/Y1，

則Z2/Z1=(X2/Y2)/(X1/Y1)=(X2/Y2)(Y1/X1)，=(X2/X1)/(Y2/Y1)=(i+1)/(f+1)=j+1，因此：

j=(i+1)/(f+1)-1

(10)

公式(10)就是實際年利率j的常用計算公式。

4.2 計算公式2

名義年利率i是銀行掛牌年利率，而實際年利率j則是名義年利率要扣除通貨膨脹率f等其它因素后，能夠表示實際購買能力的變化利率。因此，實際年利率j也可以采用如下的計算公式：

j=i-f

(11)

4.3 銀行計息周期的影響

k=(1+r/t)t-1

(12)

式中：k表示常用的計息周期為1年時的年利率，一般稱計算年利率，又稱：實際年利率或有效年利率；r表示計息周期為(1/t)年時的年利率，又稱：名義年利率；t為1年中復(fù)利計息次數(shù)(或計息周期數(shù))。

e=2.718281828 … …，于是計算年利率的極限值為

J=er-1

(13)

因此，計算年利率的極限值J，又稱連續(xù)年利率或稱極限年利率。

5 誤差分析

為了更進一步了解實際年利率計算公式(1)和公式(2)的差別，下面進行如下的誤差分析。

5.1 實際年利率

j1=(i+1)/(f+1)-1=((i+1)-(f+1))/(f+1)=(i-f)/(f+1)，j2=i-f，σ=(j2-j1)/j1=j2/j1-1=(i-f)/((i-f)/(f+1))-1，=(i-f)(f+1)/(i-f)-1=f(相對誤差)。

因此，當(dāng)f=0時，σ=0，則j1=j2=i； 當(dāng)f>0時，σ>0，則j2/j1-1>0，j2/j1>1,j2>j1；當(dāng)f<0時，σ<0，則j2/j1-1<0，j2/j1<1,j2

從此可以看出，若物價上漲指數(shù)f較小(-5%≤f≤5%)時，則公式(1)和公式(2)計算的實際年利率誤差較??；否則誤差較大。

5.2 極限年利率

因為，極限年利率J=er-1，名義年利率r=(j+1)(f+1)-1或r=j+f，

所以，J1=er-1=EXP((j+1)(f+1)-1)-1或J2=er-1=EXP(j+f)-1。

C=(J1+1)/(J2+1)=EXP((j+1)(f+1)-1-(j+f))=EXP(jf)。

σ=(J1-J2)/J2=J1/J2-1=(C-1)/(1-EXP(-j-f))(相對誤差)。

因此，當(dāng)f=0時，C=EXP(jf)=1，則(J1+1)/(J2+1)=1，J1=J2=r，σ=0。當(dāng)f≠0時，C=EXP(jf)>0，而且若jf<0，則(J1+1)/(J2+1)<1，J11，J1>J2，J1/J2>1，J1/J2-1>0，σ>0。

從此可以看出，實際年利率j≤5%的情況下，若物價上漲指數(shù)f在±20%范圍內(nèi)(-20%≤f≤20%)變化時，則公式(1)和公式(2)計算的極限年利率誤差較??；否則誤差較大。

5.3 分析與討論

5.3.1 通貨膨脹率選擇

如何計算實際利率是一個長期有爭議的問題，特別是在名義利率和通貨膨脹率比較時間段的選擇上，分歧較大。無論如何，筆者認(rèn)為不能只以單個月份的通貨膨脹率(即CPI)來衡量實際利率，一般應(yīng)以前6個月或12個月均值來衡量實際利率較切合實際情況。如果一年期存款利率扣除利息稅等后高于CPI，則可以認(rèn)為實際利率為正值，否則為負(fù)值。

CPI是消費者物價指數(shù)，是英文縮寫，是反映與居民生活有關(guān)的產(chǎn)品及勞務(wù)價格統(tǒng)計出來的物價變動指標(biāo)，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo)。一般說來，當(dāng)CPI>3%的增幅時為通貨膨脹，當(dāng)CPI>5%時為嚴(yán)重的通貨膨脹[1]。

5.3.2 中長期年利率分析

根據(jù)歷年貸款基準(zhǔn)利率匯總成果，統(tǒng)計分析結(jié)果，中長期貸款基準(zhǔn)利率與短期貸款基準(zhǔn)利率有一定的關(guān)系，因此，歸納了如下的換算關(guān)系式。

i=((1+r)n-1)/n

(14)

式中：i為中長期貸款年利率；r為短期貸款年利率；n為貸款期，a。

從中長期貸款年利率計算成果中可以看出，采用本公式計算的年利率，大多數(shù)相對誤差的絕對值均<5%以下，僅供參考。

6 實際年利率與彈性系數(shù)的關(guān)系

上述已介紹的增長率與彈性系數(shù)的關(guān)系中可以看出，實際年利率與彈性系數(shù)之間也存在密切的函數(shù)關(guān)系，具體的計算公式如下：

6.1 關(guān)系式1

根據(jù)Xt=X0(1+i)t，t=1、2、3、4、5………n-1、n，可以寫成如下的名義年利率i、物價上漲指數(shù)f、實際年利率j的計算公式 。

Xt/X0=(1+i)t,

Yt/Y0=(1+f)t,

Zt/Z0=(1+j)t,

若Zt=Xt/Yt，Z0=X0/Y0，

則Zt/Z0=(Xt/Yt)/(X0/Y0)

=(Xt/Yt)(Y0/X0)，

=(Xt/X0)/(Yt/Y0)

=(i+1)t/(f+1)t=(j+1)t，

因此，j=(i+1)/(f+1)-1,i=(j+1)(f+1)-1,

另外，根據(jù)彈性系數(shù)a的定義可以寫成如下的計算公式：

a=i/f=((j+1)(f+1)-1)/f，這就是實際年利率與彈性系數(shù)的關(guān)系式1

6.2 關(guān)系式2

名義年利率i、物價上漲指數(shù)f、實際年利率j之間，若采用如下的計算公式j(luò)=i-f，則實際年利率j與彈性系數(shù)a的關(guān)系式2如下：

a=i/f=(j+f)/f=j/f+1

6.3 彈性系數(shù)誤差分析

a1=i/f=((j+1)(f+1)-1)/f，a2=i/f=(j+f)/f，σ=(a1-a2)/a2=a1/a2-1=(((j+1)(f+1)-1)/f)/((j+f)/f)-1，=((j+1)(f+1)-1)/(j+f)-1=jf/(j+f)(相對誤差)

當(dāng)j取定值的情況下，根據(jù)洛必達(dá)法則對σ取極限后求得如下的極限值：

當(dāng)f→±∞時，Limσ=Lim(jf)/Lim(j+f),=Lim(jf)′/Lim(j+f)′=j。

當(dāng)f=0時，σ=0，則a1/a2-1=0，a1/a2=1，a1=a2=i=j。當(dāng)f≠0時，σ=jf/(j+f)，若jf>0，σ>0，則a1/a2-1>0，a1/a2>1，a1>a2，否則a1

從此可以看出，若實際年利率j較小(-5%≤j≤5%)時，則公式(1)和公式(2)計算的彈性系數(shù)誤差較??；否則誤差較大。

7 等額還貸方法

還房貸對于每個普通家庭來說并不陌生，因為只要不是有太多的閑錢，都會選擇在買房時向銀行申請貸款。一般有9種房貸還款方式，如：分階段性還款法(適合年輕人)，等額本金還款法(適合收入高人群)，等額本息還款法(適合收入穩(wěn)定人群)，按季按月還息一次性還本付息法(適合從事經(jīng)營活動人群)，轉(zhuǎn)按揭，按月調(diào)息，雙周供省利息(適用于工作和收入穩(wěn)定的人群)，提前還貸縮短期限，公積金轉(zhuǎn)賬還貸等。那么，最省錢的還款方式成為還貸最被關(guān)注的問題。

當(dāng)前，無論是公積金貸款還是商業(yè)銀行貸款，常用的還款方式只有兩種：即等額本金和等額本息法。這兩種還款方式的計算方法不同，貸款期限越長，利息差別越大。

7.1 等額本金還款法

等額本金還款法，它是指將本金分?jǐn)偟矫總€月，同時付清上一還款日至本還款日之間利息的還款方式，因此，又可以稱為單利付息法。為了便于計算和分析，下面簡單介紹單利法等額本金還貸利息總額計算公式。

X=F×i(m+1)/2，m=t×n，i=r/t

(15)

式中：X為還貸利息總額；F為貸款額度；r為年利率；i為計息周期內(nèi)的利率(如：年、月、日利率)；m為計息總次數(shù)；n為還貸期限，a；t為每年的計息次數(shù)(如：t=1，一年一次；t=2，半年一次；t=12，每月一次；t=36，每旬一次；t=365，每日一次等)。

以貸款120萬元，還貸期限30a為例。假設(shè)是某市的公積金貸款，按照當(dāng)前五年期以上貸款基準(zhǔn)年利率3.25%計算，每個月本金還款額為120萬元÷360個月=3333元。第1個月的利息為：120萬元×3.25%÷12=3250元，故第1個月還款額為3333+3250=6583元；第2個月的利息為：(120萬元-3333元)×3.25%÷12=3241元，第2個月還款額為3333+3241=6574元。以此類推，此后每個月的還款額逐漸減少。等額本金還貸利息總額X=F×i(m+1)/2=120萬元×3.25%/12×(12×30+1)/2=58.6625萬元。

7.2 等額本息還款法

再來看什么是等額本息還款法，它比等額本金的算法更加復(fù)雜，最終結(jié)果保證每個月還款的“本+息”之和始終保持不變。

等額本息還款法：

A=F(r/t) (1+r/t)nt/((1+r/t)nt-1)

(16)

式中：A為每次等額本息還款額(常數(shù))，其它符號同上。

仍以公積金貸款120萬元，還貸期限30a，年利率3.25%，按等額本息還款法計算的每月還款額固定為5222.48元。

在等額本金情況下，如果貸款利率始終不變，貸款人30a需要支付的總利息為586625元；而在等額本息情況下，貸款人30a需要支付的總利息為680093元，足足比等額本金多付了93468元。

即使是公積金貸款，如果是利率更高的商業(yè)貸款，30a的利息可以差出幾十萬元也有可能。正因如此，如果貸款人不特意提出，銀行一般默認(rèn)的是等額本息還款法，理由顯而易見——可以多收利息。

因此，借款人在貸款之前，根據(jù)自己的實際情況，應(yīng)該詳細(xì)分析研究各種還貸方式是非常必要的，否則在不知情的情況下，可能多支付不少的血汗錢。

7.3 幾點建議

7.3.1 還款方式的選擇

等額本息還款法雖然總利息多，但是優(yōu)點在于每個月還款額度較為固定，額度不多不少，便于記憶，也便于緩解貸款者的還貸壓力。

等額本金還款方式的優(yōu)點在于整體支付的利息相對較少，但劣勢在于前期還款壓力較大。

由此可見，如果貸款人工作和收入穩(wěn)定，還款能力較強，選擇等額本金方式較好。如果貸款人還款能力稍弱，等額本金還款方式無疑陡增生活壓力。對于部分收入不高的購房者來說，最好的方式就是先采用等額本息的還款方式，過了一段時間再變更為等額本金的還款方式。這樣既能度過等額本金一開始的高額還款，還能省下一部分利息[2]。

但是，至于什么時候變更比較合適、銀行是否允許變更還款方式，都要根據(jù)貸款人經(jīng)濟情況以及與銀行簽訂的具體合同而定。

7.3.2 提前還款

隨著二胎政策的放開，之前不少夫妻也準(zhǔn)備換比較大的房子，而隨著房產(chǎn)的再出售，很多購房人會提前結(jié)清房貸。如果想提前還房貸，會遇到的情況如下：

這時選擇等額本息還款的人就會比較吃虧，因為他的還款結(jié)構(gòu)中，先還的是利息，余下還有大量的本金沒還。等額本金方式下，本金已經(jīng)還掉了大部分，相應(yīng)要還的貸款已經(jīng)少了很多。所以，如果條件允許的話，等額本金是一個值得考慮的選擇，雖然它可能造成一開始還貸壓力較高。

一般來說，以下兩類人群比較適合提前還款：

1)處于還款初期的借款人，因為利息支出通常集中在還款初期，借款人這時候提前還貸可節(jié)省利息。

2)借款人手頭資金能夠支付房貸剩余尾款，卻不能滿足其他方面資金需求時，選擇提前還款是比較劃算的。借款人可以將手中資金用于提前還貸結(jié)清貸款，然后用此套房產(chǎn)向銀行申請抵押消費貸款，將抵押出來的錢款用于其他方面的資金需求來解決自身融資需求。

7.3.3 提前還貸需要滿足的條件

提前還貸需要滿足以下3個條件：

1)借款人想提前還貸，一般是在還款1a以后。

2)借款人如果要提前還貸，一般要在電話或書面申請后，攜帶自己的身份證、借款合同到銀行辦理審批手續(xù)。

3)如果結(jié)清貸款的話，一定不要忘記去解抵押這個環(huán)節(jié)。

8 結(jié) 語

無論是彈性系數(shù)、名義年利率、物價上漲指數(shù)、實際年利率、等額本金還貸法和等額本息還貸法等，具體的計算公式中，都與增長率有關(guān)。

8.1 實際增長率

在國民經(jīng)濟各領(lǐng)域中凡是涉及到名義增長率、物價增長率和實際增長率的時候，均可以采用如下的通用公式：

①(i+1)/(f+1)-1
②j=i-f

(17)

式中：j為所有技術(shù)經(jīng)濟指標(biāo)的實際增長率;i為所有技術(shù)經(jīng)濟指標(biāo)的名義增長率;f為表示所有技術(shù)經(jīng)濟指標(biāo)計算過程中涉及到的物價上漲指數(shù)或物價增長率。

從公式①和公式②誤差分析成果中可以看出，σ=j2/j1-1=f。若物價上漲指數(shù)f較小(-5%≤f≤5%)時，公式①和公式②計算成果誤差較小，則兩種方法均可以采用，否則建議只采用公式(1)為好。

8.2 彈性系數(shù)

在國民經(jīng)濟各領(lǐng)域中凡是涉及到物價增長率、實際增長率和彈性系數(shù)的時候，均可以采用如下的通用公式：

①a=((j+1)(f+1)-1)/f
②a=(j+f)/f=j/f+1

(18)

式中：a為彈性系數(shù)，其他符號同上。

從公式①和公式②誤差分析成果中可以看出，σ=a1/a2-1=jf/(j+f)。當(dāng)f→±∞時，Limσ=j。因此，若實際年利率j較小(-5%≤j≤5%)時，公式①和公式②計算成果誤差較小，則兩種方法均可以采用，否則建議只采用公式①為好。

[1]丁昌春,吳明官,姬忠光.等額還貸計算方法研討[J].黑龍江水利科技,2012,40(04):34-37.

[2]吳明官.十二五水工程科技成果匯編[R].哈爾濱：黑龍江省水利水電勘測設(shè)計研究院,2015.

Analysis of Calculation Method Error on Actual Annual Rate

RUAN Xiao-zheng1;WU Ming-guan2and DAI Zhang-lei1

(1.Zhengye Investigation Design Group Limited Company, Harbin 150090, China; 2 Heilongjiang Provincial Water Conservancy & Hydroelectric Power Investigation, Design and Research Institute, Harbin 150080, China)

In normal lives and works, as deposit or loan, it is often to meet the actual conversion problems about interest rate (nominal interest rate) published by banks and actual interest rate, and also, it is frequent to obtain various calculated results. No matter the elastic coefficient, nominal annual interest rate, index of price inflation, actual annual interest rate or the constant amortization mortgage and the constant payment mortgage, are all relative with the increase rate in the detailed calculation formula. In the national economic field, all involved with nominal increase rate, price inflation rate, actual increase rate and the price inflation rate, actual rate and elastic coefficient may adopt the common formula derived in this paper.

elastic coefficient; nominal annual rate; index of price inflation; actual annual rate;calculation method; error analysis

1007-7596(2017)06-0001-05

2017-05-18

阮孝政(1982-)，男，河南淮陽人，工程師；吳明官(1955-)，男，黑龍江尚志人，教授級高工；戴張磊(1991-)，男，江蘇海安人，助理工程師。

F014.44

B