具有曲率和慣性非線性以及材料內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的主共振1)

任勇生姚東輝

(山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東青島266590)

動(dòng)力學(xué)與控制

具有曲率和慣性非線性以及材料內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的主共振1)

任勇生2)姚東輝

(山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東青島266590)

旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸作為一類典型的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在先進(jìn)直升機(jī)和汽車動(dòng)力驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中有著廣闊的應(yīng)用前景.研究旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性振動(dòng)特性具有重要的理論與實(shí)用價(jià)值.然而，目前有關(guān)旋轉(zhuǎn)軸的非線性振動(dòng)研究僅限于各向同性金屬材料軸，很少考慮材料內(nèi)阻的影響.本文研究具有材料內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)非線性復(fù)合材料軸的主共振.非線性來源于不可伸長復(fù)合材料軸的大變形引起的非線性曲率和非線性慣性，材料內(nèi)阻來源于復(fù)合材料的黏彈性.動(dòng)力學(xué)建模計(jì)入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和陀螺效應(yīng).基于擴(kuò)展的Hamilton原理，導(dǎo)出具有偏心激勵(lì)的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的彎--彎耦合非線性振動(dòng)偏微分方程組.采用Galerkin法將偏微分方程離散化為常微分方程，采用多尺度法對常微分方程進(jìn)行攝動(dòng)分析，導(dǎo)出主共振響應(yīng)的解析表達(dá)式.對內(nèi)阻、外阻、鋪層角、長徑比、鋪層方式和偏心距進(jìn)行數(shù)值分析，研究上述參數(shù)對旋轉(zhuǎn)非線性復(fù)合材料軸的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)響應(yīng)行為的影響.研究發(fā)現(xiàn)，角鋪設(shè)復(fù)合材料軸的內(nèi)阻系數(shù)隨著鋪層角的增大而增大；內(nèi)阻對主共振響應(yīng)特性的影響主要體現(xiàn)在對抑制振幅和改變頻率響應(yīng)的穩(wěn)定性方面；發(fā)生在正進(jìn)動(dòng)固有頻率附近的主共振響應(yīng)具有典型的硬彈簧非線性特性.本文提出的模型能夠用于描述旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的主共振特性，是對不可伸長旋轉(zhuǎn)金屬軸非線性動(dòng)力學(xué)模型的重要推廣.

主共振，旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸，材料內(nèi)阻，不可伸長梁，多尺度法

引言

復(fù)合材料由于密度小，抗振降噪性能好，在直升機(jī)尾傳動(dòng)軸[1]以及汽車傳動(dòng)軸的結(jié)構(gòu)[2]中已經(jīng)發(fā)揮出越來越重要的作用.對復(fù)合材料轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性做出精確分析和預(yù)測，將有助于進(jìn)一步推進(jìn)先進(jìn)復(fù)合材料在航空和汽車等尖端技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用.

Zinberg等[3]基于等效模量梁理論建立了復(fù)合材料軸臨界轉(zhuǎn)速分析模型，并且將分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比.Singh等[4]分別基于等效模量梁理論和分層梁理論建立了復(fù)合材料軸的動(dòng)力學(xué)模型，并對兩種模型得到的臨界轉(zhuǎn)速進(jìn)行對比.Kim等[5]采用殼的一階近似理論推出了薄壁復(fù)合材料傳動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)微分方程，并且計(jì)算了不同類型的復(fù)合材料傳動(dòng)軸的臨界轉(zhuǎn)速.Bert[6]采用Bernoulli-Euler梁理論建立了復(fù)合材料傳動(dòng)軸的動(dòng)力學(xué)方程，該模型考慮了陀螺效應(yīng)和彎扭耦合的影響.Chang等[7]基于一階剪切梁理論提出了一個(gè)復(fù)合材料軸系統(tǒng)的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型，該模型除了軸還包含了剛盤以及軸承.Song等[8]基于Rehfie[9]的復(fù)合材料薄壁梁理論，建立了復(fù)合材料軸的振動(dòng)微分方程，研究了矩形截面軸和圓形截面軸的固有頻率和穩(wěn)定性.任勇生等[1011]基于變分漸進(jìn)法[12]，提出了旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的動(dòng)力學(xué)分析模型，其中引入了橫向剪切變形，并且考慮了剛盤以及軸承的影響.

然而，由于復(fù)合材料相比金屬材料具有更大的阻尼，在超臨界旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸受到內(nèi)阻的影響，更容易產(chǎn)生大振幅失穩(wěn)問題.因此，在復(fù)合材料轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析中考慮非線性因素的影響，對于深入揭示高速復(fù)合材料轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，最終實(shí)現(xiàn)對其動(dòng)力學(xué)性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)是十分必要的[13].

Shaw等[14]研究具有內(nèi)阻的黏彈性材料旋轉(zhuǎn)軸的非線性受迫振動(dòng)，采用中心流理論分析軸的后臨界動(dòng)力學(xué)特性.Cveticanin[15]研究了考慮材料非線性彈性特性的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主共振，并將轉(zhuǎn)子簡化為二自由度系統(tǒng)，采用平均法進(jìn)行求解.Ishida等[16]研究了質(zhì)量連續(xù)分布轉(zhuǎn)子非線性受迫振動(dòng)，非線性是由于轉(zhuǎn)子中心線可伸長產(chǎn)生的.研究表明，主共振響應(yīng)曲線具有硬彈簧特性，并且存在某些組合共振.Hosseini等[17]采用多尺度法研究了具有軸向可伸長的旋轉(zhuǎn)軸的非線性受迫振動(dòng)，其中考慮了外阻的影響.Khadem等[18]研究軸向不可伸長的大變形旋轉(zhuǎn)軸兩模態(tài)組合共振，采用諧波平衡法進(jìn)行求解，得到組合共振近似解析解.Shahgholi等[19]采用多尺度法研究了主軸質(zhì)量慣性矩和剛度系數(shù)不相等的非對稱軸主共振和參數(shù)共振，非線性來源于軸向不可伸長的大變形.Shad等[20]采用多尺度法研究了考慮高階彎曲變形的非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主共振，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是由帶有剛盤和剛性支承的簡支彈性軸構(gòu)成.Hosseini等[21]采用多尺度法研究了具有曲率和慣性非線性的旋轉(zhuǎn)軸的非線性自由振動(dòng)與受迫振動(dòng).

然而，上述研究或者針對簡單的二自由度系統(tǒng)，或者針對各向同性材料旋轉(zhuǎn)軸.Ren等[22]采用多尺度法研究了旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的質(zhì)量不平衡主共振，非線性采用Von Karman大變形進(jìn)行描述并且沒有考慮復(fù)合材料內(nèi)阻的影響.但上述模型僅適合于薄壁復(fù)合材料軸.

復(fù)合材料軸的內(nèi)阻來源于材料內(nèi)部的能量耗散.Saravanos等[23]提出了一個(gè)預(yù)測各向異性復(fù)合材料空心梁模態(tài)阻尼的有限元模型，但它僅適用于非旋轉(zhuǎn)的復(fù)合材料梁或者葉片.Sino等[24]基于簡化的均勻梁有限元模型(SHBT)，研究帶有剛盤和彈性支承的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)力學(xué)特性，其中采用黏彈性復(fù)合材料本構(gòu)關(guān)系描述內(nèi)阻特性.Ren等[25]基于變分漸進(jìn)法建立了復(fù)合材料薄壁軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，采用單層--截面--軸的多尺度阻尼分析方法對復(fù)合材料內(nèi)阻進(jìn)行建模.然而，上述研究由于均未考慮非線性因素的影響，僅適合于對旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸進(jìn)行線性振動(dòng)分析.

本文研究兩端簡支不可伸長旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性受迫振動(dòng)，其中考慮復(fù)合材料內(nèi)阻和非線性曲率和慣性的影響，內(nèi)阻來源于復(fù)合材料的黏彈性，剪切變形的影響不予考慮.從復(fù)合材料應(yīng)力--應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系和應(yīng)變--位移關(guān)系出發(fā)，在導(dǎo)出復(fù)合材料軸的應(yīng)變能、動(dòng)能和阻尼耗散能的基礎(chǔ)上，采用擴(kuò)展的Hamilton原理建立了運(yùn)動(dòng)微分方程.采用Galerkin法對彎曲振動(dòng)非線性偏微分方程組進(jìn)行離散化，采用多尺度法導(dǎo)出具有偏心質(zhì)量激勵(lì)的旋轉(zhuǎn)軸的彎曲主共振穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式,研究纖維鋪層角、鋪層方式、長徑比、偏心距和外阻等參數(shù)以及材料內(nèi)阻對旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸主共振特性的影響.

1 運(yùn)動(dòng)方程

圖1所示為長度為L的復(fù)合材料軸，軸的兩端簡支，直角坐標(biāo)系(X,Y,Z)為慣性坐標(biāo)系；(X0,Y0,Z0)為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，(x,y,z)為局部坐標(biāo)系，慣性坐標(biāo)軸與復(fù)合材料軸的橫截面主軸一致，坐標(biāo)原點(diǎn)位于變形軸的中心線上的x點(diǎn)處.變形軸上x點(diǎn)沿X,Y和Z方向的位移分別為u(x,t),v(x,t)和w(x,t)，扭轉(zhuǎn)角為φ(x,t).

假定復(fù)合材料軸繞X軸以定常角速度Ω旋轉(zhuǎn)；復(fù)合材料軸為細(xì)長桿，剪切變形可以忽略不計(jì)；由于支承點(diǎn)O是固定的，而支承點(diǎn)O′在X方向不受約束，因此復(fù)合材料軸的中心線是不可伸長的；除了考慮復(fù)合材料的內(nèi)阻，也同時(shí)考慮外阻尼的影響.

圖1 旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of the rotating composite shaft

旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)能為[26]

其中，“˙”表示對時(shí)間t求偏導(dǎo),m和I分別表示單位長度的質(zhì)量和截面慣性矩，分別為

其中，N表示復(fù)合材料的層數(shù)，ρ(k)是第k層的密度，rk和rk+1分別是第k層的內(nèi)徑和外徑.ω1,ω2和ω3分別表示坐標(biāo)系(x,y,z)相對于(X,Y,Z)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，表達(dá)式為

其中，ψ=φ+Ωt,ψy和ψz分別表示復(fù)合材料軸的橫截面繞z和y軸的轉(zhuǎn)角，φ表示橫截面繞x軸的扭轉(zhuǎn)角，ψz和ψy可以表示為[26]

其中，“′”表示對x求偏導(dǎo).

旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的彈性勢能

其中，在柱坐標(biāo)下的微體積元d V=r d r dαd x，r和α分別表示極徑和極角.

不計(jì)剪切變形,復(fù)合材料軸的柱坐標(biāo)形式的應(yīng)力--應(yīng)變方程為[7]

其中，σx和τxα分別表示柱坐標(biāo)點(diǎn)(x,r,α)的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，ij(i,j=1,6)表示復(fù)合材料單層的偏軸剛度系數(shù).

柱坐標(biāo)下的應(yīng)變--位移方程

其中，ρi(i=1,2,3)表示軸的曲率[27]，計(jì)算如下

彈性勢能的變分

將式(6)～式(9)代入式(11)，可得

其中

由于旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的支承O′在x軸方向是可運(yùn)動(dòng)的，因此，沿軸向不可伸長假設(shè)成立[28]，即應(yīng)變?chǔ)?0，由此可得

于是方程(12)可簡化為

旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸阻尼耗散力的虛功

簡諧穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下黏彈性復(fù)合材料的耗散應(yīng)力為

經(jīng)過與式(15)類似的推導(dǎo)，可得

其中

其中，ˉηij(i,j=1,2,6)表示復(fù)合材料單層的偏軸阻尼系數(shù).

如果假設(shè)橫向位移v和w是一階無窮小量，則軸向位移u為二階無窮小量.將式(4)代入方程(3)和方程(10)，展成泰勒級數(shù)，并只保留前三階無窮小量，并將結(jié)果代入式(15)和式(19)，采用擴(kuò)展的Hamilton原理[2930]，并且利用式(14)，可建立復(fù)合材料軸的彎--彎--扭耦合非線性振動(dòng)方程.

圓形截面軸的扭轉(zhuǎn)基礎(chǔ)頻率比彎曲頻率大得多，扭轉(zhuǎn)慣性項(xiàng)可以略去不計(jì)[27]，此外，由于復(fù)合材料軸是細(xì)長桿，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小，因此與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相乘的非線性項(xiàng)也可忽略不計(jì)[26]，據(jù)此，對彎--彎--扭耦合非線性振動(dòng)方程可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?

定義下列無量綱量

采用變換式(21)，并利用上述假定,可以導(dǎo)出彎--彎耦合非線性振動(dòng)方程

需要說明的是，在上述方程中引入了黏滯阻尼系數(shù)為c的外阻尼項(xiàng)，以及由于質(zhì)量偏心產(chǎn)生的激振力項(xiàng).而且，方程(22)和(23)是在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下得到的.為了著重研究非線性慣性和非線性剛度的影響，上述方程中只保留了內(nèi)阻的線性項(xiàng).

為簡單起見，方程(22)和(23)中變量v，w和x上的橫杠均已去掉.

2 方程求解

為了采用多尺度法研究旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的主共振，首先將彎--彎耦合非線性偏微分方程組(22)和(23)化為常微分方程組.為此，取單模態(tài)做近似處理，采用Galerkin法進(jìn)行離散.

簡支復(fù)合材料軸的彎曲位移v(x,t)和w(x,t)為

其中，V(tˉ)和W(tˉ)表示模態(tài)坐標(biāo)，n=1,2,···為模態(tài)階數(shù).

令

其中，T0=ˉt,T2=ε2ˉt.考慮到

將式(29)和式(30)代入方程(27)和式(28)，分別令方程兩端ε同次冪的系數(shù)相等，得O(ε)

方程(31)的解形式為

ωf和ωb分別為正進(jìn)動(dòng)和反進(jìn)動(dòng)線性固有頻率

令

其中，σ是調(diào)諧參數(shù)，表示激振頻率ˉΩ與固有頻率ωf的接近程度.利用

其中，cc表示復(fù)共軛.

將式(33)代入方程(32)，并且設(shè)q=ˉeˉΩ2，得

其中

為了建立方程(37)的可解條件，設(shè)

將式(39)代入方程(37)，分別令eiωfT0和eiωbT0的系數(shù)相等，得

方程(40)的定解條件為

方程(41)的定解條件為

由方程(42)和(43)，可分別化簡得

其中

設(shè)

其中，ai(T2)，θi(T2)(i=1,2)是振幅和相位角.

將解(47)代入方程(44)和(45)，分離實(shí)部和虛部，得

3 數(shù)值算例

旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的基本參數(shù)包括：軸的平均半徑為0.176m，厚度0.01016m，角鋪設(shè)[±θ]8的層合方式，長度L根據(jù)長徑比確定.n=1,復(fù)合材料力學(xué)參數(shù)如表1所示.

表1 材料力學(xué)特性[23]Table 1 Mechanicalpropertiesofmaterial[23]

圖2[±θ]8鋪層復(fù)合材料軸的內(nèi)阻系數(shù)ˉγ隨鋪層角變化曲線(L/d=100)Fig.2 Internaldamping coe ffi cientvs.[±θ]8angle-ply laminated shaft(L/d=100)

圖2 所示為具有角鋪層的復(fù)合材料軸的無量綱內(nèi)阻系數(shù)ˉγ(見計(jì)算公式(21))隨鋪層角θ的變化曲線.從圖2可以看出，隨著鋪層角的增大,內(nèi)阻系數(shù)具有增大的趨勢，在θ=0°時(shí)，=0.0258為最??；在θ=73.4694°時(shí)，達(dá)到最大值0.0545；此后，隨著鋪層角增大，比其最大值略有下降，當(dāng)θ=90°時(shí)，為0.0540.隨鋪層角的變化之所以呈現(xiàn)上述規(guī)律，是由于纖維縱向的阻尼低于其橫向的阻尼(見表1)，因此，纖維越靠近軸的縱向鋪設(shè)，此方向上的內(nèi)阻也越小.

圖3給出長徑比為120的角鋪層復(fù)合材料軸的主共振頻率響應(yīng)曲線，包括3種情形：①有內(nèi)、外阻(=0.0258(θ=0°),c=0.07)；②只有外阻而沒有內(nèi)阻(=0,c=0.07)；③無內(nèi)、外阻(=0,c=0).圖中，縱坐標(biāo)為復(fù)合材料軸的彎曲位移v(x,t)和w(x,t)中的正進(jìn)動(dòng)分量振幅a1.圖3表明，在主共振條件下，內(nèi)阻與外阻的作用是相同的，都是起著消耗振動(dòng)能量、降低共振響應(yīng)峰值的作用.可見，不考慮內(nèi)阻的影響將導(dǎo)致對共振響應(yīng)水平的過高估計(jì).

圖3內(nèi)外阻對角鋪設(shè)層復(fù)合材料軸的主共振響應(yīng)曲線的影響(L/d=120)Fig.3 E ff ectsof internaldamping and externaldamping of angle-ply lam inated shafton primary resonance curves(L/d=120)

圖4 表示鋪層角分別為0°，30°和60°時(shí)的主共振曲線.結(jié)果表明，鋪層角越小，共振響應(yīng)曲線向高轉(zhuǎn)速方向的彎曲越明顯，同時(shí)共振響應(yīng)的峰值也越大，這是由于復(fù)合材料內(nèi)阻系數(shù)ˉγ隨著鋪層角的減小具有減小的趨勢，在θ分別為0°，30°和60°時(shí)，對應(yīng)的ˉγ分別為0.0258，0.0356和0.0527.因此，鋪層角為60°時(shí)的共振響應(yīng)的峰值最小.

圖5表示復(fù)合材料軸的長徑比對主共振響應(yīng)的影響，結(jié)果表明，長徑比越大，即越細(xì)長的軸，共振響應(yīng)曲線的彎曲程度也更明顯.

圖4 主共振頻率響應(yīng)曲線(L/d=100，e=0.5，ˉc=0.01，[±θ]8，θ=0°，30°，60°)Fig.4 Primary resonance curves(L/d=100，e=0.5，ˉc=0.01，[±θ]8，θ=0°，30°，60°)

圖5主共振頻率響應(yīng)曲線([±30°]8，e=0.5，ˉc=0.01，L/d=50，100，150)Fig.5 Primary resonance curves([±30°]8,e=0.5，ˉc=0.01，L/d=50，100,150)

圖7和圖8分別表示偏心距和外阻尼對主共振響應(yīng)的影響，結(jié)果表明，外阻尼的增大導(dǎo)致主共振振幅減小，而偏心距的增大導(dǎo)致主共振振幅的增大.

從圖3～圖8還可以看出，旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸在ωf附近的主共振響應(yīng)曲線具有典型的硬彈簧非線性特性，在調(diào)諧量的某些變化范圍內(nèi)，共振響應(yīng)具有3個(gè)振幅，共振響應(yīng)存在不穩(wěn)定性、跳躍性以及分叉現(xiàn)象.

圖6 主共振頻率響應(yīng)曲線(L/d=100，e=0.5，cˉ=0.01，鋪層方式：[0°]16，[±60°]8，[90/0/45°/-45°])Fig.6 Primary resonance curves(L/d=100，e=0.5，=0.01，stacking sequence：[0°]16，[±60°]8，[90/0/45°/-45°])

圖7 主共振頻率響應(yīng)曲線(L/d=100，[±30°]8，=0.01，e=0.1,0.3,0.5)Fig.7 Primary resonance curves(L/d=100，[±30°]8，=0.01，e=0.1,0.3,0.5)

圖8主共振頻率響應(yīng)曲線(L/d=100，[±30°]8，e=0.5，=0.1，0.01，0.001)Fig.8 Primary resonance curves(L/d=100，[±30°]8，e=0.5，=0.1，0.01，0.001)

圖9 ～圖13分別表示長徑比、調(diào)諧量、鋪層角、外阻尼和鋪層方式等參數(shù)對振幅隨偏心距變化曲線的影響.結(jié)果表明，振幅隨著偏心距的增加而增加，適當(dāng)改變上述參數(shù)會(huì)對共振響應(yīng)特性出現(xiàn)多值區(qū)、跳躍和分叉的偏心距的范圍產(chǎn)生明顯的影響.

圖14～圖18分別表示長徑比、調(diào)諧量、鋪層角、偏心距和鋪層方式等參數(shù)對振幅隨外阻變化曲線的影響.結(jié)果表明，振幅隨著外阻的增大而減小.外阻對主共振響應(yīng)除了具有抑制作用，也會(huì)改變主共振響應(yīng)的穩(wěn)定性.當(dāng)外阻較大時(shí)，振幅--外阻尼曲線的多值區(qū)域消失，主共振響應(yīng)穩(wěn)定.

圖9 振幅隨偏心距變化曲線([±30°]8,σ=0.2,=0.01,L/d=50，100，150)Fig.9 Amplitude vs.eccentricity([±30°]8,σ=0.2,=0.01,L/d=50，100，150)

圖10振幅隨偏心距變化曲線([±30°]8,L/d=100,=0.01,σ=-0.1,0,0.1,0.2)Fig.10 Amplitude vs.eccentricity([±30°]8,L/d=100,=0.01,σ=-0.1,0,0.1,0.2)

圖11 振幅隨偏心距變化曲線(L/d=100,=0.01,σ=0.2,[±θ]8,θ=0°,30°,60°)Fig.11 Amplitude vs.eccentricity(L/d=100,=0.01,σ=0.2,[±θ]8,θ=0°,30°,60°)

圖12 振幅隨偏心距變化曲線(L/d=100,σ=0.2,[±30°]8,=0.1,0.01,0.001)Fig.12 Amplitude vs.eccentricity(L/d=100,σ=0.2,[±30°]8,=0.1,0.01,0.001)

圖13振幅隨偏心距變化曲線(L/d=100,σ=0.2,cˉ=0.01,鋪層方式：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])Fig.13 Amplitude vs.eccentricity(L/d=100,σ=0.2,=0.01,stacking sequences：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])

圖14 振幅隨外阻尼變化曲線([±30°]8，σ=0.15，e=0.5，σ=0.1,L/d=80，100，120)Fig.14 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient([±30°]8,σ=0.15,e=0.5,σ=0.1,L/d=80,100,120)

圖15 振幅隨外阻尼變化曲線([±30°]8，L/d=150，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)Fig.15 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient([±30°]8，L/d=150，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)

圖16 振幅隨外阻尼變化曲線(L/d=100，e=0.5，σ=0.12,[±θ]8，θ=0°，30°，60°)Fig.16 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient(L/d=100，e=0.5，σ=0.12,[±θ]8，θ=0°，30°，60°)

圖17 振幅隨外阻尼變化曲線(L/d=100，[±30°]8，σ=0.15,e=0.5，0.6，0.7)Fig.17 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient(L/d=100，[±30°]8，σ=0.15,e=0.5，0.6，0.7)

圖18振幅隨外阻尼變化曲線(L/d=150，σ=0.1,e=0.5,鋪層方式：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])Fig.18 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient(L/d=150,σ=0.1,e=0.5,stacking sequences：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])

圖19 ～圖22分別表示長徑比、調(diào)諧量、外阻尼和偏心距等參數(shù)對振幅隨鋪層角變化曲線的影響.結(jié)果表明，對于上述參變量某些給定值，隨著鋪層角的增大，振幅隨鋪層角變化曲線從多值曲線變?yōu)閱沃登€，主共振響應(yīng)由不穩(wěn)定跳躍變?yōu)榉€(wěn)定，即鋪層角越大，穩(wěn)定性越好，這與外阻尼的效果是類似的(見圖14～圖18).

為了進(jìn)一步考查模態(tài)截?cái)嗾`差對數(shù)值結(jié)果的影響，保留二階模態(tài)，即令

圖19 振幅隨鋪層角變化曲線=0.01，e=0.5，σ=0.2,L/d=50，100，150)Fig.19 Amplitude vs.ply angle(=0.01，e=0.5，σ=0.2,L/d=50，100，150)

圖20 振幅隨鋪層角變化曲線(=0.01，L/d=100，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)Fig.20 Amplitude vs.ply angle(=0.01，L/d=100，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)

圖21 振幅隨鋪層角變化曲線(L/d=100，σ=0.2,e=0.5，=0.1,0.01,0.001)Fig.21 Amplitude vs.ply angle(L/d=100,σ=0.2,e=0.5,=0.1,0.01,0.001)

圖22 振幅隨鋪層角變化曲線(L/d=100，=0.01，σ=0.15,e=0.3,0.4,0.5)Fig.22 Amplitude vs.ply angle(L/d=100，=0.01，σ=0.15,e=0.3,0.4,0.5)

采用Galerkin法對非線性偏微分方程(22)和(23)進(jìn)行離散，得到包含4個(gè)模態(tài)坐標(biāo)的4個(gè)非線性常微分方程(由于受版面的限制，這些非線性常微分方程組不再列出)，取m=1，n=2，對上述非線性常微分方程進(jìn)行數(shù)值積分，并將計(jì)算結(jié)果與單模態(tài)數(shù)值積分解及其多尺度攝動(dòng)解進(jìn)行比較，結(jié)果如圖23所示.圖23表明，二階模態(tài)截?cái)鄶?shù)值解與一階模態(tài)近似解彼此非常接近，說明采用一階模態(tài)近似解基本能夠反映旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸在主共振點(diǎn)附近的非線性穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性.

圖23 一階和二階模態(tài)近似解的比較(L/d=100，=0.02，[±30°]8,e=0.5)Fig.23 Comparison of one-mode solution and two-mode solution(L/d=100，=0.02，[±30°]8,e=0.5)

4 結(jié)論

基于軸向不可伸長假定，引入幾何非線性的影響，考慮材料內(nèi)阻，采用擴(kuò)展Ham ilton原理建立運(yùn)動(dòng)方程，采用多尺度法導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸非線性受迫振動(dòng)響應(yīng)的分析解，通過對鋪層角、長徑比、鋪層方式、內(nèi)外阻以及偏心距進(jìn)行參變分析，研究旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的主共振響應(yīng)特性.主要結(jié)論如下.

(1)角鋪設(shè)復(fù)合材料軸的內(nèi)阻系數(shù)隨著鋪層角的增大而增大，當(dāng)鋪層角為73.4694°時(shí)，達(dá)到最大內(nèi)阻系數(shù)0.0545；當(dāng)鋪層角為0°時(shí)，為最小內(nèi)阻系數(shù)0.0258；當(dāng)鋪層角為90°時(shí)，內(nèi)阻系數(shù)為0.0540.

(2)在一定的條件下，發(fā)生在正進(jìn)動(dòng)固有頻率附近的主共振響應(yīng)具有典型的硬彈簧非線性特性，表現(xiàn)出多值與跳躍性.

(3)材料內(nèi)阻對旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸主共振響應(yīng)特性的影響主要體現(xiàn)在對抑制振幅和改變頻率響應(yīng)的穩(wěn)定性方面.

(4)角鋪設(shè)方式下，主共振響應(yīng)隨著鋪層角或者外阻的增大而減小,隨著長徑比或者偏心距的增大而增大.

(5)在其他參數(shù)不變的情況下，鋪層角或者外阻越小,長徑比或者偏心距越大，共振響應(yīng)曲線的幾何非線性效應(yīng)也越明顯.

1王震鳴，杜善義，張衡等.復(fù)合材料及其結(jié)構(gòu)的力學(xué)、設(shè)計(jì)、應(yīng)用和評價(jià)(第二冊).哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1998(Wang Zhenm ing,Du Shanyi,Zhang Heng,etal.Mechanics,Design,Application and Evaluation of Compositesand Structures(part II).Harbin：Harbin Instituteof Technology Press,1998(in Chinese))

2 Hetherington EL,Kraus RE,Darlow MS.Demonstration of a super critical composite helicopter power transm ission shaft.Journal of American Helicopter Society,1990,35(1)：23-28

3 Zinberg H,SymondsMF.Thedevelopmentof an advanced composite tail rotor driveshaft//26th Annual National Forum of the American Helicopter Society,Washington,DC,June.1970：16-18

4 Singh SP,Gupta K.Composite shaft rotordynam ic analysis using a layer w ise theory.Journal ofSound and Vibration,1996,191(5)：739-756

5 Kim CD,BertCW.Critical speed analysisof laminated composite,hollow drive shafts.Composites Engineering,1993,3(7-8)：633-643

6 Bert CW.The e ff ect of bending-tw isting coupling on the critical speed of a driveshaft//Japan-U.S.Conference on Composite Materials,6th,Orlando,FL.1992：29-36

7 Chang MY,Chen J,Chang C.A simplespinning lam inated composite shaftmodel.International JournalofSolids&Structures,2004,41(41)：637-662

8 Song O,Jeong NH,Librescu L.Implication of conservativeand gyroscopic forces on vibration and stability of an elastically tailoredrotating shaftmodeled asa composite thin-walled beam.The Journalofthe Acoustical Society ofAmerica,2001,109(3)：972-981

9 Rehfiel L W.Design analysismethodology for composite rotor blades//Proceedings of the seventh DoD/NASA conference on fi brouscomposites in structuraldesign.1985：17-20

10 Ren YS,DaiQY,Zhang XQ.Modeling and dynamic analysisof rotating composite shaft.Journal ofVibroengineering,2013,15(4)：1790-1806

11任勇生,代其義,張興琦.旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的自由振動(dòng)與穩(wěn)定性.振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2015,28(1)：59-66(Ren Yongsheng,DaiQiyi,Zhang Xingqi.Free vibration and stability of a rotating thin-walled compositeshaft.JournalofVibration Engineering,2015,28(1)：59-66(in Chinese))

12 Berdichevsky V,Armanios E,Badir A.Theory of anisotropic thinwalled closed-cross-section beams.Composites Engineering,1992,2(5-7)：411-432

13 Ishida Y.Nonlinear vibrations and chaos in rotordynam ics.JSME International Journal,1994,37(2)：237-245

14 Shaw J,Shaw SW.Non-linear resonance of an unbalanced rotating shaftw ith internal damping.Journal ofSound&Vibration,1991,147(3)：435-451

15 Cveticanin L.Resonant vibrations of nonlinear rotors.Mechanism&Machine Theory,1995,30(4)：581-588

16 Ishida Y,Nagasaka I,Inoue T,etal.Forced oscillationsofa vertical continuous rotorw ith geometric nonlinearity.NonlinearDynamics,1996,11(2)：107-120

17 Hosseini SAA,Khadem SE.Analytical solution for primary resonancesof a rotating shaftw ith stretching non-linearity//Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part C.Journal ofMechanicalEngineering Science,2008,222(9)：1655-1664

18 Khadem SE.Two-mode combination resonances of an inextensional rotating shaftw ith large amplitude.Nonlinear Dynamics,2011,65(65)：217-233

19 Shahgholi M,Khadem SE.Primary and parametric resonances of asymmetrical rotating shafts w ith stretching nonlinearity.Mechanism&Machine Theory,2012,51(5)：131-144

20 ShadMR,M ichon G,Berlioz A.Modeling and analysisofnonlinear rotordynamicsdue to higherorderdeformationsinbending.Applied MathematicalModelling,2011,35(5)：2145-2159

21 HosseiniSAA,Zamanian M,Shams S,etal.Vibration analysis of geometrically nonlinear spinning beams.Mechanism&Machine Theory,2014,78(78)：15-35

22 Ren YS,Zhang YH,DaiQY,etal.Primary resonance of a rotating composite shaftw ith geometricalnonlineary.JournalofVibroengineering,2015,17(4)：1694-1706

23 SaravanosDA,VarelisD.A shearbeam finit element for thedamping analysis of tubular lam inated composite beams.Journal of Sound&Vibration,2006,291(3-5)：802-823

24 Sino R,Baranger TN,Chatelet E,etal.Dynam ic analysis of a rotating composite shaft.Composites Science&Technology,2008,68(2)：337-345

25 Ren YS,Zhang XQ,Liu YH,etal.An analyticalmodel fordynam ic simulation of the composite rotorw ith internaldamping.Journalof Vibroengineering,2014,16(8)：4002-4016

26 Crespo da Silva MRM,Glynn CC.Nonlinear fl xural-fl xuraltorsional dynamics of inextensional beams.II.Forced motions.JournalofStructuralMechanics,1978,6(4)：449-461

27 Nayfeh AH,Pai PF.Linear and Nonlinear Structural Mechanics.New York：Wiley Interscience,2004

28 Crespo da Silva MRM,Glynn CC.Nonlinear fl xural-fl xuraltorsionaldynam icsof inextensionalbeams.I.Equationsofmotions.JournalofStructuralMechanics,1978,6(4)：437-448

29 Meirovitch L.Principlesand Techniquesof Vibrations.New Jersey：Prentice Hall,1997

30 Meirovitch,Leonard.Analytical Methods in Vibrations.London：TheMacmillan Co,1967

PRIMARY RESONANCESOFAN INTERNALLY DAMPED ROTATING COMPOSITE SHAFTW ITH NONLINEARITIES IN CURVATURE AND INERTIA1)

Ren Yongsheng2)Yao Donghui
(College ofMechanicaland Electronic Engineering，Shandong University ofScience and Technology，Qingdao 266590，Shandong，China)

The rotating shaftmade of anisotropic composites is a class of typical rotor dynam ic system which has a w ide application in the structural design of advanced helicopter power transm ission and automotive drive system.The nonlinear rotordynamic behavior study of these system has significanc in theory and practice.However,at present,the research aboutnonlinear dynam ic of rotordynam ic system has restrainedly been the rotating isotropic shaft,and the e ff ectof internalmaterial damping is seldom considered.In this paper,the primary resonances of an internally damped rotating composite shaftare investigated.Nonlinearity comes from curvature and inertia induced by large deformation of in-extensionality composite shaft.Internalmaterial damping comes from the dissipative properties of viscoelasticcomposite.The dynam icalmodel incorporates rotary inertia and gyroscopic e ff ect.The extended Ham ilton principle is employed to derive the nonlinear equations of bending-bending vibration of rotating composite shaft.The Galerkin method is used to discretize these nonlinear equations,and themultiscalemethod is adopted to perturbtion analysis the ordinary di ff erential equation,then the analytical expression of primary resonances are derived.The internal damping,external damping,ply angle,length-diameter ratio,stacking sequence,and eccentic distance are numerically analyzed,the e ff ects of above parameters on stable forced vibration-response behaviors of rotating nonlinear composite shaft are discussed.The resultsshow that the internaldamping coe ffi cientofangle-ply laminated shaft increasesas the increaseof ply angle.The primary resonance curves appeared at forward linear natural frequency are found to be of the hardening type.The developedmodel is capable of describing primary resonance behaviors of rotating composite shaft.This is an importantgeneration of nonlinear dynam icmodelof in-extensional rotating isotropic shaft.

primary resonances，rotating composite shaft，internal damping，in-extensional beam，multiple scales method

TB33,TH113

A

10.6052/0459-1879-17-002

2017-01-02收稿，2017-03-27錄用,2017-03-28網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272190,11672166).

2)任勇生，教授，主要研究方向：機(jī)械振動(dòng)、復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué).E-mail：renys@sdust.edu.cn

任勇生,姚東輝.具有曲率和慣性非線性以及材料內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的主共振.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(4)：907-919

Ren Yongsheng,Yao Donghui.Primary resonances of an internally damped rotating composite shaftw ith nonlinearities in curvature and inertia.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：907-919