復(fù)平面上分形圖的生成及在紡織品上的應(yīng)用

王淑緩,楊旭紅

(蘇州大學(xué) 現(xiàn)代絲綢國家工程實(shí)驗(yàn)室，江蘇 蘇州 215123)

設(shè)計(jì)與產(chǎn)品

復(fù)平面上分形圖的生成及在紡織品上的應(yīng)用

王淑緩,楊旭紅

(蘇州大學(xué) 現(xiàn)代絲綢國家工程實(shí)驗(yàn)室，江蘇 蘇州 215123)

為了拓展分形圖在紡織圖案設(shè)計(jì)上的應(yīng)用，探索紡織圖案設(shè)計(jì)的快捷方法，為設(shè)計(jì)者提供更豐富、新穎的設(shè)計(jì)素材。首先，根據(jù)復(fù)平面上分形圖的生成方法與程序編寫，運(yùn)用編程軟件Visual Basic 6.0，分別研究復(fù)平面上Mandelbrot集與Julia集的生成方法，實(shí)現(xiàn)其可視化。然后通過改變迭代函數(shù)的形式得到一系列變化分形圖，結(jié)合圖像處理、平面設(shè)計(jì)軟件等對(duì)得到的分形圖進(jìn)行紋樣設(shè)計(jì)和效果模擬，利用印花技術(shù)將分形紋樣應(yīng)用于紡織品上。結(jié)果表明，基于分形圖的紡織圖案設(shè)計(jì)更加適應(yīng)快捷、高效、多變的紡織生產(chǎn)模式。

復(fù)平面；分形；程序設(shè)計(jì)；可視化；圖案設(shè)計(jì)

紡織圖案設(shè)計(jì)在現(xiàn)代紡織品設(shè)計(jì)中占有主要地位，傳統(tǒng)的紡織圖案設(shè)計(jì)本質(zhì)是依靠人腦構(gòu)想來完成，通過紙、筆及繪圖軟件繪制而成，這種設(shè)計(jì)方法受人腦靈感的限制，并要求設(shè)計(jì)者具有專業(yè)的手繪功底，且耗時(shí)長，圖案呈現(xiàn)過程繁瑣，形成的紡織圖案形式單一，局限性大。因此，分形作為一種新型的圖形生成方法應(yīng)運(yùn)而生，分形圖具有獲得方法簡捷，圖形色彩絢麗、結(jié)構(gòu)層次豐富等特點(diǎn)，通過函數(shù)形式變化得到的變化分形圖對(duì)紡織圖案設(shè)計(jì)具有一定的探究意義。

分形圖是一種以數(shù)學(xué)理論作為基礎(chǔ)，通過調(diào)整迭代函數(shù)、變化規(guī)則及顏色參數(shù)等數(shù)據(jù)進(jìn)行編程設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)程序代碼的可視化，將枯燥的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為絢麗的圖形或圖像。由于分形圖生成原理，其具有極精細(xì)結(jié)構(gòu)，若沒有源代碼分形圖將不易復(fù)制和拷貝。這種分形圖實(shí)現(xiàn)了分形幾何學(xué)與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的完美聯(lián)合，同時(shí)也是科學(xué)與藝術(shù)的融合，另外分形圖的美是不可估量的，為紡織圖案設(shè)計(jì)增添了新元素[1]。張聿等[2-3]運(yùn)用計(jì)算機(jī)繪圖方法，探究了借助電子印花技術(shù)將可視化信息展現(xiàn)在織物上的可行性。蔡燕燕等[4-5]對(duì)Mandelbrot集與Julia集基礎(chǔ)分形圖在圖案設(shè)計(jì)上作了闡述。楊旭紅等[6]對(duì)分形信息的可視化及其在紡織紋樣設(shè)計(jì)中的應(yīng)用作了初步探究。孫博文[1]已經(jīng)對(duì)Mandelbrot集、Julia集的生成方法做了具體的說明和討論，因此本文主要利用復(fù)平面上分形圖在Visual Basic 6.0中的實(shí)現(xiàn)方法，通過改變迭代函數(shù)形式和參數(shù)而生成變化分形圖，將其保存為圖片形式。運(yùn)用圖像處理軟件Photoshop進(jìn)行二次設(shè)計(jì)，并將變化分形圖廣泛應(yīng)用于紡織紋樣設(shè)計(jì)中。

1 復(fù)平面分形圖的生成原理

1.1 基本原理

復(fù)平面上的分形圖主要是指基于逃逸時(shí)間算法的分形圖，其原理為：令函數(shù)或映射y=f(x)作為某一變化規(guī)則，若給定初始值x=x0，則有y=f(x0)，將得到的y值記作x1，則x1=f(x0)，x1作為x的一個(gè)新值，則有y=f(x1)，同理將得到的y值記作x2，則x2=f(x1)。對(duì)xn=f(xn-1)進(jìn)行n次迭代賦值，將得到一個(gè)序列x0,x1,x2,...,xn作為x的逃逸軌跡。逃逸軌跡包括內(nèi)部收斂于某一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)及外部發(fā)散兩個(gè)部分，在電腦屏幕上，不同的逃逸區(qū)域用不同的顏色表現(xiàn)出來就得到了分形圖[6-7]。復(fù)平面上的分形主要包括Mandelbrot集(簡稱M集)和Julia集(簡稱J集)。

1.2 M集和J集迭代函數(shù)的變化及變化圖形的生成

1.2.1 M集迭代函數(shù)的變化及變化圖形的生成

M集是分形理論首創(chuàng)者曼德勃羅在1980年發(fā)現(xiàn)的，采用的是復(fù)平面上的二維迭代關(guān)系：

Z=Zm+C

(1)

式中：Z是復(fù)數(shù)變量，C是復(fù)常數(shù)量，m是冪指數(shù)。

設(shè)定初始的Z值，使C值在復(fù)平面的某個(gè)區(qū)域內(nèi)有規(guī)律地變化，追蹤C(jī)值得到迭代收斂的序列點(diǎn)，并對(duì)點(diǎn)進(jìn)行著色繪圖[8]。計(jì)算機(jī)繪圖的具體操作：首先根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算原理，求得展開式；再對(duì)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部進(jìn)行分離；最后將其轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言，進(jìn)行編程設(shè)計(jì)。

M集位于復(fù)平面中，根據(jù)計(jì)算機(jī)繪圖原理及繪圖步驟，Z=Zm+C的基本函數(shù)形式是m=2時(shí)，可得到如圖1(a)所示分形圖。

圖1 M集變化分形圖Fig.1 Changing fractal patterns of M set

令函數(shù)Z=Zm+C中冪指數(shù)m分別取值3,4,5,6時(shí)，生成的分形圖也會(huì)隨之變化，對(duì)函數(shù)進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算得到如下展開式：

m=3Z= (x+iy)3=(x3-3xy2)+

(3x2y-y3)i

(2)

m=4Z= (x+iy)4=(x4-6x2y2+y4)+

(4x3y-4xy3)i

(3)

m=5Z= (x+iy)5=(x5-10x3y2+5xy4)+

(5x4y-10x2y3+y5)i

(4)

m=6Z= (x+iy)6=(x6-15x4y2+5x2y4-y6)+

(6x5y-20x3y3+6xy5)i

(5)

由此可以通過虛、實(shí)部分離，將其改寫成計(jì)算機(jī)語言，進(jìn)行函數(shù)替換。程序運(yùn)行結(jié)果如圖1(b)—(e)所示，分別為m取值3,4,5,6時(shí)的分形圖。

M集位于復(fù)平面上，當(dāng)函數(shù)形式為三角函數(shù)，則將迭代式Z→Zm+C中Zm替換成sinz，令Z=sinz+C，由歐拉公式[9]進(jìn)行展開運(yùn)算得到：

(6)

對(duì)式(6)進(jìn)行虛、實(shí)部分離，轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言：

x′=0.5×sin(x)×(exp(-y)+exp(y))+p

(7)

y′=-0.5×cos(x)×(exp(-y)-exp(y))+q

(8)

通過編程軟件運(yùn)行，結(jié)果如圖1(f)所示。同理可知余弦展開式[9]為：

(9)

得到余弦函數(shù)分形圖如圖1(g)所示。

1.2.2 J集迭代函數(shù)的變化及變化圖形的生成

J集的基本迭代形式與M集相同，但在Z、C取值上有所不同，在J集中，C作為某一固定值，Z作為變化點(diǎn)進(jìn)行反復(fù)迭代，可在復(fù)平面上得到J集的圖形[10-11]。J集位于復(fù)平面中，冪指數(shù)m分別取值2,3,4,5,6時(shí)會(huì)生成不同的分形圖，運(yùn)行結(jié)果如圖2(a)—(e)所示。

圖2 J集變化分形圖Fig.2 Changing fractal patterns of J set

J集位于復(fù)平面上，將迭代式Z→Zm+C中Zm替換成sinz、cosz，則令Z=sinz+C，變化為三角函數(shù)形式。由歐拉公式展開，并轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言，再通過程序設(shè)計(jì)，運(yùn)行得到三角函數(shù)J集圖案，如圖2(f)(g)所示。

2 分形紋樣設(shè)計(jì)

分形圖具有一個(gè)很大的特征——自相似性，是指組成局部與整體以某種方式相似。這里提到的相似并不局限于嚴(yán)格的相似，它是大量統(tǒng)計(jì)顯現(xiàn)出的不嚴(yán)格的相似，而且無論放大多少倍，始終能看到內(nèi)部有與外部輪廓相似的結(jié)構(gòu)，這說明分形圖具有極精細(xì)結(jié)構(gòu)[12]。基于分形圖的精細(xì)結(jié)構(gòu)，分形圖在數(shù)碼紡織上具有更高的實(shí)用價(jià)值。另外，可以對(duì)分形圖進(jìn)行二次處理，得到連續(xù)紋樣并應(yīng)用于數(shù)碼噴墨印花技術(shù)。

紡織圖案的結(jié)構(gòu)形式主要包括單獨(dú)紋樣、適合紋樣、連續(xù)紋樣等。單獨(dú)紋樣是從分形圖中直接選用整體或選取部分進(jìn)行紋樣設(shè)計(jì)，單獨(dú)紋樣在外觀上并沒有具體的限制，但紋樣的構(gòu)成形式應(yīng)主次分明，次要部分起填充、烘托作用，突出主要部分[13]。適合紋樣是指將整體形態(tài)限定在一定形狀的范圍內(nèi)，呈現(xiàn)出某種特定的外觀形態(tài)，其主要包括中心式、格律體、角隅式等[14]。紋樣設(shè)計(jì)如圖3所示，其中圖3(a)(b)是選取圖1(a)作為紋樣素材，圍繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，形成中心對(duì)稱圖形；圖3(c)則選用圖1(f)作為紋樣素材，摳圖、復(fù)制，使兩者成90°拼接，形成角隅式紋樣。適合紋樣結(jié)構(gòu)規(guī)則，外形美觀。連續(xù)紋樣是通過多次復(fù)制、往復(fù)連接，組成排列有序的圖案，生活中大家看到的圖案大部分是連續(xù)紋樣，主要分為二方連續(xù)和四方連續(xù)兩種。紋樣圖案如圖4所示，其中圖4(a)選取圖1(c)(e)作為紋樣素材，進(jìn)行二方連續(xù)排列；圖4(b)以圖2(b)(c)作為基礎(chǔ)紋樣素材，通過改變顏色，進(jìn)行變形組合，有花朵層疊感，形成四方連續(xù)紋樣。

圖3 適合紋樣Fig.3 Suitable patterns

圖4 連續(xù)紋樣Fig.4 Continuous patterns

分形圖在結(jié)構(gòu)、色彩上都具有獨(dú)特的風(fēng)格，一些具有圓潤的曲線構(gòu)圖方式，另一些具有爆破的沖擊感，可以給人在視覺上帶來新鮮感。所以分形圖可以作為新型圖案素材應(yīng)用于紡織紋樣設(shè)計(jì)中，具體設(shè)計(jì)實(shí)踐步驟如下：根據(jù)設(shè)計(jì)風(fēng)格和主體構(gòu)思概念→選擇相應(yīng)的分形圖作為素材→對(duì)選擇的分形圖進(jìn)行圖像處理→根據(jù)靈感要求進(jìn)行設(shè)計(jì)→通過Photoshop軟件進(jìn)行實(shí)物效果演示。

2.1 設(shè)計(jì)實(shí)例1

以圖1(a)的M集分形圖作為素材紋樣，以不同的中心點(diǎn)以60°旋轉(zhuǎn)并復(fù)制構(gòu)成中心對(duì)稱的基礎(chǔ)紋樣A、B，如圖5(a)所示。參照?qǐng)D5(b)所示，其中紋樣A以5枚3飛緞紋組織排列，紋樣B自然穿插其中，按排列圖進(jìn)行排版構(gòu)成四方連續(xù)紋樣的基礎(chǔ)紋樣，如圖5(c)所示。拼貼成四方連續(xù)紋樣，給人活潑自然、清新明快之感。

2.2 設(shè)計(jì)實(shí)例2

以圖2(a)的J集分形圖作為素材紋樣，對(duì)素材紋樣進(jìn)行摳圖、調(diào)色及變形處理，使其構(gòu)成花朵的形態(tài)，基礎(chǔ)紋樣如圖6(a)所示。參照?qǐng)D6(b)所示排列圖進(jìn)行排列設(shè)計(jì)，通過選擇不同的底紋形態(tài)，產(chǎn)生不同的效果。

圖5 M集分形圖紋樣設(shè)計(jì)Fig.5 Pattern design of M set fractal graph

圖6 J集分形圖紋樣設(shè)計(jì)Fig.6 Pattern design of J set fractal graph

3 分形紋樣在紡織品上的應(yīng)用實(shí)踐

3.1 分形紋樣效果模擬

根據(jù)上述設(shè)計(jì)實(shí)例中的紋樣設(shè)計(jì)，利用圖像處理軟件Photoshop進(jìn)行效果模擬。將圖5(c)紋樣及改變底紋顏色獲得的紋樣分別應(yīng)用于服裝、家紡產(chǎn)品上，效果如圖7所示。將圖6(c)紋樣及改變底紋樣式獲得的紋樣分別應(yīng)用于服裝、家紡產(chǎn)品上，效果如圖8所示。由于分形圖的顯著特點(diǎn)是具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，原則上無論放大多少倍仍能找到與整體相似的結(jié)構(gòu)。這一特點(diǎn)說明分形圖更適用于印染在經(jīng)緯紗線較細(xì)的織物上，如絲綢、高支面料等。

圖7 模擬效果(設(shè)計(jì)實(shí)例1)Fig.7 Simulation effect (design example 1)

圖8 模擬效果(設(shè)計(jì)實(shí)例1)Fig.8 Simulation effect (design example 2)

3.2 噴墨印花實(shí)踐

選用M集分形圖作為素材紋樣，以圖5(a)中紋樣構(gòu)成方法獲得基礎(chǔ)紋樣，對(duì)基礎(chǔ)紋樣進(jìn)行組合排列，底紋顏色進(jìn)行漸變處理，獲得如圖9所示絲巾圖案。將設(shè)計(jì)的圖像數(shù)據(jù)保存為BMP文件格式，借助導(dǎo)帶式直噴數(shù)碼印花機(jī)(MS-JP5)進(jìn)行印花實(shí)踐，生成如圖10所示絲巾成品。

圖9 絲巾圖案Fig.9 Silk scarf pattern

圖10 絲巾成品Fig.10 Product show of silk scarf

另外，借助數(shù)碼印花機(jī)，實(shí)現(xiàn)分形紋樣在絲綢面料上的印花實(shí)踐，得到如圖11所示印花織物成品。

圖11 印花織物照片F(xiàn)ig.11 Picture of printed fabric

4 結(jié) 語

1)根據(jù)復(fù)平面上分形圖的生成方法，改變程序代碼，從而改變分形圖。分別在高次冪函數(shù)和三角函數(shù)兩種函數(shù)條件下生成變化分形圖，與基礎(chǔ)分形圖相比生成的分形圖色彩更加豐富、層次十分突出、結(jié)構(gòu)變化復(fù)雜，具有較明顯的對(duì)稱效果，極大程度豐富了圖案設(shè)計(jì)素材庫。

2)根據(jù)紡織品主題風(fēng)格與應(yīng)用領(lǐng)域要求，對(duì)分形圖像進(jìn)行選擇和處理，借助Photoshop圖像處理軟件，通過旋轉(zhuǎn)、復(fù)制、變形等基礎(chǔ)操作設(shè)計(jì)得到符合要求的紋樣。通過改變底紋樣式和配色改變整體紋樣風(fēng)格，充分體現(xiàn)了分形紋樣設(shè)計(jì)的多樣性、易改變性及融合性。

3)實(shí)現(xiàn)復(fù)平面上分形圖的設(shè)計(jì)與數(shù)碼印花技術(shù)的完美結(jié)合，另外通過編程生成的數(shù)字圖形具有極精細(xì)結(jié)構(gòu)和自相似的特點(diǎn)，其適用于印染在組織結(jié)構(gòu)緊密的絲綢制品上。整個(gè)過程為數(shù)字化模式，精度高、周期短、綠色環(huán)保，能引領(lǐng)印染行業(yè)的新方向。分形圖為紡織圖案設(shè)計(jì)提供了工具，為現(xiàn)代紡織生產(chǎn)模式提供了新思路，具有廣闊的應(yīng)用前景。

[1]孫博文.分形算法與程序設(shè)計(jì):Visual Basic實(shí)現(xiàn)[M].北京:科學(xué)出版社,2004:9-159. SUN Bowen. Fractal Algorithm and Program Design to Achieve:VB [M]. Beijing:Science Press,2004:9-159.

[2]張聿,帥沁芬,付岳瑩,等.基于廣義Julia集的印花圖案設(shè)計(jì)[J].紡織學(xué)報(bào),2007,28(4):80-86. ZHANG Yu,SHUAI Qinfen,FU Yueying,et al. Printing pattern designing based on general Julia set[J]. Journal of Textile Research,2007,28(4):80-86.

[3]張聿,付岳瑩.基于三角函數(shù)Mandelbrot集的印花圖案設(shè)計(jì)初探[J].絲綢,2005(1):13-14. ZHANG Yu,FU Yueying. Studies on printing pattern design based on triangle function Mandelbrot set[J]. Journal of Silk,2005(1):13-14.

[4]蔡燕燕,宋曉霞.基于Julia集分形圖形在服裝圖案設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2011,25(2):172-174. CAI Yanyan,SONG Xiaoxia. Application of fractal graphics in clothing pattern design based on Julia set[J]. Journal of Shanghai University of Engineering Science,2011,25(2):172-174.

[5]蔡燕燕,宋曉霞.基于Mandelbrot集的分形圖形用于絲綢圖案設(shè)計(jì)[J].絲綢,2011,48(8):35-37. CAI Yanyan,SONG Xiaoxia. Application of fractal graphs in silk pattern design based on Mandelbrot set[J]. Journal of Silk,2011,48(8):35-37.

[6]楊旭紅,顏曉華.復(fù)平面上分形信息的可視化及在紡織紋樣設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].絲綢,2007(7):39-47. YANG Xuhong,YAN Xiaohua. Visualization of complex plane fractal information and its application in textile pattern design[J]. Journal of Silk,2007(7):39-47.

[7]張菊香.逃逸時(shí)間算法生成的Julia集在紡織圖案設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究[D].蘇州:蘇州大學(xué),2009. ZHANG Juxiang. Julia Sets Generated by Escape Time Algorithm Is at the Application of the Textile Pattern Design[D]. Suzhou:Soochow University,2009.

[8]陳寧,朱偉勇.M-J混沌分形圖譜[M].沈陽:東北大學(xué)出版社,1998:69-79. CHEN Ning,ZHU Weiyong. M-J Chaos Fractal Images[M]. Shenyang:Northeastern University Press,1998:69-79.

[9]趙玉水.基于Mandelbrot集圖形的新型面料肌理設(shè)計(jì)方法[D].杭州:浙江理工大學(xué),2010:20-21. ZHAO Yushui. Texture Design of Fabric Based on Mandelbrot Graphics[D]. Hangzhou:Zhejiang Sci-Tech University,2010:20-21.

[10]張聿,張棟高,楊旭紅,等.紡織設(shè)計(jì)中Julia集可視化信息表征方法的研究[J].蘇州大學(xué)學(xué)報(bào)(工科版),2002,22(1):25-28. ZHANG Yu,ZHANG Donggao,YANG Xuhong,et al. Studies on fabric patterns designing with visual information in Julia set[J]. Journal of Soochow University (Engineering Science Edition),2002,22(1):25-28.

[11]柯福軍,張方強(qiáng).分形幾何與分形花形的迭代函數(shù)系統(tǒng)方法[J].紡織學(xué)報(bào),2003,24(5):43-44. KE Fujun,ZHANG Fangqiang. Fractional geometry and fractional patterns on overlapping function system[J]. Journal of Textile Research,2003,24(5):43-44.

[12]李杰.基于遺傳算法的分形藝術(shù)圖案生成方法的研究[D].濟(jì)南:山東師范大學(xué),2009. LI Jie. Research of Fractal Artistic Graphics Generation Method Based on Genetic Algorithm[D]. Ji’nan:Shandong Normal University,2009.

[13]胡晨晨.基于分形理論的服裝面料圖案設(shè)計(jì)及應(yīng)用研究[D].杭州:浙江理工大學(xué),2016. HU Chenchen. Fabric Pattern Design and Application Research Based on the Fractal Theory[D]. Hangzhou:Zhejiang Sci-Tech University,2016.

[14]孟廣利.L-系統(tǒng)分形圖在紡織紋樣設(shè)計(jì)上的應(yīng)用[D].蘇州:蘇州大學(xué),2012. MENG Guangli. Application of L-system to Textile Pattern Design[D]. Suzhou:Soochow University,2012.

收稿日期:2016-12-01;修回日期:2017-06-14

基金項(xiàng)目:國家社科基金藝術(shù)學(xué)一般項(xiàng)目(16BG112)；四川省教育廳人文社科一般項(xiàng)目(16SB0056)

Generationoffractalimageoncomplexplaneanditsapplicationintextiles

WANG Shuhuan,YANG Xuhong

(National Engineering Laboratory for Modern Silk,Soochow University,Suzhou 215123,China)

This paper aims to expand the application of fractal graph in textile pattern design,explore a convenient method of textile pattern design,and provide designers with more abundant and novel design materials. Firstly,according to the generation method and programming of fractal graph on complex plane,the method of generating Mandelbrot set and Julia set on complex plane was studied with Visual Basic 6.0,with a view to realizing visualization thereof. Secondly,a series of variation fractal graphs were obtained by changing the form of iterative function,pattern design and effect simulation of the obtained fractal graphs were conducted with image processing and graphic design software,and the fractal patterns were applied in textiles with printing technology. The results show that textile pattern design based on fractal graph is more suitable for the fast,efficient and changeable textile production mode.

complex plane; fractal; program design; visualization; pattern design

10.3969/j.issn.1001-7003.2017.08.010

2016-09-30;

:2017-06-13

江蘇省高校優(yōu)勢學(xué)科二期建設(shè)項(xiàng)目(蘇政辦發(fā)〔2014〕37號(hào))

TS941.26

:B

:1001-7003(2017)08-0056-06 < class="emphasis_bold">引用頁碼

頁碼:081202