滲透模型思想 提高教學(xué)效益

徐黎明

摘 要：數(shù)學(xué)模型就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學(xué)活動過程。模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。要在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境，逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會建構(gòu)模型、應(yīng)用模型，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程，從而取得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，這正切合了弗賴登塔爾所認(rèn)為的“學(xué)生自己發(fā)明數(shù)學(xué)就會學(xué)得更好”，“讓他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)的過程，這是教學(xué)的一條原則”。

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué)；運(yùn)算方程；數(shù)形；數(shù)軸；數(shù)學(xué)模型

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2017）19/22-0070-05

一、結(jié)合數(shù)的運(yùn)算，感悟數(shù)學(xué)模型

學(xué)生感悟模型思想需要經(jīng)歷一個長期的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)建模必須結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平分層次逐步推進(jìn)，應(yīng)當(dāng)與正常的教學(xué)內(nèi)容同步。教學(xué)過程中要讓學(xué)生循序漸進(jìn)，逐步提高，讓思維混亂的學(xué)生學(xué)會思考，讓害怕數(shù)學(xué)的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。

例如在教學(xué)“兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）”時，在探索新知、明白算理這一教學(xué)環(huán)節(jié)時，讓學(xué)生展開充分的交流，發(fā)表自己的見解。

交流24+6的算法：

師：這道算式，應(yīng)先算什么，再算什么？可以借助小棒來擺一擺，要是還有困難，可以在小組內(nèi)合作探究。

教師巡視，進(jìn)行個別輔導(dǎo)。討論：你是先算幾加幾？把4根小棒與6根小棒合成10根之后，你接著做了什么？你發(fā)現(xiàn)共有幾捆小棒？

師生小結(jié)：口算時，先算4+6=10，再算20+10=30。兩位數(shù)加一位數(shù)要注意先把個位上的數(shù)相加。碰到個位上相加滿十要進(jìn)到十位上。

自主探究24+9。

先讓學(xué)生在小組內(nèi)交流討論，再進(jìn)行匯報。

生1：我是用數(shù)小棒的方法，先擺24根，然后把9根小棒一根一根地加到24根上，一邊加一邊數(shù)，數(shù)出最后結(jié)果是33。

生2：我是把9分成6和3，先算24+6=30，再算30+3=33。

生3：還可以這樣想：先算4+9=13，再算20+13=33。

師：你喜歡用什么方法來口算24+9？

出示：第二種算法和第三種算法。

在比較中，可以發(fā)現(xiàn)先用個位上面的數(shù)相加，滿十就要向十位上面進(jìn)一。

探究算法時，先讓學(xué)生獨(dú)立嘗試計(jì)算，從而發(fā)現(xiàn)當(dāng)個位上的數(shù)相加滿十，要向十位上面進(jìn)一。計(jì)算24+9時，放手讓學(xué)生去算，就會出現(xiàn)多種不同的想法，有學(xué)生用數(shù)數(shù)的方法計(jì)算出來，但比較麻煩；也有同學(xué)用“拆小數(shù)，湊大數(shù)”的方法，先把前面的兩位數(shù)湊成整十?dāng)?shù)，再用整十?dāng)?shù)加一位數(shù)的方法來解決；還有學(xué)生先把個位上面的數(shù)相加，滿十要向十位上進(jìn)一。在比較中，學(xué)生選出最優(yōu)化的方法來計(jì)算。在探究兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）時，學(xué)生有效地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而學(xué)會口算兩位數(shù)加一位數(shù)的一般方法?？梢杂谩安鹦?shù)，湊大數(shù)”，也可以先把個位上面的數(shù)相加。學(xué)生由開始的擺小棒，逐步抽象出計(jì)算兩位數(shù)加一位數(shù)的方法。

再如有些計(jì)算題，從表面上看無法進(jìn)行簡便計(jì)算，如果我們根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，把某些數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)變形，就可以運(yùn)用乘法的運(yùn)算定律進(jìn)行簡便計(jì)算。

1.把一個數(shù)拆成兩個數(shù)的和

9×28+30 68×28+32×29

=9×28+28+2 =68×28+32×（28+1）

=（9+1）×28+2 =68×28+32×28+32×1

=280+2 =（68+32）×28+32

=282 =2800+32

=2832

101×65

=（100+1）×65

=100×65+1×65

=6500+65

=6565

2.把一個數(shù)分解成兩個數(shù)的積

25×98+50 125×32×25

=25×98+25×2 =125×（8×4）×25

=25×（98+2） =（125×8）×（4×25）

=2500 =1000×100

=100000

3.把一個因數(shù)擴(kuò)大幾倍，另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)

480×14+52×140 33×36+99×88

=480×14+520×14 =99×12+99×88

=（480+520）×14 =99×（12+88）

=14000 =9900

用簡便方法計(jì)算時，有時算式表面看上去不能簡便，但是只要仔細(xì)觀察，就能發(fā)現(xiàn)能創(chuàng)造條件使計(jì)算簡便。通過創(chuàng)造條件，使算式能夠運(yùn)用乘法的運(yùn)算律，計(jì)算簡便。思維的不斷碰撞才是數(shù)學(xué)課堂的生命力所在，要讓學(xué)生積極地動手實(shí)踐、自主探索以及與同伴進(jìn)行交流?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得了大量的數(shù)學(xué)模型，如加法、減法、乘法、除法、方程等數(shù)學(xué)模型。只有能夠正確運(yùn)用加、減、乘、除等四則運(yùn)算的模型，才能將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題后加以解決。

二、結(jié)合方程教學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在方程的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立符號意識，發(fā)展運(yùn)算能力，樹立模型思想，提高解決問題的能力。方程是基本的數(shù)學(xué)模型，在學(xué)習(xí)方程的過程中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識，體會數(shù)學(xué)建模的過程，樹立模型思想。

例如在教學(xué)“列方程解決實(shí)際問題”時，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)和方程（一）的相關(guān)內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)形如a±b=c的方程的解法和列方程解決實(shí)際問題。在教學(xué)中幫助學(xué)生建立符號意識，從中感悟數(shù)學(xué)思想。

片斷：創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)習(xí)新課

師：數(shù)學(xué)家笛卡爾說過：一切數(shù)學(xué)問題都可以用方程解決。揭示課題（列方程解決實(shí)際問題）。

師用課件出示一幅圖片（如下），讓學(xué)生說一說是什么建筑？

生：它們是西安古都聞名遐邇的大雁塔（左邊）和小雁塔（右邊）。

師今天這節(jié)課就讓我們一起走近它們，了解它們。

（同時出示例1）學(xué)生探索交流：從題目中你知道哪些條件？要求的問題是什么？題目中的哪句話能表明大雁塔和小雁塔高度之間的關(guān)系？你能用線段圖反映出它們之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行交流……

師出示如下的一些線段圖。用線段圖表示數(shù)量關(guān)系時，學(xué)生會有多種不同的方法，有的畫出比較形象的圖形，有的畫出豎式的線段圖，也有的畫出的是橫式的線段圖。

學(xué)生根據(jù)線段圖，找出大雁塔與小雁塔高度之間的相等關(guān)系，互相說一說。學(xué)生會列出如下的一些等量關(guān)系：

生1：小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度。

生2：小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22。

生3：小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。

大部分學(xué)生會想出第一種等量關(guān)系，列出方程。

生：2x-22=64。

師：怎樣把2x-22=64這個方程變形為我們以前學(xué)習(xí)過的方程？

生：獨(dú)立思考。

師：提示可以把2x看作一個整體。借助等式的性質(zhì)，兩邊同時加上22，轉(zhuǎn)化后是2x=86。

學(xué)生接著解答完。

師利用課件出示不規(guī)范的解答方法，讓學(xué)生從中找出不規(guī)范的地方。

生1：解答一道題目時，只要寫一個解就可以了，有設(shè)句時，解方程就不用再寫解了。

生2：解方程過程中“=”要對齊。

檢驗(yàn)時，把x=43代入原方程。算出左邊=2×43-22=64，左邊=右邊，所以，x=43是正確的。

學(xué)生接著想：還可以列出怎樣的方程來解答。在討論中，說出了另外的兩種不同方程，在比較中發(fā)現(xiàn)依據(jù)不同的等量關(guān)系，可以列出不同的方程，但是方程的解都一樣，真是殊途同歸。

在探究新課時，精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生在小組內(nèi)討論交流，知道題目中的已知量和未知量，發(fā)現(xiàn)已知量和未知量之間的關(guān)系找出等量關(guān)系。先讓學(xué)生在依據(jù)題意自己試著畫出線段圖，再用課件出示多種不同形式的線段圖，有利于學(xué)生說出大雁塔和小塔之間的數(shù)量關(guān)系。鼓勵學(xué)生說出多種不同的數(shù)量關(guān)系，可以結(jié)合最容易想出的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程。解方程時，讓學(xué)生用知識的遷移，巧妙轉(zhuǎn)化變形的方法，轉(zhuǎn)化為以前學(xué)習(xí)過的形式，這樣學(xué)生就能自己解決。對于兩次運(yùn)用等式的性質(zhì)來解方程，學(xué)生是初次接觸，只要學(xué)會轉(zhuǎn)化的方法，難點(diǎn)就可以突破。解答完方程后，老師讓學(xué)生能自覺地想到及時檢驗(yàn)。

對于例1的解答方法，筆者并沒有僅局限于一種方法，還鼓勵學(xué)生想出了另外兩種不同的解法。學(xué)生從中明白到了根據(jù)等量關(guān)系不同，列出的方程也不同，但方程的解都是一樣。從而提升了學(xué)生的思維能力。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象和概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)模型思想。在問題的引領(lǐng)下，層層遞進(jìn)，逐步感悟到列方程解決問題的一般方法。學(xué)生對用形如ax±b=c的方程來解決的這類問題特征有清楚地認(rèn)識，進(jìn)而列方程解決實(shí)際問題。

利用問題引領(lǐng)學(xué)生去思考，尋找解決問題和解方程的方法，有效地尋找突破教學(xué)重難點(diǎn)的方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)會自主去探究數(shù)學(xué)。同時讓學(xué)生明白理解符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。

三、運(yùn)用變式訓(xùn)練，完善數(shù)學(xué)模型

在各種不同水平的教學(xué)中，量的模型是十分重要的。根據(jù)公理，所有的量都同構(gòu)，因此知道了一個量也就知道了全體。

在教學(xué)五年級“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識”時，經(jīng)常會出現(xiàn)數(shù)軸，讓學(xué)生來填上合適的數(shù)。

學(xué)生通過自己的觀察，可以很快地填出合適的數(shù)。零右邊的數(shù)是正數(shù)，零左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)比負(fù)數(shù)大。數(shù)軸有時是橫著放的，其實(shí)在生活中很多的數(shù)軸是豎著放的，比如溫度計(jì)，工地上的建筑師傅用的線錘等。在溫度計(jì)上面，大于零攝氏度的溫度在零的上面，低于零攝氏度在零的下面。借助于數(shù)軸可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識負(fù)數(shù)。

再如在教學(xué)“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”時，會出現(xiàn)數(shù)軸，把對應(yīng)的分?jǐn)?shù)找到對應(yīng)的位置，或是給出一些點(diǎn)的位置，填寫上相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。

在數(shù)軸上面，根據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)，寫出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，有些學(xué)生在填寫時是有一定的難度的。其實(shí)這與根據(jù)圖形中的涂色部分填寫分?jǐn)?shù)是有一定聯(lián)系的。從上面的數(shù)軸中可以看出單位“1”是平均分成了4份，在0與1之間填寫的兩個分?jǐn)?shù)分別是四分之一和四分之三，單位“1”平均分成了四份，要表示其中的一份和三份。在1和2之間填寫的分?jǐn)?shù)，應(yīng)該比1要大，不能錯誤地寫成還是四分之三，正確答案是一又四分之三（即四分之七）。在2和3之間括號里面填寫的分?jǐn)?shù)是二又四分之一（即四分之九）。

數(shù)軸在生活中最常會運(yùn)用到，學(xué)生在學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)圖時會用到橫軸和縱軸。學(xué)生能夠看懂?dāng)?shù)軸，分析數(shù)軸，能從數(shù)軸中獲得必要的信息很重要?！皵?shù)軸”作為數(shù)的模型，給人的印象通常是水平的或垂直的。有時兩者也可聯(lián)合使用，以便借此設(shè)計(jì)變式圖象，促進(jìn)學(xué)生完善數(shù)的模型。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式，函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。

四、加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，體會模型價值

“數(shù)形結(jié)合”能促進(jìn)學(xué)生形象思維與抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，培養(yǎng)兒童建構(gòu)“數(shù)學(xué)模型”的興趣和能力。運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”時，一般需要作圖，在小學(xué)階段通常采用模象圖、直觀圖、線段圖等。

例如，在計(jì)算中，有時結(jié)合圖形能想出簡便的方法計(jì)算。

計(jì)算可以一個一個加下去，還可以先畫出圖形，再來思考計(jì)算的方法：（圖形如下）

根據(jù)+++，畫出了如上的圖形，從圖中可以清楚地看出如果再加一個，結(jié)果就是1，可以在原來的算式中先加上一個再減去一個，這樣結(jié)果與原來相等。+。運(yùn)用上面的數(shù)形結(jié)合方法，可以既快又準(zhǔn)地算出結(jié)果。在計(jì)算中靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，可以解決一些難題。1，計(jì)算這道題時，可以先變形再計(jì)算，1=1-（+++）=1-=。

再如在教學(xué)有關(guān)行程的問題時，有時無法找到解決問題的突破口，可以借助畫線段圖的方法，依據(jù)題意畫出符合要求的線段圖來幫助分析。

客車從A城出發(fā)開往B城，同一時間貨車從B城出發(fā)開往A城，到達(dá)目的地后立即返回，9小時后兩車第二次相遇，相遇時客車比貨車多行了90千米。已知A、B兩城之間相距450千米，求客車和貨車的速度分別是多少？

由于題目中的條件復(fù)雜，不便于思考。可以畫出線段圖來表示題意（如下圖）。

從上面的線段圖中可以清楚地看出第二次相遇時，兩車共行了三個全程，第二次相遇時，兩車共行了1350千米（450×3），可以求出兩車的速度和是150千米（1350÷9）。根據(jù)兩車相遇時客車比貨車多行了90千米，可以算出客車每小時比貨車每小時多行10千米（90÷9）?？蛙嚸啃r行80千米[（150+10）÷2]，貨車每小時行70千米（80-10）。

總之，數(shù)學(xué)模型思想從學(xué)生低年級開始就逐步接觸，教師要認(rèn)真鉆研教材，從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，積極進(jìn)行研究，認(rèn)真進(jìn)行記錄，把自己的反思及時記錄下來。相信在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，只要邊上課邊反思，就能讓自己的數(shù)學(xué)課堂更加高效。

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