時變時/頻差對長時相關積累的影響分析及補償策略

朱珍珍，劉 麗

(1. 盲信號處理重點實驗室，成都 610041；2. 國防科技大學信息系統(tǒng)與管理學院，長沙 410073)

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時變時/頻差對長時相關積累的影響分析及補償策略

朱珍珍1，劉 麗2

(1. 盲信號處理重點實驗室，成都 610041；2. 國防科技大學信息系統(tǒng)與管理學院，長沙 410073)

針對同步雙星定位系統(tǒng)中時/頻差(TDOA)/(FDOA)時變引起長時相關積累增益損耗的問題，將上下行傳播鏈路的相對運動均考慮在內，推導同步雙星系統(tǒng)中時變時/頻差條件下的信號模型；在此基礎上，根據(jù)規(guī)則信號自相關函數(shù)與能譜密度之間的關系以及線性調頻信號的頻譜特性，分別定量分析時變時/頻差對長時積累時/頻差維相關峰值幅度損耗的影響；給出了時變時/頻差補償策略和實現(xiàn)步驟。實際數(shù)據(jù)處理結果表明，本文給出的補償策略能夠實現(xiàn)長時相關積累的能量聚焦，時變引起幅度損耗定量分析結論的有效性也得到驗證。

同步雙星定位系統(tǒng)；長時相關積累；相關峰值幅度損耗；時變時/頻差補償

0 引 言

同步雙星上行信號輻射源定位系統(tǒng)通過對主星和鄰星轉發(fā)信號進行相關處理提取兩者之間的時/頻差參數(shù)，再聯(lián)合地球表面方程建立定位方程組實現(xiàn)輻射源定位，定位精度主要取決于參數(shù)估計精度，參數(shù)估計精度取決于信號的均方根時寬、均方根帶寬以及相關增益，而相關增益與積累時長成正比[1]。當短時積累無法達到參數(shù)估計精度要求的相關增益時，需要長時相關積累以提高檢測性能，其實質是利用時間換取能量。此時由于目標與雙星之間相對運動的影響，相關峰位置會隨著積累時間的推移而發(fā)生偏移，即形成距離單元走動(時變時差)和多普勒單元走動(時變頻差)[2]。這些因素會造成相關峰值包絡的時頻二維展寬及峰值幅度降低，從而帶來相關積累損耗、降低檢測性能，限制了相關積累時長，導致時/頻差參數(shù)估計精度較低甚至無法有效估計，系統(tǒng)定位能力有限。對時變時/頻差影響的分析和補償，是無源定位技術中的瓶頸問題。

文獻[3-5]研究了時變時差未補償條件下相關處理的輸出信噪比和時差估計精度，其中文獻[3-4]假設時差隨時間緩慢線性變化，文獻[5]假設時差二次變化，定量給出了特定參數(shù)估計性能要求下對時變時差補償?shù)男枨?，但僅僅研究了時差未涉及時變頻差。文獻[2]研究了低軌微納衛(wèi)星無源定位場景頻差線性變化未補償條件下的頻差估計精度衰減因子，推導了不補償時變的最優(yōu)積累時間。上述文獻的理論分析均建立在目標輻射源信號為“零均值平穩(wěn)隨機過程”的假設下，而且僅考慮了單程傳播鏈路的場景，也沒有利用實際數(shù)據(jù)進行驗證。對于時變補償，文獻[6-8]通過信號分段、段內匹配濾波、段間傅里葉變換以補償速度和加速度的影響，從而實現(xiàn)被動雷達中的長時相關積累，文獻[9-10]進一步提出了降低運算量的補償方法，但這些方法都是針對特定應用場景下的接收信號模型設計的，分段依據(jù)也不明確，不具備普適性；文獻[11-12]對多個短時相關校正時間和相位偏移之后再進行相干累加，適用于信噪比較高的場合，而且對補償必要性和性能的分析有所欠缺。

本文首先從雙星定位系統(tǒng)的完整信號傳播鏈路出發(fā)，推導了包含上下行相對運動參數(shù)的時變接收信號模型。在此基礎上，對兩路長時數(shù)據(jù)進行快慢時間劃分，推導分析了時變時差對長時積累時差維相關峰值幅度損耗的定量影響；同時，利用線性調頻信號頻譜特性，推導分析了時變頻差對長時積累頻差維相關峰值幅度損耗的定量影響；給出了時變時/頻差補償策略和實現(xiàn)步驟。最后利用實際采集數(shù)據(jù)對理論分析進行了驗證。

1 時變信號模型

由于兩顆衛(wèi)星受到的攝動影響存在差異，在時刻1，雙星分別位于主星位置1和鄰星位置1，時刻2，雙星分別位于主星位置2和鄰星位置2(見圖1)。兩個時刻分別形成不同的雙星上下行傳播路徑，以及不同的上下行徑向速度，分別產(chǎn)生不同的時差和頻差。

目標輻射源信號可表示為：

s(t)=a(t)ej2πf0t+jφ0

(1)

式中：a(t)為基帶信號，f0為載波頻率，φ0為初始相位。假設在觀測時間內，在衛(wèi)星與目標的徑向方向的相對運動為勻加速直線運動，暫不考慮噪聲，則主星接收的上行信號可寫為

sv1(t)=a(t-τ0,u1+ξu1t+0.5ζu1t2)·

exp(j2πf0(t-τu1+ξu1t+0.5ζu1t2)+jφ0)

(2)

式中：τu1為0時刻上行鏈路傳播延遲，ξu1為延遲隨時間變化的速度，ζu1為延遲變化的加速度。

經(jīng)過星上轉發(fā)器變頻fT1后，主星向下轉發(fā)，傳播時延可寫為τd1-ξd1t-0.5ζd1t2，其中τd1為τu1時刻下行傳播時延，ξd1為延遲變化的速度，ζd1為延遲變化的加速度。將下行時延代入式(2)，忽略t的三次和四次項，信號到達地面接收站的信號可寫為

sm1(t)=a(t-τ1+ξ1t+0.5ζ1t2)·

(3)

ξ1=ξu1+ξd1+ξu1ξd1-ζu1τd1(1+ξd1)

ζ1=(1+ξu1)ζd1+ζu1(1+ξd1)2-ζu1τd1ζd1

接收機下變頻器設置為f0-fT1，則待處理的主星轉發(fā)基帶接收信號可寫為

s1(t)=a(t-τ1+ξ1t+0.5ζ1t2)·

(4)

鄰星轉發(fā)基帶接收信號與之類似，下標換為2即可。

2 相對運動參數(shù)對相關積累的影響分析

在積累時間內時差和頻差均恒定的假設前提下，直接對兩路接收信號進行窄帶相關處理，互模糊函數(shù)定義為[1]

(5)

式中:τ和f分別為時差和頻差搜索變量，將式(4)代入式(5)并化簡可得

exp(j2π(fd+λt-f)t)dt

(6)

式中：α=-(ξ1-ξ2)，β=-0.5(ζ1-ζ2)

τd為0時刻兩路接收信號的傳播時差，α、β分別為時差隨時間線性變化和二次變化的系數(shù)，fd為0時刻兩路接收信號的傳播頻差，λ為頻差隨時間線性變化的系數(shù)。

在時/頻差恒定假設下，忽略式(6)中的時變項系數(shù)α、β、λ，當時/頻差二維搜索同時滿足τ=τd和f=fd時，相對延遲為0時兩路包絡完全匹配(互為共軛)，互模糊函數(shù)取到理論相關峰值。文獻[13]給出了時/頻差恒定假設需要滿足的條件：

(7)

式中：B為信號帶寬。對比式(6)中的包絡時差項，即要求在積累時間T內，最大時差變化αT+βT2遠小于1/B。于是，當定位幾何條件(徑向相對運動狀況)和信號條件確定時，α、β和B確定，上述參數(shù)恒定假設就限制了相關積累時間T的大小。

但是，當需要進行長時間積累以獲取足夠相關增益時，在積累時長內使用固定的時差和頻差，時變項會影響實際處理得到的互模糊函數(shù)最大值偏離理論峰值。下面分別對時差維和頻差維的相關峰值幅度損耗進行定量分析。

2.1 未補償條件下時差維相關峰值幅度損耗

為了定量分析時變時差帶來的時差維峰值幅度損耗，考察相關峰值在時差維的切片，即頻差已得到完全匹配(時變頻差也得到補償)時，則時差維的互模糊函數(shù)切片可寫為

(8)

為了更直觀地反映時差隨時間的變化給相關積累帶來的影響，借鑒直擴信號捕獲[14]和射頻探測[15]等領域運動補償中的快慢時間劃分概念，將積累時間區(qū)間[-T/2,T/2]等分為M段，如圖2所示。

圖2 長時相關積累的時間區(qū)間等分
Fig.2 Time period partition of long-time integration

圖中，分段準則為每段區(qū)間[tm-1,tm](其中t0=-T/2，tM=T/2)內均滿足時差恒定假設，即T/M滿足式(7)。取tm時刻的時差作為區(qū)間[tm-1,tm]內的恒定時差，則式(8)可寫為

(9)

式(9)求和運算內每段積分的物理意義為有限時長信號a(t),t∈[tm-1,tm]的自相關函數(shù)，根據(jù)規(guī)則信號的自相關函數(shù)與能譜密度(信號頻譜的模值平方)之間的關系[16]，將時域計算轉化為頻域可得

(10)

其中,A(f)為待處理長時信號的頻譜，假設其在帶寬[-B/2,B/2]內頻譜近似平坦，式(10)可化簡為

(11)

(12)

根據(jù)圖2所示分段原則，tm的值為

(13)

令n=(-M+2m)/(2M)，將αBT簡記為q，βBT2簡記為p，變量替換后，式(12)可寫為

(14)

圖3 頻差匹配時，不同q下相關峰值幅度損耗Fig.3 Magnitude loss of different q with matched FDOA

通過數(shù)值運算，圖3給出了頻差匹配、時差僅有線性變化即p=0時，不同q值下的時差維歸一化互模糊函數(shù)即相關損耗隨(τ-τd)B變化的切片，由圖3可知：

1)隨著q值逐漸增大，峰值逐漸下降，峰值附近包絡逐漸拓寬；

2)當q=1時，峰值損耗約為0.6dB；

3)當q=2.31時，峰值損耗達到3dB；

4)當q>2.8以后，開始出現(xiàn)雙峰，會大大增加時差參數(shù)估計誤差。

圖4 頻差匹配時，不同p下相關峰值幅度損耗Fig.4 Magnitude loss of different p with matched FDOA

由式(3)可知，α的主要數(shù)值部分為上行和下行路徑的延遲隨時間變化的速度，β的主要數(shù)值部分為上行和下行路徑的延遲隨時間變化的加速度，多數(shù)情況下，后者遠小于前者。分析二次變化對損耗的影響時，不妨假設β為α的1/100，累積時長T取100s，此時p的數(shù)值與圖3中的q相同，圖4給出了頻差匹配、時差僅有二次變化即q=0時，不同p值下的歸一化互模糊函數(shù)即相關損耗隨(τ-τd)B變化的切片。

對比圖4和圖3可以看出，與α項相比，β項的影響相對偏小，當僅補償時差的線性變化而忽略二次變化時，可以挽回大部分時變損耗。

2.2 未補償條件下頻差維相關峰值幅度損耗

為了定量分析時變時差帶來的時差維峰值幅度損耗，考察相關峰值在時差維的切片，即頻差已得到完全匹配(時變頻差也得到補償)時，則時差維的互模糊函數(shù)切片可寫為

(15)

(16)

(17)

采用菲涅爾余弦積分和正弦積分公式

(18)

將式(18)代入式(17)，則頻差維損耗因子可寫為

(19)

(20)

從式(20)可以看出，頻差維損耗因子僅取決于r和(f-fd)T，通過數(shù)值運算，給出了時差匹配時、不同r值下的頻差維歸一化互模糊函數(shù)即相關損耗隨(f-fd)T變化的切片，從圖5可以看出：

1)隨著r值逐漸增大，峰值逐漸下降，峰值附近包絡逐漸拓寬；

2)當r=3.072時，峰值損耗約為2.85dB，當r>3.072以后，開始出現(xiàn)雙峰，會大大增加頻差參數(shù)估計誤差。

圖5 時差匹配時，不同r下相關峰值幅度損耗Fig.5 Amplitude loss of different r with matched TDOA

3 時變時頻差補償策略

為了驗證本文推導的時變引入損耗定量分析的有效性，利用實際雙星轉發(fā)的信號進行相關處理試驗。第2節(jié)分析時差維和頻差維時分別假設另一維度的參數(shù)及其時變性已得到完全匹配和補償，所以本節(jié)給出時變時/頻差的補償策略。

圖6為補償實現(xiàn)流程圖，各步驟說明如下：

1)首先嘗試分成K段相鄰等長的數(shù)據(jù)(每段長L點)求出各自時差，記錄首段和末段的時差差異Δn(單位為采樣點)，則經(jīng)歷(K-1)L點長的數(shù)據(jù)后時差變化了Δn。

2)取分段處理長度為(K-1)L/Δn，即時差變化1個采樣點的數(shù)據(jù)點數(shù)，逐段進行補償。

3)將當前分段數(shù)據(jù)(若時差絕對值逐漸變小，說明傳播滯后的一路信號時延逐漸變小即信號在收縮，選擇該路作為當前數(shù)據(jù)進行擴展；反之選擇另一路)變換到頻域，末尾補零，再變換回時域，則實現(xiàn)了時延擴展累積達到一個采樣點的時域均勻調整，即時變時差的補償。

4)此時得到時差已基本匹配的混合積信號，理想情況下是頻率為頻差的正弦信號，但頻差是逐漸變化的，如式(15)積分所示，對第一段混合積搜索λ值，以相關增益最大為目標，完成該段頻差時變補償。

5)后續(xù)混合積搜索λ值，以與第一段頻差差異最小為目標，以保證各段之間的相干累積。

圖6 時變補償流程圖Fig.6 Flowchart of time varying compensation

完成全部數(shù)據(jù)的長時相干累積后，可以利用得到的時差和頻差時變補償參數(shù)，僅補償時變頻差以驗證第2.1節(jié)關于時變時差影響的定量分析，僅補償時變時差以驗證第2.2節(jié)關于時變頻差影響的定量分析。

4 實際數(shù)據(jù)驗證

4.1 采集數(shù)據(jù)長時相關時變補償

同步雙星系統(tǒng)兩路實際接收時變信號的采樣率為3.125MHz，采集時長為32s，采樣點數(shù)為100M。將長時數(shù)據(jù)進行分段，依據(jù)文獻[17]的估計方法對各段進行相關處理，得到12段8M樣點的時差粗估計和精估計如圖7所示，以及12段頻差粗估計和精估計如圖8所示。

圖7 未補償時分段時差估計Fig.7 TDOA of every section without compensation

圖7中縱軸單元網(wǎng)格長度為時差粗估計分辨率0.32μs，可以看出時差呈階梯變化，每16M數(shù)據(jù)的時差減少1個粗分辨單元；時差精估計基本為一條斜線，說明時差近似為線性變化，也印證了第2.1節(jié)β數(shù)值遠小于α的假設。

圖8中縱軸單元網(wǎng)格長度為0.02Hz，而頻差粗估計分辨率為0.3725Hz(每段處理時長的倒數(shù))；從圖8可以看出，12段8M樣點的頻差粗估計均為2053.38Hz；頻差精估計基本為一條斜線，近似為線性變化，12段樣點降低了約0.17Hz，變化率λ為0.0053Hz/s。雖然12段內頻差變化沒有超過一個粗估計分辨率(0.3725Hz)，但是，根據(jù)式(15)和式(16)，若不補償該線性變化，頻差搜索值取恒定值fd，則每個積分時間單元都離包絡模平方有λt2的相位偏移。當時刻值為7s時(而12段樣點總時長為32s)，相位約為π/2，在矢量圖上對求和沒有貢獻，而且隨著時間推移甚至帶來負增長，所以頻差的這種線性變化必然會引起長時相關積累的增益損失。

圖8 未補償時分段頻差估計Fig.8 FDOA of every section without compensation

若不補償時差頻差時變，直接對64M樣點的兩路信號進行相關處理，得到未補償時二維相關輸出如圖9所示(固定頻差2053.38Hz已補償)。圖中峰值包絡在時差維和頻差維均有展寬，時差和頻差的變化導致二維相關積累能量無法聚焦，而參數(shù)估計精度與相關峰尖銳程度成正比[16]；當信號信噪比較低、需處理更長數(shù)據(jù)以提高相關增益時，包絡展寬很可能使有效相關輸出被噪聲淹沒，無法完成信號檢測。

圖9 長時數(shù)據(jù)直接處理二維相關輸出Fig.9 CAF magnitude of long-time data without compensation

由未補償時分段時差估計可知，每16M數(shù)據(jù)時差變化1個采樣點，以該長度為分段補償處理的段長。根據(jù)圖6流程圖逐段對64M數(shù)據(jù)進行時差和頻差補償以及相關處理，得到長時相關積累結果如圖10所示。與圖9相比，時差維和頻差維的展寬均得到聚焦，峰值也大大提高，時變補償使長時相關增益得以有效發(fā)揮。

圖10 長時數(shù)據(jù)時變補償后二維相關輸出Fig.10 CAF magnitude of long-time data with compensation

4.2 長時相關二維時變對相關峰影響的驗證

利用上述時差和頻差時變補償參數(shù)，分別驗證前文推導的時變時差和頻差影響的定量分析。

僅補償時變頻差，分別處理1M、16M、32M、48M和64M長度的數(shù)據(jù)，得到各自的歸一化時差精估計相關曲線如圖11所示。其中，后四種以1M長度相關峰值為基準進行歸一化，16M樣點時差偏移1個采樣點，可近似認為1M樣點內時差恒定。與圖3各條曲線均關于橫軸中心對稱不同，圖11曲線包絡中心逐漸左移，原因是第2.1節(jié)增加時長(圖3因變量為q、但實際信號αB已固定、故因變量等效為時長)的方式為由零時刻中心向兩邊對稱加長，所以時差估計曲線的包絡中心一致；而實際信號處理是由起始時刻逐漸加長，所以包絡中心逐漸偏移。

從圖11可以看出：

1)隨著N逐漸增大，峰值逐漸下降，峰值附近包絡逐漸拓寬，并且包絡中心(即峰值位置)不斷左移，這與圖7的未補償時差變化趨勢是一致的，處理長度依次增加，平均時差依次減少。

2)當N=16M時，峰值損耗約為0.7dB，對應圖3中q=αBT=1的情況，與后者相比損耗略高，是由于實際信號含噪聲的影響，以及頻差時變補償存在誤差的原因。

3)當N=32M時，峰值損耗約為3dB，對應圖3中q=2.31的情況。

4)當N=48M時，峰值包絡平坦，對應圖3中q=2.8的情況，N=64M時已出現(xiàn)明顯雙峰，會大大增加時差參數(shù)估計誤差。

圖11 頻差匹配時，不同處理長度N下相關峰值幅度損耗Fig.11 Magnitude loss of different N with matched FDOA

若要求的處理增益只需32M數(shù)據(jù)相關即可滿足、且輸入信號強度可以容忍3dB的相關峰值損耗，則不需進行時變補償，反之則必須補償。

圖12 時差匹配時，不同處理長度N下相關峰值幅度損耗Fig.12 Magnitude loss of different N with matched TDOA

與時差維衰減驗證類似，僅補償時變時差，分別處理1M、48M和96M長度的數(shù)據(jù)，得到各自的歸一化頻差精估計相關曲線如圖12所示，從圖12可以看出：

1)隨著N逐漸增大，峰值逐漸下降，峰值附近包絡逐漸拓寬。

2)當N=64M時，峰值損耗約為2.7dB，時變補償所得頻差變化率λ約為0.005，則r=3.072對應時長21.7s，近似為64M處理長度，與圖5結論基本吻合。

3)當N=96M時，出現(xiàn)三個較寬的峰值包絡，大大增加頻差參數(shù)估計誤差。

5 結 論

本文建立了同步雙星無源定位系統(tǒng)的完整鏈路時變信號模型，針對目標輻射源為規(guī)則信號的情形定量分析了時變時/頻差對相關峰值幅度損耗的影響，與已有文獻目標輻射源信號為“零均值平穩(wěn)隨機過程”的假設相比，更符合實際應用場景，給出時變補償策略并用實際信號對所分析結論進行了驗證。本文推導的定量結論解決了特定處理增益性能要求下、對時變時/頻差參數(shù)補償必要性和精確度需求如何的問題(即指標反推)，為同步雙星系統(tǒng)可定位對象范圍的拓展奠定了理論與試驗基礎。

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Effect of Time-Varying TDOA/FDOA on Long-Time Coherent Integration and Compensating Strategy

ZHU Zhen-zhen1, LIU Li2

(1. National Key Laboratory of Blind Signals Processing, Chengdu 610041, China; 2. College of Information System and Management, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

In a dual-GEO-satellite passive location system, the time-varying time difference of arrival (TDOA)/ frequency difference of arrival (FDOA) may induce the gain loss of the long-time coherent integration. Aiming at this problem, the

signal model with time-varying TDOA/FDOA is derived including both uplink and downlink relative motion. Then, according to the relationship between the regular signal’s autocorrelation function and energy spectrum density, the correlation peak magnitude loss in TDOA dimension is analyzed quantitatively; according to the frequency spectrum characteristics of the linear frequency modulation signal, the loss in FDOA dimension is analyzed quantitatively. Also, the compensating strategy and implementation procedure are provided. The validity of the compensation strategy and quantitative analysis is verified by processing the actual signal.

Dual-GEO-satellite passive location system; Long-time coherent integration; Correlation peak magnitude loss; Compensation of time-varying TDOA/FDOA

2017-02-08;

2017-05-02

TN96

A

1000-1328(2017)07-0735-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.07.008

朱珍珍(1982-)，女，博士，主要從事數(shù)字信號處理與目標無源定位技術研究。