高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極限的若干方法舉例探析

林見松

摘 要：函數(shù)極限的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，靈活掌握計(jì)算方法對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)起著極其關(guān)鍵的作用。有關(guān)函數(shù)極限計(jì)算的方法眾多，該文通過具體例題探析了用定義法、四則運(yùn)算法則、函數(shù)的連續(xù)性、分段點(diǎn)處左右極限討論、兩個(gè)重要極限及變形公式、無窮小量性質(zhì)、等價(jià)無窮小替換、導(dǎo)數(shù)的定義、洛必達(dá)法則等9種常用方法計(jì)算函數(shù)極限。

關(guān)鍵詞：函數(shù) 極限 方法

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）05（c）-0222-02

函數(shù)極限的計(jì)算是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，掌握函數(shù)極限的計(jì)算方法對(duì)于學(xué)好高等數(shù)學(xué)起著極其關(guān)鍵的作用。針對(duì)初學(xué)者的學(xué)習(xí)需求，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，現(xiàn)將常見求解函數(shù)極限的若干方法做一探析歸納。

1 定義法求極限

用定義法求函數(shù)極限常常借助于函數(shù)的圖像來分析，更有直觀性。

例1：求

解：觀察函數(shù)的圖像（如圖1），

分析該函數(shù)當(dāng)自變量無限接近于1（但）時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)，容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，函數(shù)的函數(shù)值無限的接近于2，即=2.

2 四則運(yùn)算法則求極限

對(duì)和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，考慮能否直接利用極限的四則運(yùn)算法則來計(jì)算。特別地，對(duì)于不能直接利用四則運(yùn)算法則的，往往要變形或化簡(jiǎn)（如分解因式、通分、分子或分母有理化等等）后再使用。

例2：求

解：原式==

例3：求

解：原式====1.

例4：求

解：分子分母的極限均不存在，不能直接運(yùn)用法則。分子分母同處以，得。

==

一般地，當(dāng)，為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有

=

3 函數(shù)的連續(xù)性求極限

連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)某點(diǎn)的極限值等于在該點(diǎn)的函數(shù)值，利用此結(jié)論可求函數(shù)極限。

例5：求.

解：因是初等函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，所?=0.

4 分段點(diǎn)處左右極限討論求極限

利用，求（或判斷）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限（存在與否）。

例6：討論函數(shù)，當(dāng)時(shí)的極限。

解：由于，

，所以當(dāng)時(shí)的函數(shù)極限不存在。

5 兩個(gè)重要極限及變形公式求極限

利用兩個(gè)重要極限、（或）或其變形、、等進(jìn)行極限計(jì)算。

例7：證明

證明：等式左邊====右邊.

例8：計(jì)算

解：原式===

6 無窮小量性質(zhì)求極限

無窮小量性質(zhì)有限個(gè)無窮小量的和（積）仍是無窮小量；有界函數(shù)與無窮小的積為無窮小量。

例9：求

解：因時(shí)，是無窮小量，而≤1，所以有=0

7 等價(jià)無窮小替換求極限

例10：求

解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以，

原式==

注意：在利用等價(jià)無窮小求極限時(shí)，一般只在以乘積或商的因子中替換。

8 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

對(duì)具有形如或形式的極限，可利用導(dǎo)數(shù)的定義來求解。

例11：設(shè)存在，求

解：==

9 洛必達(dá)法則求極限

“”型、“”型兩種不定式的極限求解，往往優(yōu)先考慮用洛必達(dá)法則，對(duì)于其它的不定式，如“、、、 、”等，可通過適當(dāng)變形，將它們轉(zhuǎn)化成前兩種不定式，然后再利用羅必達(dá)法則求極限。使用羅必達(dá)法則時(shí)，可以先使用一些技巧（如變量替換、等價(jià)無窮小等）將原函數(shù)化簡(jiǎn)。

例12：求

解：原式==

===。

實(shí)際上，求解函數(shù)極限的方法還有很多，如利用定積分定義、夾逼定理、級(jí)數(shù)、泰勒展開式、微分中值定理等等。解同一題目可用不同方法或多種方法聯(lián)合運(yùn)用。不難發(fā)現(xiàn)，每種方法對(duì)計(jì)算函數(shù)極限類型有較強(qiáng)的針對(duì)性，為此，在通過上述基本方法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，應(yīng)讓學(xué)習(xí)者掌握思想方法，學(xué)會(huì)分析所給函數(shù)極限的特征，做到靈活選擇解法，最終實(shí)現(xiàn)具有獨(dú)立解決此類問題的能力。

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