基于廣義Pareto分布的大壩預(yù)警指標(biāo)擬定方法

張海龍,馬 斌,梁亞平

(西京學(xué)院土木工程學(xué)院,陜西西安710123)

基于廣義Pareto分布的大壩預(yù)警指標(biāo)擬定方法

張海龍,馬 斌,梁亞平

(西京學(xué)院土木工程學(xué)院,陜西西安710123)

將極值理論中的廣義Pareto分布模型用于大壩預(yù)警指標(biāo)擬定中是一個(gè)行之有效的方法,該方法通過(guò)設(shè)定某一閾值,以監(jiān)測(cè)序列超過(guò)該閾值的實(shí)測(cè)值為分析樣本,并認(rèn)為該樣本服從廣義Pareto分布。由于閾值的選取關(guān)系到廣義Pareto分布參數(shù)估計(jì)的精度,而用超限期望圖法確定的閾值具有較大的主觀性誤差,因此,從定義出發(fā),通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo),建立了自動(dòng)選取閾值的方法。通過(guò)實(shí)例分析表明,采用自動(dòng)選取法確定閾值的廣義Pareto分布擬定的大壩預(yù)警指標(biāo)更加合理。

大壩預(yù)警指標(biāo)；廣義Pareto分布；自動(dòng)選取法；閾值

0 引 言

借助各種數(shù)學(xué)和力學(xué)方法擬定大壩安全預(yù)警指標(biāo)是評(píng)判大壩安全運(yùn)行狀態(tài)的重要手段之一,其主要任務(wù)是根據(jù)大壩對(duì)歷史荷載的抵御能力來(lái)評(píng)估和預(yù)測(cè)大壩對(duì)未來(lái)不利荷載工況下的抵御能力,從而確定不利荷載工況下各效應(yīng)量的警戒值或極值[1-3]。目前,大壩安全預(yù)警指標(biāo)擬定的方法大致可分為兩種：一種是根據(jù)原型監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列資料,采用小概率法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,是一種純粹的數(shù)學(xué)分析法；另一種是通過(guò)建立壩體壩基有限元模型,計(jì)算不利荷載工況下的效應(yīng)量警戒值,屬于結(jié)構(gòu)計(jì)算法。數(shù)理統(tǒng)計(jì)法應(yīng)用范圍廣,可操作性強(qiáng),是最常用的擬定方法,但是要求較長(zhǎng)的監(jiān)測(cè)序列資料,且需要事先假定樣本的分布概率函數(shù)；結(jié)構(gòu)計(jì)算法力學(xué)概念明確,計(jì)算結(jié)果可靠,但對(duì)于復(fù)雜的壩體壩基建模難度大,且通常需要對(duì)壩體壩基物理力學(xué)參數(shù)進(jìn)行反演分析,計(jì)算工作量大。

為了克服上述大壩安全預(yù)警指標(biāo)擬定方法的局限性,蘇懷智[4]、聶兵兵[5]等將極值理論(Extreme Value Theory,EVT)中的廣義Pareto分布模型(Generalized Pareto Distribution,GPD)用于大壩安全預(yù)警指標(biāo)擬定中,該模型以監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列中所有超過(guò)某一閾值的監(jiān)測(cè)值為分析樣本,較小概率法擴(kuò)大了樣本容量,保留了更多的極值信息,適用于監(jiān)測(cè)序列較短的大壩安全預(yù)警指標(biāo)擬定。廣義Pareto分布模型最主要的問(wèn)題是對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì),常用的方法有極大似然法[6]、Bayes估計(jì)法[7]、罰函數(shù)法[8]等,其中,極大似然函數(shù)法最為常用。在估計(jì)模型參數(shù)前,需要事先根據(jù)某一方法確定閾值u,如果閾值u取得太大,則超限樣本數(shù)量較少,模型參數(shù)估計(jì)偏差較小,但模型參數(shù)估計(jì)方差增大；如果閾值u取得過(guò)小,則超限樣本數(shù)量太多,模型參數(shù)估計(jì)偏差較大。因此,合理選取閾值u至關(guān)重要。文獻(xiàn)[4-5]采用超限期望圖法確定閾值u,該方法建立閾值u與超限期望函數(shù)估計(jì)值的曲線(xiàn)圖,選取足夠大的臨界閾值u0,使得當(dāng)x≥u0時(shí)超限期望函數(shù)估計(jì)值為近似線(xiàn)性變化作為確定閾值的依據(jù),該方法為人為選取,具有較大的主觀性,且有時(shí)候構(gòu)造的曲線(xiàn)圖不止只有一段呈近似線(xiàn)性變化,因此,為消除人為選取帶來(lái)主觀誤差,本文根據(jù)數(shù)學(xué)推導(dǎo),采用自動(dòng)選取法確定閾值u。

1 自動(dòng)選取法的基本原理

廣義Pareto分布基本理論見(jiàn)文獻(xiàn)[4]。對(duì)于給定的一個(gè)大壩監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列{x1,x2…xn},假定閾值為u,超過(guò)閾值u的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為nu,yi=xi-u(i=1,2,…,nu)，由廣義Pareto分布概率密度函數(shù)根據(jù)極大似然法可得廣義Pareto分布函數(shù)參數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)

(1)

式中,ξ為廣義Pareto分布函數(shù)的形狀參數(shù)；σ為廣義Pareto分布函數(shù)的尺度參數(shù)；n為監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列的總個(gè)數(shù)；y={y1,y2,…,ynu}。閾值u選取是否合理關(guān)系到參數(shù)ξ和σ的精度。下面介紹自動(dòng)選取法確定閾值u的基本原理。

設(shè)閾值為u0時(shí)的超限樣本近似服從廣義Pareto分布,則對(duì)于任意u>u0確定的超限樣本也近似服從廣義Pareto分布,且兩者形狀參數(shù)ξ相同,尺度參數(shù)σ關(guān)系如下[9]

σu=σu0+ξ(u-u0)

(2)

(3)

可得

σuj-σuj-1=ξ(uj-uj-1)

(4)

令

(5)

由極大似然估計(jì)可得

(6)

則

(7)

由式(7)可以看出,Nuj-Nuj-1在閾值u選取合適的情況下近似服從均值為0的正態(tài)分布。因此,可選取均值最接近0對(duì)應(yīng)的閾值為合理的閾值u。

2 大壩安全預(yù)警指標(biāo)擬定

根據(jù)自動(dòng)選取法確定了閾值u,則可根據(jù)式(1)確定參數(shù)ξ和σ,由廣義Pareto分布概率密度函數(shù)可求出超限樣本的分布函數(shù)F(x)為

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行求導(dǎo),可得超限樣本的概率密度函數(shù)f(x)=F-1(x),令xm為大壩監(jiān)測(cè)效應(yīng)量的警戒值,當(dāng)x>xm時(shí),大壩運(yùn)行可能發(fā)生失事,其失事概率為

(9)

根據(jù)大壩的等級(jí)和失事后果可以確定大壩的失事概率Pa,則xm的估計(jì)值為

(10)

3 基于廣義Pareto分布的大壩安全預(yù)警指標(biāo)擬定步驟

基于廣義Pareto分布的大壩安全預(yù)警指標(biāo)擬定步驟如下：

(1)根據(jù)實(shí)測(cè)資料序列,對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行升序排列。

(2)根據(jù)自動(dòng)選取法確定閾值u。①構(gòu)造等值遞增的閾值序列u1,…,um,u1可取為0,um可取為90%監(jiān)測(cè)序列總樣本對(duì)應(yīng)的測(cè)值；②得到ui(i=1,2,…,m-2)對(duì)應(yīng)的超限樣本,由此計(jì)算廣義Pareto分布參數(shù)ξi和σi；③對(duì)于所有ui≤uj-1≤uj(j=i+1,i+2,…,m),計(jì)算Nuj-Nuj-1(j=i+1,i+2,…,m),并計(jì)算該正態(tài)分布序列的均值和方差；④取均值最接近0對(duì)應(yīng)的閾值ui為合理的閾值。

(3)根據(jù)極大似然法估計(jì)廣義Pareto分布參數(shù)。

(4)根據(jù)大壩等級(jí)和失事后果確定大壩運(yùn)行允許失事概率。

(5)擬定大壩預(yù)警指標(biāo)。

4 實(shí)例分析

某多年調(diào)節(jié)水庫(kù)大壩位于安徽省長(zhǎng)江支流青弋江上,主體為混凝土重力壩,由28個(gè)壩段組成,最大壩高76.3 m,壩頂長(zhǎng)419 m?，F(xiàn)以該大壩8號(hào)壩段壩頂徑向水平位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例,采用本文方法和小概率法擬定該壩段的預(yù)警指標(biāo)。其中,監(jiān)測(cè)序列從2000年1月1日～2012年12月31日,共657組數(shù)據(jù)。符號(hào)規(guī)定向下游變形為正,向上游變形為負(fù)。

為了突出對(duì)比,采用超限期望圖法和自動(dòng)選取法確定閾值u。超限期望圖見(jiàn)圖1。根據(jù)圖1a,按照選取規(guī)則,大致可確定求位移上限值的閾值u=2 mm 或u=4 mm,超限樣本數(shù)為662個(gè)或173個(gè),超限樣本數(shù)不能太多,因此u=4 mm較為合理；根據(jù)圖1b,取求位移下限值的閾值u=3.5 mm,超限樣本數(shù)為94個(gè)。

圖1 超限期望圖

根據(jù)不同方法確定的廣義Pareto參數(shù)估計(jì)見(jiàn)表1。

表1 廣義Pareto參數(shù)估計(jì)

根據(jù)該大壩等級(jí)與失事后果,設(shè)大壩允許失事概率為1%,則根據(jù)不同方法擬定的該大壩8號(hào)壩段壩頂徑向水平位移預(yù)警指標(biāo)見(jiàn)表2。

表2 不同方法擬定的大壩變形預(yù)警指標(biāo)

由表2可以看出,閾值采用自動(dòng)選取法確定的廣義Pareto分布模型擬定的大壩變形預(yù)警指標(biāo)與小概率法擬定的預(yù)警指標(biāo)較為接近,但自動(dòng)選取法擬定的預(yù)警指標(biāo)較為安全。閾值采用超限期望圖法確定的廣義Pareto分布模型擬定的大壩變形預(yù)警指標(biāo)因受人為主觀性影響,擬定的預(yù)警指標(biāo)較為保守。因此,將自動(dòng)選取法用于閾值確定的廣義Pareto分布模型用于大壩預(yù)警指標(biāo)擬定中是合理的,同時(shí)還可以克服人為帶來(lái)的主觀性誤差。

5 結(jié) 論

本文借助廣義Pareto分布函數(shù)研究了大壩安全預(yù)警指標(biāo)擬定實(shí)現(xiàn)方法,并結(jié)合具體工程實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證,可得到如下結(jié)論：

(1)基于廣義Pareto分布擬定大壩預(yù)警指標(biāo)選用的樣本為超過(guò)某一閾值的所有監(jiān)測(cè)序列組成,較小概率法擴(kuò)大了樣本容量,保留了更多的極值信息,對(duì)于監(jiān)測(cè)序列短的情況也同樣適用。

(2)采用自動(dòng)選取法確定閾值能夠避免因人為選取帶來(lái)的主觀誤差,能夠保證廣義Pareto分布函數(shù)的參數(shù)估計(jì)精度。

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[3]李明超, 劉菲, 陳衛(wèi)國(guó). 多因素作用下大壩安全響應(yīng)結(jié)構(gòu)圖仿真與分析[J]. 水利學(xué)報(bào), 2011, 42(11): 1355- 1360．

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(責(zé)任編輯焦雪梅)

WarningIndexDevelopmentofDamMonitoringBasedonGeneralizedParetoDistribution

ZHANG Hailong, MA Bin, LIANG Yaping
(School of Civil Engineering, Xijing University, Xi’an 710123, Shaanxi, China)

It’s an effective method to develop warning index of dam monitoring by using generalized Pareto distribution of extreme value theory. By setting a threshold value, the overrun samples are selected from monitoring data which exceed the threshold value and the samples are considered to obey generalized Pareto distribution. Since the accuracy of parameters of generalized Pareto distribution is affected by the selection of threshold value and the threshold value which is computed by exceeded expectation diagram method has a large subjective error, therefore, the auto select method of threshold value is established through mathematical derivation from the definition. The result of case study indicates that the warning index of dam monitoring which are developed by using generalized Pareto distribution are more reasonable．

warning index of dam monitoring; generalized Pareto distribution; auto select method; threshold value

2016- 09- 26

陜西省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(15JK2171)

張海龍(1982—),男,陜西寶雞人,講師,工程師,碩士,主要從事水工結(jié)構(gòu)工程數(shù)值計(jì)算方面工作．

TV698.1

：A

：0559- 9342(2017)06- 0097- 03