光腔中的超冷原子氣體

余東洋，姬 青，張 翔,2,?，張 威,2?

1中國(guó)人民大學(xué)物理系，北京市海淀區(qū)中關(guān)村大街59號(hào)，100872

2光電功能材料北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京市海淀區(qū)中關(guān)村大街59號(hào)，100872

光腔中的超冷原子氣體

余東洋1，姬 青1，張 翔1,2,?，張 威1,2?

1中國(guó)人民大學(xué)物理系，北京市海淀區(qū)中關(guān)村大街59號(hào)，100872

2光電功能材料北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京市海淀區(qū)中關(guān)村大街59號(hào)，100872

近年來(lái)，光腔和冷原子氣體的耦合系統(tǒng)受到了越來(lái)越多的關(guān)注。本文簡(jiǎn)要綜述了近年來(lái)該領(lǐng)域在理論和實(shí)驗(yàn)方面的一些進(jìn)展，重點(diǎn)關(guān)注其中的超輻射相變，并圍繞光腔–原子耦合這一特征，分別介紹了超冷玻色氣體和費(fèi)米氣體中的新奇量子相和量子相變。這些研究工作展示了該系統(tǒng)在非平衡態(tài)物理、多體系統(tǒng)的量子模擬、人造規(guī)范勢(shì)和人造自旋–軌道耦合等方向的價(jià)值和意義。

腔量子電動(dòng)力學(xué)；超冷原子氣體；超輻射躍遷；非平衡態(tài)

目 錄

I.導(dǎo)論 125

II.背景：腔量子電動(dòng)力學(xué) 126

III.超輻射及Dicke模型 126

IV.光學(xué)腔中的超冷玻色氣體 130

A.自組織及超輻射相變 130

B.元激發(fā) 133

C.相變臨界指數(shù) 134

D.單分量的玻色–哈伯德模型 136

E.自旋–軌道耦合的玻色氣體 139

V.光學(xué)腔中的超冷費(fèi)米氣體 140

A.單分量費(fèi)米氣體 140

B.兩分量簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體 142

VI.總結(jié) 144

致 謝 144

144

I.導(dǎo)論

近幾十年來(lái)，原子分子物理和光學(xué)領(lǐng)域發(fā)展了一系列用于冷卻、束縛、操控和測(cè)量原子、分子和光子的技術(shù)。特別是隨著磁束縛、光束縛、激光冷卻、蒸發(fā)冷卻、Feshbach共振、光晶格和高品質(zhì)的光學(xué)共振腔等技術(shù)的日益成熟，使得人們可以在納米和納開量級(jí)控制原子外部自由度的同時(shí)，也能對(duì)原子內(nèi)部狀態(tài)進(jìn)行精確地制備和操控。這些實(shí)驗(yàn)手段為人們研究物質(zhì)在極低溫下的量子效應(yīng)、新奇物相以及光與物質(zhì)的相互作用提供了一個(gè)極佳的平臺(tái)。

該領(lǐng)域的一個(gè)重要方向是研究光學(xué)微腔和冷原子氣體的耦合系統(tǒng)。從理論方面，耦合系統(tǒng)中的光學(xué)模式和原子自由度相互耦合會(huì)帶來(lái)很多新奇的物理現(xiàn)象。首先，原子可以通過(guò)散射驅(qū)動(dòng)光子進(jìn)入腔光場(chǎng)，在光腔中實(shí)現(xiàn)超輻射相變，同時(shí)伴隨著原子系統(tǒng)發(fā)生對(duì)稱性破缺。在相變前后，原子系統(tǒng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)特征，以及動(dòng)力學(xué)行為都會(huì)受到光場(chǎng)反饋的影響。特別值得注意的是，由于腔內(nèi)光子會(huì)漏出腔外，導(dǎo)致腔光場(chǎng)存在耗散并和環(huán)境發(fā)生耦合，該體系長(zhǎng)時(shí)間后將達(dá)到動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)，而非熱力學(xué)平衡態(tài)。這一特征不僅為研究非平衡態(tài)物理提供了優(yōu)秀的平臺(tái)，而且漏出腔外的光子還能提供非破壞性的測(cè)量手段。其次，在發(fā)生超輻射相變之后，腔內(nèi)光子和原子發(fā)生相干耦合，可以在原子間誘導(dǎo)出等效的長(zhǎng)程相互作用。這不僅將有助于在堿金屬超冷原子氣體中實(shí)現(xiàn)和研究電荷密度波(Charge Density Wave，CDW)和超固(supersolid)等新奇多體物相，還可能使體系出現(xiàn)燕尾結(jié)構(gòu)等非線性效應(yīng)。另外，還可以利用腔光場(chǎng)在多分量原子氣體中實(shí)現(xiàn)人造規(guī)范勢(shì)和人造自旋–軌道耦合，為研究強(qiáng)磁場(chǎng)物理、非

本文將簡(jiǎn)要綜述近年來(lái)在光腔–原子耦合系統(tǒng)的研究中取得的一些進(jìn)展。重點(diǎn)聚焦超冷玻色和費(fèi)米氣體中的超輻射相變，以及與之相關(guān)的原子氣體中的新奇量子現(xiàn)象。

II.背景：腔量子電動(dòng)力學(xué)

當(dāng)利用波導(dǎo)管等電介質(zhì)把光波局限在有限空間中時(shí)，光的模式會(huì)受到邊界條件的限制。由此引起的有限空間中真空?qǐng)龅淖兓瘯?huì)導(dǎo)致原子的自發(fā)輻射幾率幅或被加強(qiáng)或被減弱。基于此，人們?cè)O(shè)計(jì)了許多用途廣泛的光腔，可以用于測(cè)量光波波長(zhǎng)、測(cè)量光譜以及激光系統(tǒng)等等。根據(jù)被束縛光場(chǎng)的特點(diǎn)，光腔可以分為駐波腔（如 Fabry-Per′ot腔，簡(jiǎn)稱 FP腔）和行波腔（如環(huán)形腔）等。

常用的駐波腔是FP腔，它由兩面距離lres很近（約200μm）且反射率R極高的鏡子構(gòu)成。實(shí)驗(yàn)操作中常用兩塊近平面的球面玻璃代替平面的鏡子。反映光腔性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù)是品質(zhì)因數(shù)F

其中 ?νFSR是不同本征模式之間的頻率差，?νC是通頻帶的半高寬，主要受鏡子間距 lres和品質(zhì)影響。以ETH的Esslinger實(shí)驗(yàn)小組的光腔為例[1]，光腔間距 lres≈176μm，球面玻璃的半徑 R≈75 mm。由于邊界條件要求波長(zhǎng) λ滿足 nλ/2=lres，這使得沿腔軸方向模式之間的頻率差 ?νFSR=c/2lres=852 GHz。對(duì)于波長(zhǎng) λ=785.3 nm 的光波，?νC=2.4 MHz。因此該光腔的品質(zhì)因數(shù)可達(dá) F=3.42×105。品質(zhì)因數(shù)還決定了光腔的耗散能力。光子在腔中來(lái)回反射 〈N〉=F/2π次后，會(huì)通過(guò)鏡子漏出光腔，其耗散率為κ=2π?νC。此外，腔中還存在垂直于腔軸方向（橫向）的模式 TEMnm，其中 n，m 為橫向腔模的量子數(shù)。在上述實(shí)例中，能量最低的橫向模式標(biāo)記為TEM00，與高能模式的間距?νT=18.6 GHz。

將原子置于這樣的光腔內(nèi)，當(dāng)原子的基態(tài)與激發(fā)態(tài)之間的躍遷頻率ωA=ωe-ωg（比如87Rb的D2譜系）接近于腔共振的頻率ωC=2πνC時(shí)，由于原子的尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光波波長(zhǎng)，此時(shí)原子通過(guò)電偶極相互作用與腔模耦合，其強(qiáng)度。這里 d表示原子的電偶極矩，ε0為真空的介電常數(shù)，Vcav表示腔的有效體積。在上述實(shí)驗(yàn)中，g0達(dá)到了 2π×10.6 MHz。

III.超輻射及DICKE模型

根據(jù)愛因斯坦的自發(fā)輻射理論，真空電磁場(chǎng)與單個(gè)原子的相互作用會(huì)導(dǎo)致處于激發(fā)態(tài)的原子通過(guò)自發(fā)輻射回到原子的基態(tài)。在這個(gè)過(guò)程中，自發(fā)輻射幾率幅主要依賴于原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)。1954年，Dicke將這一過(guò)程推廣到多原子體系，從理論上研究了N個(gè)全同原子和單模光場(chǎng)之間的相互作用[2]。在兩能級(jí)近似下，Dicke發(fā)現(xiàn)所有原子趨向于協(xié)同向同一個(gè)方向輻射，且自發(fā)輻射幾率幅被提高了 N 倍，即 ΓN∝NΓ0，其中Γ0是單個(gè)原子的自然自發(fā)輻射幾率。這種相干效應(yīng)后來(lái)被稱為超輻射(superradiance)。

隨著冷原子技術(shù)的發(fā)展和成熟，人們得以利用高度可調(diào)且純凈的冷原子體系研究超輻射現(xiàn)象[3-14]。經(jīng)過(guò)十幾年的研究，人們已經(jīng)對(duì)超輻射現(xiàn)象有了較為深入的認(rèn)識(shí)和理解。1999年，Inouye等人研究了“雪茄型”玻色–愛因斯坦凝聚體 (BEC)的瑞利散射[3]。他們用紅失諧的線偏振光橫向驅(qū)動(dòng)BEC，并且使得其線偏振方向垂直于BEC長(zhǎng)軸。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，由于BEC在空間的不對(duì)稱性，散射光會(huì)沿著BEC長(zhǎng)軸方向散射，這種現(xiàn)象在文獻(xiàn)中被稱為物質(zhì)波超輻射(matter wave superradiance)。在這一現(xiàn)象中，被原子自發(fā)散射的光子沿著介質(zhì)(BEC)長(zhǎng)軸被原子受激瑞利散射，同時(shí)原子獲得光子的反沖動(dòng)量，運(yùn)動(dòng)的原子與靜止的原子相位相干形成物質(zhì)波。同時(shí)，物質(zhì)波作為光柵散射驅(qū)動(dòng)光，形成物質(zhì)波超輻射。實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)靜止的原子數(shù)會(huì)隨著時(shí)間以比指數(shù)更快的形式衰減，從另一個(gè)側(cè)面反映了超輻射的性質(zhì)。由于BEC的相位相干性，物質(zhì)波超輻射現(xiàn)象在BEC中具有失諧非對(duì)稱性（相對(duì)于原子的激發(fā)態(tài)），即紅失諧加強(qiáng)超輻射而藍(lán)失諧抑制超輻射[8-9]。物質(zhì)波超輻射現(xiàn)象同樣適用于不同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的介質(zhì)，比如費(fèi)米子或者熱原子，但超輻射現(xiàn)象保持失諧對(duì)稱性[11]。這里尤其值得注意的是，超輻射現(xiàn)象不一定需要量子簡(jiǎn)并。2005年，來(lái)自日本的研究者Yoshikawa等人在實(shí)驗(yàn)上借助拉曼散射成功地在熱原子中觀察到了拉曼物質(zhì)波超輻射現(xiàn)象[6]。他們?cè)趯?shí)驗(yàn)中通過(guò)拉曼散射避開了物質(zhì)波相干散射的影響，并發(fā)現(xiàn)熱原子氣體中的相干時(shí)間主要受溫度影響。

由于精細(xì)和超精細(xì)劈裂以及電子之間的相互作用，一般的原子能級(jí)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜。但是，當(dāng)原子最外層只有一個(gè)電子時(shí)，內(nèi)部滿殼層電子被緊緊束縛在內(nèi)層，而對(duì)外層電子的影響可以忽略。因此，堿金屬原子通常具有相對(duì)簡(jiǎn)單的光譜結(jié)構(gòu)，從而在理論和實(shí)驗(yàn)上得到了廣泛深入的研究。在冷原子物理中，人們常用的是堿金屬的D2譜系，其波長(zhǎng)在可見光范圍。由于能量守恒，單色性極好的激光（頻率ωC）只能有效耦合其頻率附近的能級(jí)。為了物理清楚，我們可以假設(shè)原子只有一個(gè)激發(fā)態(tài)能級(jí)（與基態(tài)頻率差 ωA）能在單模光場(chǎng)的作用下被顯著激發(fā)，這一近似稱為兩能級(jí)近似。此外，由于可見光的波長(zhǎng)λ（約500 nm）遠(yuǎn)大于原子尺寸（約0.1 nm），在原子尺度內(nèi)激光強(qiáng)度近似為常數(shù)，因此可以忽略在原子尺度上光場(chǎng)強(qiáng)度的變化，這一近似稱為偶極近似。在兩能級(jí)近似和偶極近似下，描述單原子和單模光場(chǎng)相互作用的哈密頓量（本文取自然單位?≡1）可以寫為如下形式，

相反地，如果耦合強(qiáng)度g0達(dá)到了光子頻率ωC的量級(jí)，我們稱為強(qiáng)耦合。此時(shí)，旋波近似不再適用，能量不守恒項(xiàng)和能量守恒項(xiàng)將同等重要，并會(huì)導(dǎo)致一些有趣的現(xiàn)象[15-16]。

在弱耦合條件下，當(dāng)有N個(gè)全同原子與單模光場(chǎng)相互作用時(shí)，其有效哈密頓量寫作

圖1.熱力學(xué)極限下 Dicke模型的超輻射相變[24]。橫軸是相對(duì)耦合強(qiáng)度，縱軸是臨界溫度。圖中。

在實(shí)驗(yàn)上，為了實(shí)現(xiàn)強(qiáng)耦合并探索超輻射相變，人們開始研究高品質(zhì)光腔和原子的耦合體系。將BEC置于光腔中，可以實(shí)現(xiàn)集體耦合強(qiáng)度～20 GHz，并產(chǎn)生顯著的真空拉比劈裂[17,25]。但是，由于臨界強(qiáng)度，在光頻腔中仍然無(wú)法直接觀察到超輻射相變。這使得人們思考能否在別的物理構(gòu)形中實(shí)現(xiàn)超輻射相變。其中一個(gè)可能是利用雙光子拉曼過(guò)程，將原子兩個(gè)能量接近的基態(tài)作為Dicke模型中的兩能級(jí)加以耦合[26]。這一構(gòu)想隨后在實(shí)驗(yàn)中得以實(shí)現(xiàn)[27]。另外，還可以利用BEC的相干性，把BEC的基態(tài)和激發(fā)態(tài)作為兩能級(jí)從而實(shí)現(xiàn)超輻射相變[28]。

除了能夠顯著提高光與物質(zhì)（原子）相互作用的強(qiáng)度以外，光腔不可避免的耗散同時(shí)為光腔–原子耦合系統(tǒng)的研究打開了一扇新的大門—非平衡態(tài)。在這個(gè)系統(tǒng)中，原子散射腔光場(chǎng)，后者反過(guò)來(lái)又改變?cè)託怏w的狀態(tài)，同時(shí)腔光場(chǎng)又不斷耗散到環(huán)境。最終，耦合系統(tǒng)的內(nèi)部動(dòng)力學(xué)自由度與外部環(huán)境達(dá)到動(dòng)力學(xué)非平衡穩(wěn)態(tài)(dynamical nonequilibrium steady state)。不斷耗散出來(lái)的光子，不僅會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)，同時(shí)也提供了一個(gè)非破壞(non-demolition)觀察原子體系演化的絕佳途徑。

對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的描述，除了要考慮原子的內(nèi)稟自由度與光場(chǎng)之間的耦合，還要考慮光場(chǎng)強(qiáng)度隨空間的變化、原子的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)、原子的自發(fā)輻射和腔的耗散等過(guò)程[29]。在旋波近似下，原子與光場(chǎng)之間的耦合由JC模型給出

這里up(uc)表示驅(qū)動(dòng)光（腔光場(chǎng)）的波模。例如對(duì)駐波而言，up,c(r)=cos(kp,cr)，其中 kp和 kc分別表示驅(qū)動(dòng)光和腔光場(chǎng)的波矢。另外，上式中g(shù)c代表單光子拉比頻率，驅(qū)動(dòng)光相對(duì)于原子躍遷頻率和腔模的失諧分別為 ?pa=ωp-ωA和 ?pc=ωp-ωC。原子的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)由以下哈密頓量描述

其中Vext(r)包含所有的外加約束勢(shì)和光晶格勢(shì)。 驅(qū)動(dòng)光的動(dòng)力學(xué)哈密頓量則具有以下的形式

注意上式中包含了兩種驅(qū)動(dòng)方式，一種是驅(qū)動(dòng)光直接照射在原子氣體上（即原子驅(qū)動(dòng)，atom pumping，驅(qū)動(dòng)光和原子耦合的強(qiáng)度為 ?p），另一種驅(qū)動(dòng)光直接驅(qū)動(dòng)腔模，并間接耦合原子氣體（即腔驅(qū)動(dòng)，cavity pumping，驅(qū)動(dòng)光和腔的耦合強(qiáng)度為ηc）。在理論研究中，一般我們只考慮一種驅(qū)動(dòng)方式，即單純的原子驅(qū)動(dòng)（ηc=0,?p/=0）或單純的腔驅(qū)動(dòng)（ηc/=0,?p=0）。綜上所述，描述原子氣體單粒子動(dòng)力學(xué)行為的哈密頓量為。

在實(shí)驗(yàn)中，我們通常把一團(tuán)處于簡(jiǎn)并溫度以下的超冷原子氣體置于光學(xué)腔中，并在垂直于腔軸方向（原子驅(qū)動(dòng)）或沿腔軸方向（腔驅(qū)動(dòng)）用頻率為ωp的激光驅(qū)動(dòng)，同時(shí)使驅(qū)動(dòng)激光頻率相對(duì)于原子的共振頻率ωA的失諧遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原子激發(fā)態(tài)的線寬，即|?pa|=|ωA-ωp|?γ。這時(shí)，原子處在激發(fā)態(tài)|e〉的概率可以忽略，從而可以不考慮自發(fā)輻射的影響，原子如一個(gè)電偶極矩絕熱地跟隨光子運(yùn)動(dòng)。這個(gè)極限被稱為色散極限(dispersion limit)。此時(shí)，在驅(qū)動(dòng)光的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，通過(guò)絕熱消除哈密頓量中原子的激發(fā)態(tài)自由度，腔–原子耦合系統(tǒng)的單粒子哈密頓量?H0(r)可以寫為：

圖2.原子氣體中的Feshbach共振。上圖是超冷玻色氣體在不同磁場(chǎng)下的粒子數(shù)?？梢钥吹皆诠舱顸c(diǎn)附近，由于散射長(zhǎng)度發(fā)散導(dǎo)致三體損失增大，原子數(shù)量大幅減少。下圖是通過(guò)飛行時(shí)間(time-of- fl ight)熒光成像技術(shù)反推出的as散射長(zhǎng)度。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[30]。

除了單粒子的動(dòng)力學(xué)行為，原子之間的相互作用對(duì)原子系綜的性質(zhì)也有非常重要的影響。原子之間的相互作用在真實(shí)的系統(tǒng)中是廣泛存在的，相互作用形式往往千差萬(wàn)別，不同組分，不同溫度甚至不同維度都會(huì)改變相互作用的形式。一般而言，兩個(gè)堿金屬原子進(jìn)行散射時(shí)，它們之間的短程相互作用主要受最外層電子庫(kù)侖相互作用影響，而長(zhǎng)程相互作用主要來(lái)自誘導(dǎo)的偶極相互作用，即范德瓦爾斯勢(shì)V(r)∝1/r6。在研究?jī)蓚€(gè)原子的散射問(wèn)題時(shí)，如果體系的角動(dòng)量守恒，可以利用分波法將散射過(guò)程分為s-，p-，d-波等。當(dāng)原子氣體的溫度足夠低的時(shí)候，由于復(fù)雜的短程相互作用被離心勢(shì)所屏蔽，原子之間的散射將主要受長(zhǎng)程相互作用影響。通過(guò)仔細(xì)的研究，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)氣體的溫度足夠低(～nK)且密度足夠稀薄(～1013-1015cm-3)時(shí)，只用一個(gè)參數(shù)—s波散射長(zhǎng)度as—就可以完全刻畫原子之間的相互作用。此時(shí)，原子之間的相互作用可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的接觸勢(shì)近似描述

隨著對(duì)Feshbach共振技術(shù)的挖掘和利用，人們發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)外磁場(chǎng)調(diào)節(jié)s波散射長(zhǎng)度

這里的abg是原子之間的背景散射長(zhǎng)度，B0是 Feshbach共振發(fā)生的位置，?為共振寬度。 從公式（10）明顯看出，散射長(zhǎng)度 as可以從 -∞ 連續(xù)地調(diào)節(jié)到 +∞，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)相互作用強(qiáng)度 Us的調(diào)節(jié)。1998年，Inouye[30]等在鈉原子(23Na)BEC中觀察到了Feshbach共振（見圖2）。

此外，在溫度接近量子簡(jiǎn)并溫度時(shí)，原子的量子統(tǒng)計(jì)規(guī)律也會(huì)顯著影響體系的性質(zhì)。在超冷原子氣體中，由于原子的德布羅意波長(zhǎng)和原子間距d量級(jí)接近，原子變得不可區(qū)分，這時(shí)玻色子和費(fèi)米子的多體波函數(shù)分別具有偶宇稱和奇宇稱。這種對(duì)稱性的要求將極大地改變系統(tǒng)的熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)行為。對(duì)于玻色子，由于玻色統(tǒng)計(jì)允許多個(gè)粒子占據(jù)同一個(gè)量子態(tài)，當(dāng)溫度足夠低時(shí)，所有玻色子凝聚在能量最低的狀態(tài)—玻色–愛因斯坦凝聚，相干效應(yīng)使得原子氣體表現(xiàn)得像一個(gè)原子。而對(duì)于費(fèi)米子，由于泡利不相容原理，同一個(gè)量子態(tài)只允許最多占據(jù)一個(gè)粒子，體系會(huì)形成費(fèi)米面，并在相互作用的影響下表現(xiàn)出超導(dǎo)、磁性等豐富多彩的性質(zhì)。

在研究多體系統(tǒng)時(shí)，一個(gè)常用的方案是使用二次量子化語(yǔ)言。這時(shí)，玻色子和費(fèi)米子分別滿足對(duì)易關(guān)系如下：

原子間的s波相互作用則寫為

注意由于交換反對(duì)稱性的限制，同組分費(fèi)米子之間的s波相互作用被禁戒。這樣，腔–原子體系的整體哈密頓量為。

由于光腔是一個(gè)耗散系統(tǒng)，光子主要通過(guò)原子的自發(fā)輻射和光腔的耗散損失。這兩項(xiàng)耦合一般可以通過(guò)量子主方程刻畫：

至此，腔–原子耦合體系的性質(zhì)可以通過(guò)聯(lián)立求解哈密頓量 (11)和 (13)式，以及主方程 (14)式得到。下面，我們將分別針對(duì)玻色和費(fèi)米氣體的情況加以詳細(xì)討論。

IV.光學(xué)腔中的超冷玻色氣體

在本章中，為了敘述方便并保持物理圖像清晰，我們假設(shè)驅(qū)動(dòng)方式是原子驅(qū)動(dòng)，即 ηc=0而?p/=0，并且假設(shè)驅(qū)動(dòng)光的波矢kp垂直于腔軸。在這種情況下，體系的總哈密頓量簡(jiǎn)化為

原子算符和光場(chǎng)算符的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程由海森堡方程決定

在溫度足夠低且腔光場(chǎng)的光子數(shù)足夠多的時(shí)候，原子和光場(chǎng)的漲落以及它們之間的糾纏可以忽略不計(jì)[31,32]，這時(shí)體系的描述變得極為簡(jiǎn)單：原子處在玻色–愛因斯坦凝聚態(tài)，而光場(chǎng)處在一個(gè)相干態(tài)（或者真空態(tài)）。這時(shí)，可以對(duì)算符做如下近似，并得到腔-BEC系統(tǒng)的含時(shí)動(dòng)力學(xué)演化方程 (Time-dependent Gross-Pitaevskii equation，TDGP equation)。為描述原子系綜和光場(chǎng)的耦合效果，我們定義代表原子感受到的有效失諧，其中 N為總原子數(shù)，描述了原子氣體密度與腔光場(chǎng)之間的重疊程度，也被稱為Bunching參量。如果，原子氣體動(dòng)力學(xué)演化時(shí)間1/ωR最為緩慢，而光子從光腔的一側(cè)漏出之前(t＜1/κ)，光場(chǎng)已經(jīng)在的時(shí)間尺度內(nèi)達(dá)到動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)。在這樣的系統(tǒng)中，原子氣體和腔光場(chǎng)相互影響，同時(shí)腔光場(chǎng)又通過(guò)耗散和環(huán)境耦合，最終系統(tǒng)將達(dá)到穩(wěn)態(tài)，其穩(wěn)態(tài)方程為

A.自組織及超輻射相變

在腔驅(qū)動(dòng)中，所有的原子都同時(shí)和同一個(gè)模式的腔光場(chǎng)耦合，腔光場(chǎng)的大小α依賴于原子氣體的分布，反過(guò)來(lái)又會(huì)影響原子系統(tǒng)狀態(tài)。在原子驅(qū)動(dòng)下，原子和光場(chǎng)的耦合依賴于空間，不同位置散射的腔光場(chǎng)的振幅和相位也是空間依賴的，且由于相鄰格點(diǎn)之間距離為半個(gè)波長(zhǎng)，散射的光子的相位正好差π，所以相鄰格點(diǎn)散射的腔光場(chǎng)相互抵消。因此，最初人們認(rèn)為這樣的系統(tǒng)中不會(huì)有腔光場(chǎng)的形成。但之后的研究發(fā)現(xiàn)，密度漲落（熱漲落或者量子漲落）可以輔助腔光場(chǎng)的形成，腔光場(chǎng)反過(guò)來(lái)正反饋初始的密度漲落，最終使得原子氣體在空間上形成周期性分布，腔光場(chǎng)有宏觀占據(jù)[33-37]，且原子氣體在空間上的分布周期和腔光場(chǎng)的周期一致（Z2對(duì)稱性的破缺）[28,38]。對(duì)于原子氣體，這種相變被稱為自組織(self-organization)。對(duì)于腔光場(chǎng)而言，這種相變被稱為超輻射相變。后面我們會(huì)說(shuō)明，在臨界點(diǎn)附近，超輻射相變等價(jià)于Dicke相變。伴隨著原子氣體形成新的分布，原子的動(dòng)能也被腔光場(chǎng)通過(guò)耗散κ帶出腔，所以原子氣體的溫度也會(huì)被降低到腔的展寬κ的量級(jí)[33,34]。上述現(xiàn)象首先被基于半經(jīng)典的Fokker-Planck方程的數(shù)值模擬所預(yù)言[33]。如圖3所示，隨著時(shí)間的推移，原子沿腔軸方向的運(yùn)動(dòng)最后都被束縛形成棋盤狀（checkerboard，見上圖），原子氣體沿腔軸的溫度會(huì)由于腔場(chǎng)的耗散效果而降低（見下圖）。這一數(shù)值結(jié)果隨后被實(shí)驗(yàn)證實(shí)[34]。值得注意的是，對(duì)于自組織的形成，原子數(shù)或者驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)存在一個(gè)閾值，只有在閾值之上才可能出現(xiàn)相變[33,37]。

如同熱原子中的自組織相變，玻色–愛因斯坦凝聚體也會(huì)有類似的現(xiàn)象。不失一般性，我們用沿腔軸方向束縛的準(zhǔn)一維氣體（取為x方向）進(jìn)行說(shuō)明?？紤]一個(gè)沿x方向放置的FP腔，腔模為uc(x)=cos(kx)，腔內(nèi)原子沿橫向方向（垂直于腔軸）的運(yùn)動(dòng)被束縛在基態(tài)。 假設(shè)使用沿 y方向的平面波驅(qū)動(dòng)原子氣體，即up(y)=exp(iky)，把橫向自由度積分后，體系的哈密頓量為

式中g(shù)1D表示原子在一維方向的有效相互作用強(qiáng)度，Vext(x)是用于約束原子的外加束縛勢(shì)。簡(jiǎn)單起見，我們暫時(shí)省略Vext(x)的影響。方括號(hào)中第三項(xiàng)是由腔光場(chǎng)形成的光晶格，最后一項(xiàng)是由原子散射驅(qū)動(dòng)光形成的干涉項(xiàng)，散射的能力由ηp衡量。當(dāng)|?pc|主導(dǎo)整個(gè)體系的動(dòng)力學(xué)行為時(shí)，光子將絕熱地跟隨原子氣體運(yùn)動(dòng)，這時(shí)光子的狀態(tài)為

圖3.上圖：在臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度以上，40個(gè)85Rb原子在前40μs中的運(yùn)動(dòng)軌跡。不同顏色代表不同原子，其中大多數(shù)原子最終形成棋盤結(jié)構(gòu)的分布。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[36]。下圖：原子氣體沿腔軸的相空間體積（海森堡不確定性）隨時(shí)間的演化。實(shí)（虛）線分別代表在臨界強(qiáng)度之上（下）。紅色和黑色的實(shí)線分別代表原子數(shù)為40和160的情況。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn) [33,36]。

這時(shí)絕熱勢(shì)中的干涉項(xiàng)為

這種腔–原子耦合體系中的自組織現(xiàn)象與光晶格中玻色氣體的超流–莫特 (Mott)絕緣體相變是不同的。一方面，前者在形成自組織現(xiàn)象的初期，原子的波函數(shù)并沒有完全的局域化；另一方面，即使在深自組織區(qū)域時(shí)，氣體的壓縮率依然不為零（莫特絕緣體壓縮率為零）；最后，研究顯示在熱力學(xué)極限下，無(wú)論驅(qū)動(dòng)光多強(qiáng)，總有一部分原子分布在原子數(shù)較少的格點(diǎn)[36]。

圖4.上圖：腔-BEC耦合系統(tǒng)超輻射序參量Θ隨驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)的變化。當(dāng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度超過(guò)臨界值后，伴隨著腔光場(chǎng)的建立，序參量的出現(xiàn)意味著原子沿腔軸形成周期的分布，破壞了原有的Z2對(duì)稱性。下圖：在超輻射相中對(duì)應(yīng)于驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度分別為（黃粗線）和300ωR（藍(lán)細(xì)線）時(shí)，原子波函數(shù)|ψ0(x)|2（實(shí)線）以及相應(yīng)的由腔光場(chǎng)產(chǎn)生的絕熱光學(xué)勢(shì)ξc|α|2cos2(kx)+Vpc(x)（虛線）在空間的分布。圖中所用參數(shù)為 μ0=10?ωRλ，Nξc=-100ωR，?pc=-300ωR。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn) [37]。

上述BEC的自組織現(xiàn)象也可以通過(guò)Dicke相變來(lái)理解。在原子間相互作用比較弱的情況下，當(dāng)玻色氣體處于BEC狀態(tài)時(shí)，原子大部分凝聚在|k=0〉的狀態(tài)。原子吸收一個(gè)光子變?yōu)閨k=±kR〉，而此態(tài)正好可以加強(qiáng)光子的布拉格散射，使得更多的光子進(jìn)入腔中。當(dāng)驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)度ηp在臨界點(diǎn)附近時(shí)，腔光場(chǎng)較弱，原子被散射到更高動(dòng)量的概率很小，因而把BEC的波函數(shù)寫作

此外，通過(guò)虛時(shí)演化分析不含時(shí)GP方程(23)式可以得到其臨界驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)度。在相變點(diǎn)附近，假定原子的波函數(shù)為 ψ(x)=ψ0(x)[1+?cos(kRx)]，?為無(wú)窮小量，則正常態(tài)失穩(wěn)的條件就是激發(fā)態(tài)的衰減速率慢于基態(tài)的衰減速率。由此得到臨界驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)為

綜上所述，該體系中的自組織（超輻射）相變可以被歸為Dicke相變一類。

B.元激發(fā)

在這一節(jié)里，我們將運(yùn)用一階線性漲落理論分析腔-BEC耦合系統(tǒng)的一階線性激發(fā)譜。在臨界點(diǎn)附近，腔光場(chǎng)很小，此時(shí)原子體系只有一小部分被激發(fā)到 cos(kRx)的狀態(tài)[39,40]，二能級(jí)近似的條件成立[39,41]。當(dāng)進(jìn)入較深的超輻射相時(shí)，原子的更高激發(fā)態(tài)也將被顯著激發(fā)。類比于凝聚態(tài)物理中的極化子，與腔光場(chǎng)耦合的低能激發(fā)被稱為極化激元 (polariton)[37,41]。 在臨界點(diǎn)附近，最低能量的極化激元在動(dòng)量 |k|=kR附近的能隙逐漸軟化，直到臨界點(diǎn)時(shí)變?yōu)榱悖@一支特殊的極化激元又被稱為旋子(roton)[42,43]。在臨界點(diǎn)附近，人們發(fā)現(xiàn)旋子激發(fā)譜的臨界指數(shù)為 -1，而不是封閉系統(tǒng) Dicke模型預(yù)言的-1/2[41,44,45]。產(chǎn)生這個(gè)區(qū)別的原因是由于腔-BEC耦合系統(tǒng)的低能激發(fā)通過(guò)與腔光場(chǎng)的耦合獲得了耗散的特性。這也使得人們可以通過(guò)直接測(cè)量耗散光子無(wú)損地探測(cè)原子體系量子態(tài)。在實(shí)驗(yàn)上，原子體系的耗散要比預(yù)期的大[46]，這是因?yàn)橛邢蕹叽缧?yīng)耦合了原子不同的集體激發(fā)模[43]。

為了簡(jiǎn)單起見，我們?nèi)匀徊捎蒙弦还?jié)的一維模型。同時(shí)，為了抓住腔和物質(zhì)之間耦合的物理，暫時(shí)忽略原子之間的相互作用。由于（26）式中最后一項(xiàng)可以忽略，我們可以考慮其對(duì)應(yīng)的Dicke模型的穩(wěn)態(tài)解。

這里 w2+|β|2=N2/4為守恒量。上面這個(gè)方程組始終有一個(gè)平庸解 α=β=0和 w=-N/2， 代表腔內(nèi)沒有光子，同時(shí)所有的原子都處于其基態(tài)k=0。但是當(dāng)時(shí)，將出現(xiàn)另外一個(gè)解，即腔內(nèi)出現(xiàn)宏觀占據(jù)的光子和部分原子處于激發(fā)態(tài)k=kR，這時(shí)有

激發(fā)譜的頻率為 Re(ωex)，而其耗散為 Im(ωex)。當(dāng)，激發(fā)譜ωex=ωR，代表BEC的第一個(gè)集體激發(fā)頻率。而當(dāng)越來(lái)越趨近于時(shí)，其激發(fā)譜的頻率也逐漸變?yōu)榱?，說(shuō)明BEC逐漸獲得了光子的性質(zhì)。

圖 5.腔-BEC系統(tǒng)中低能激發(fā)的 (a)激發(fā)頻率 Re(ωex)和(b)耗散率Im(ωex)。圖中展示了能量最低的6支BEC主導(dǎo)（類原子）和1支腔主導(dǎo)（類腔）的集體激發(fā)模式。圖(a)和圖(b)的顏色一一對(duì)應(yīng)。為了比較方便，類腔模式的激發(fā)頻率和耗散率分別被除以5和4000（黑色雙虛線），能量最低的類原子模式（紅實(shí)線）的耗散率γ1也被除以2。其余的參數(shù)與圖4的上圖相同。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[37]。

隨著驅(qū)動(dòng)光的增強(qiáng)，BEC的更高能級(jí)集體激發(fā)也會(huì)有宏觀占據(jù)，兩能級(jí)近似將變得不再適用，此時(shí)需要考慮更多激發(fā)態(tài)的影響[37,40]。圖5展示了腔-BEC耦合系統(tǒng)中集體激發(fā)譜隨驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)度的變化趨勢(shì)。在臨界點(diǎn)（這里取65.612 ωR）以下，BEC的激發(fā)譜（類原子）是兩重兼并的。在正常相中，BEC的每一個(gè)集體激發(fā)有一支（圖5中洋紅點(diǎn)線、靛藍(lán)點(diǎn)虛線、紅雙點(diǎn)劃線）與腔模脫耦，即使進(jìn)入自組織區(qū)域，它們也只與BEC的其它模式耦合，因此耗散率始終為零；而類原子激發(fā)中能量最低的一支（圖5中紅實(shí)線）則與腔模耦合，混合了原子的集體激發(fā)和腔光場(chǎng)在穩(wěn)態(tài)附近的漲落。我們可以看到類原子的這支激發(fā)頻率（紅實(shí)線）隨著驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)增強(qiáng)而逐漸軟化，在臨界點(diǎn)上激發(fā)態(tài)能量變?yōu)榱悖纳⒙首優(yōu)橛邢拗担ㄔ谂R界點(diǎn)附近耗散率的小凹陷是由于數(shù)值精度造成的），意味著系統(tǒng)的能隙關(guān)閉從而導(dǎo)致相變發(fā)生。這些結(jié)果進(jìn)一步佐證了前面關(guān)于兩模Dicke模型的討論。

隨著驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)η的繼續(xù)增大，類原子的高能集體激發(fā)模式也會(huì)與腔模耦合，從而獲得了光子的耗散特性（綠虛線和藍(lán)虛線）。但是在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)光極限η→∞時(shí)，所有原子都被局限到腔模的波谷位置，導(dǎo)致只有BEC的第二支集體激發(fā)（紅實(shí)線）能與腔模耦合。因此，除了這一支獲得有限的耗散率，其余的兩支（包括能量更高的）的耗散速率都將變?yōu)榱悖ňG虛線和藍(lán)虛線）。這三支都混合了 BEC的集體激發(fā)和腔光場(chǎng)在穩(wěn)態(tài)附近的漲落，這一點(diǎn)與固體物理中類光聲子和光子之間耦合形成極化激元的過(guò)程是類似的。在這個(gè)意義上，這三支激發(fā)譜又被稱為極化激元。在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)極限下，由于所有原子都會(huì)感受到一個(gè)簡(jiǎn)諧勢(shì)，因此其激發(fā)頻率將變?yōu)榈乳g距的簡(jiǎn)諧振子的頻譜。

類原子激發(fā)譜中能量最低的一支（紅實(shí)線）代表著腔-BEC耦合系統(tǒng)的第一激發(fā)態(tài)的能隙。由于其動(dòng)量為kR且其激發(fā)頻率在臨界點(diǎn)附近被軟化，因而這一支極化激元也具有旋子的特征[42,43]。2012年，Esslinger小組通過(guò)布拉格光譜的方法，實(shí)際測(cè)量了二維體系中極化激元的能隙隨著驅(qū)動(dòng)光光強(qiáng)變化的趨勢(shì)（圖6）。實(shí)驗(yàn)同時(shí)測(cè)量了處于激發(fā)態(tài) |kx=±kR,kz=±kR〉的原子數(shù)Ne和腔光子數(shù)Nph。由于在臨界點(diǎn)附近只有激發(fā)態(tài)|kx=±kR,kz=±kR〉有宏觀占據(jù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和基于Dicke模型的理論基本符合。對(duì)于有超輻射相變的情形(V＜0)，隨著驅(qū)動(dòng)光光強(qiáng)從弱極限掃過(guò)臨界點(diǎn)，腔-BEC耦合系統(tǒng)從正常相過(guò)渡到超輻射相，激發(fā)譜的能隙先關(guān)閉再打開；相反地，對(duì)于V＞0的區(qū)域，由于腔光場(chǎng)趨向于壓制原子氣體的密度漲落，因而沒有超輻射相變，激發(fā)譜的能隙隨著驅(qū)動(dòng)光的增加而增加。由于探測(cè)光的動(dòng)量為kR，上述測(cè)量反映的是系統(tǒng)在p=?kR的激發(fā)譜，所以這個(gè)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了在腔-BEC耦合系統(tǒng)中類旋子激發(fā)譜的存在。另外，上述結(jié)論通過(guò)測(cè)量原子密度的靜態(tài)響應(yīng)率也得到了證實(shí)[42]。

C.相變臨界指數(shù)

圖 6.腔-BEC耦合體系的低能激發(fā)。這里同時(shí)測(cè)量了來(lái)源于原子的信號(hào)（處于激發(fā)態(tài) |kx=±,kz= ±〉的原子數(shù)Ne，藍(lán)色）和來(lái)源于光子的信號(hào)（紅色）。V=/代表原子感受到的束縛勢(shì)的振幅。為了與有超輻射相變的情形對(duì)比（V ＜ 0，實(shí)心圓），圖中展示了沒有超輻射相變情形（V ＞ 0，空心圓）?；疑幱皡^(qū)域代表基于雙模模型的理論預(yù)測(cè)（包含了實(shí)驗(yàn)中的不確定性）。其余的參數(shù)設(shè)置為：原子數(shù) N=1.7×105，對(duì)于 V ＜0的情形取=-2π×(19.8,23.2)MHz，對(duì)于V＞0的情形取=2π×15.1 MHz，驅(qū)動(dòng)光的強(qiáng)度P用臨界強(qiáng)度Pcr標(biāo)度。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[42]。

在腔–原子耦合體系中，原子與腔光場(chǎng)耦合，腔光場(chǎng)與環(huán)境相互作用導(dǎo)致腔光場(chǎng)不斷耗散到環(huán)境，因此環(huán)境會(huì)間接影響原子氣體的動(dòng)力學(xué)演化，最終耦合系統(tǒng)達(dá)到了動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)。這一動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)與封閉系統(tǒng)的熱力學(xué)平衡態(tài)在各方面都可能存在本質(zhì)的差別。以前面討論過(guò)的Dicke模型為例，對(duì)于封閉系統(tǒng)的平衡態(tài)，平均場(chǎng)預(yù)言正常相在零溫時(shí)的光場(chǎng)漲落為[41,44]

其臨界指數(shù)是-1/2，與一般的平均場(chǎng)模型一致。而對(duì)于動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)，平均場(chǎng)理論結(jié)果變?yōu)?/p>

其臨界指數(shù)是-1（圖7）。此外，原子算符的漲落（即被激發(fā)到 kR態(tài)的數(shù)目）也具有類似的臨界行為[44]。由此可見，非平衡態(tài)穩(wěn)態(tài)將極大地影響量子相變的性質(zhì)。

圖7.開放系統(tǒng)（紅色實(shí)線）和封閉系統(tǒng)（藍(lán)色虛線）在趨近于臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度yc時(shí)密度漲落的臨界行為。開放系統(tǒng)的耗散率 κ=2ωR，其余的參數(shù)為 ?pc=-2ωR，ξc=0。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn) [44]。

2013年，Esslinger小組通過(guò)實(shí)時(shí)測(cè)量光場(chǎng)的耗散，發(fā)現(xiàn)正常相中的腔光場(chǎng)漲落的臨界指數(shù)在-0.9(±0.1)，與平均場(chǎng)理論的預(yù)測(cè)基本一致[46]。但是，從圖 8可以發(fā)現(xiàn)，基于腔光子單通道耗散的理論預(yù)測(cè)（黑虛線）明顯高于實(shí)驗(yàn)所測(cè)數(shù)據(jù)（紅色實(shí)心圓）。只有人為地把原子激發(fā)態(tài)的耗散γ（灰虛點(diǎn)線）也考慮進(jìn)來(lái)，才能使得理論與實(shí)驗(yàn)相符（紅實(shí)線）。同時(shí)，開放系統(tǒng)的光子漲落也明顯高于閉合系統(tǒng)的漲落（黑實(shí)線）。實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)中不可避免的有限尺寸效應(yīng)會(huì)耦合BEC的高能激發(fā)態(tài)與類旋子激發(fā)態(tài)，從而使得原子的高能激發(fā)態(tài)扮演了一個(gè)附加的熱庫(kù)，為旋子激發(fā)提供了一個(gè)新的耗散通道。這一效應(yīng)必然依賴于驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)和體系尺寸的大小，并且會(huì)壓制由于腔光場(chǎng)導(dǎo)致的密度漲落，從而導(dǎo)致腔光場(chǎng)漲落的減小。有限尺寸效應(yīng)同時(shí)會(huì)使得臨界點(diǎn)附近的光場(chǎng)漲落添加一個(gè)次發(fā)散項(xiàng) |η-ηcr|-3，但并不會(huì)改變臨界指數(shù)[43]。另外，如果考慮非單模的熱庫(kù)，非平衡態(tài)的臨界行為也會(huì)被相應(yīng)地改變。例如，計(jì)算發(fā)現(xiàn)sub-ohmic熱庫(kù)會(huì)通過(guò)其低能態(tài)密度影響開放系統(tǒng)中的臨界指數(shù)，使得其絕對(duì)值低于1[47]。

圖8.發(fā)生超輻射之前腔內(nèi)漲落的光子數(shù)。紅色圓點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果，黑色實(shí)線是閉合系統(tǒng)的理論結(jié)果，黑色虛線是基于腔光子單通道耗散的理論預(yù)測(cè)，紅色實(shí)線是考慮原子激發(fā)態(tài)耗散（灰色虛點(diǎn)線）后的結(jié)果。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[46]。

除了漲落的臨界指數(shù)以外，弛豫時(shí)間、相干長(zhǎng)度等物理量的臨界指數(shù)也能反映相變的類型和性質(zhì)。在自組織（超輻射）臨界點(diǎn)附近，由于旋子的軟化，系統(tǒng)的相干長(zhǎng)度發(fā)散，其弛豫時(shí)間變得無(wú)窮長(zhǎng)，并服從冪律形式

式中 zμνμ是只依賴于相變類別的普適量（μ標(biāo)記驅(qū)動(dòng)相變的方向，即從正常相驅(qū)動(dòng)到自組織相或者反過(guò)來(lái)）。實(shí)驗(yàn)上，從不同方向驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)通過(guò)臨界轉(zhuǎn)變驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度，人們發(fā)現(xiàn)從均勻相驅(qū)動(dòng)到自組織相的臨界指數(shù)z1ν1=0.75，而從自組織相驅(qū)動(dòng)到均勻相的臨界指數(shù) z2ν2=0.18[48]。這一結(jié)果與 Kibble-Zeruk機(jī)制預(yù)測(cè)的臨界指數(shù) zμνμ=0.5（包括兩個(gè)驅(qū)動(dòng)方向）差別較為明顯，其中的機(jī)制還有待進(jìn)一步研究。

D.單分量的玻色–哈伯德模型

在超輻射相變發(fā)生后，腔內(nèi)的光場(chǎng)會(huì)形成一個(gè)具有周期性的駐波場(chǎng)，原子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由準(zhǔn)動(dòng)量標(biāo)記。和傳統(tǒng)的光晶格不同的是，腔光場(chǎng)不再是“經(jīng)典”的保守勢(shì)，而是會(huì)產(chǎn)生反饋效果的勢(shì)場(chǎng)。這種效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生非線性的相互作用，并有可能導(dǎo)致光學(xué)雙穩(wěn)現(xiàn)象、甚至更為復(fù)雜的三穩(wěn)現(xiàn)象和一些“燕尾”(swallowtail)結(jié)構(gòu)。

簡(jiǎn)單起見，考慮一維單組分玻色氣體在單模腔中的運(yùn)動(dòng)，且原子被束縛在最低的能帶（單帶近似），而光腔被原子驅(qū)動(dòng)或者腔驅(qū)動(dòng)。在熱力學(xué)極限下，如果不考慮原子和腔光場(chǎng)之間的糾纏，所有原子將感受到一個(gè)平均的腔光場(chǎng)，此時(shí)總哈密頓量簡(jiǎn)化為

如第IV.A小節(jié)所述，在腔光場(chǎng)的特征頻率足夠大時(shí)，腔光場(chǎng)將跟隨原子氣體運(yùn)動(dòng)，因而可以消去光場(chǎng)，得到原子運(yùn)動(dòng)的有效哈密頓量。比如，在原子驅(qū)動(dòng)情形下，物質(zhì)場(chǎng)和光場(chǎng)之間的干涉項(xiàng)寫為

圖 9.（a）單個(gè)格點(diǎn)上有 n個(gè)粒子占據(jù)的概率 pn和（b）粒子數(shù)漲落隨散射長(zhǎng)度 as的變化。圖（a）中實(shí)線是原子氣體位于光腔產(chǎn)生的光晶格中的情況，虛線是沒有腔但有相同深度的經(jīng)典光晶格 Veff的情況。此外，ξc=-κ，?pc=-3.75κ，Veff=-4ER。圖（b）中虛點(diǎn)線對(duì)應(yīng)于經(jīng)典光晶格情況，其余的線對(duì)應(yīng)不同的失諧。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[49]。

除了為原子提供一個(gè)平均的周期勢(shì)之外，腔光場(chǎng)的量子漲落也會(huì)影響原子氣體的狀態(tài)。一方面，對(duì)于原子和腔耦合較弱或者腔光子很少的情況，較大的腔光場(chǎng)漲落會(huì)使得系統(tǒng)的基態(tài)表現(xiàn)出較為復(fù)雜的行為[49]。比如，當(dāng)腔光子數(shù)nph=0時(shí)（沒有外加束縛勢(shì)和較弱的接觸相互作用），腔光場(chǎng)不影響原子氣體的長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)；但是當(dāng)nph=1時(shí)，此時(shí)的腔光場(chǎng)趨向于阻止原子在空間的移動(dòng)，破壞原子氣體的長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)，因而原子的基態(tài)往往是不同物質(zhì)相的疊加態(tài)（圖9(a)）。腔光場(chǎng)的漲落還會(huì)增加Feshbach共振BEC區(qū)域的粒子數(shù)漲落，同時(shí)壓制BCS區(qū)域的粒子數(shù)漲落（圖9(b)）。另一方面，如果外加較深的背景光晶格使得原子的躍遷矩陣元()只是微弱的依賴于腔光場(chǎng)（腔光場(chǎng)漲落相對(duì)較?。?，由腔光場(chǎng)誘導(dǎo)的相鄰格點(diǎn)的躍遷仍然會(huì)改變?cè)酉稻C的穩(wěn)態(tài)，這一點(diǎn)在腔驅(qū)動(dòng)和原子驅(qū)動(dòng)的情形均可以看到。

圖10.腔驅(qū)動(dòng)情況下玻色–哈伯德模型的相圖。橫軸為耗散率和驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)的比值κ/η，縱軸為重整后的化學(xué)勢(shì)?μ/g1D。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[50]。

比如在腔驅(qū)動(dòng)的情況下，由于腔的非線性效應(yīng)和相互作用對(duì)粒子數(shù)密度的影響，莫特絕緣態(tài)會(huì)出現(xiàn)許多亞穩(wěn)態(tài)[50,51]，系統(tǒng)在不同失諧下的相圖也會(huì)表現(xiàn)出較大的差異（圖 10）。當(dāng) ?pa＜0時(shí)，原子趨向于聚集在波腹上，使得原子和腔的耦合極大，這時(shí)腔的非線性效應(yīng)最為顯著；而如果?pa＞0，原子聚集在波節(jié)，使得原子和腔的耦合極小。因而在強(qiáng)驅(qū)動(dòng)極限下，相圖和標(biāo)準(zhǔn)的玻色–哈伯德模型一致。但是當(dāng)驅(qū)動(dòng)光較弱時(shí)，相圖中出現(xiàn)了許多雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域，甚至有些莫特絕緣態(tài)還出現(xiàn)在了化學(xué)勢(shì)為負(fù)的區(qū)域。

圖 11.原子驅(qū)動(dòng)情況下玻色–哈伯德模型的相圖。橫軸為耗散率與驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)的比值，縱軸是重整后的化學(xué)勢(shì)（相對(duì)于每個(gè)格點(diǎn)上僅有一個(gè)粒子時(shí)的在位相互作用特征能量U1）。黑色箭頭代表密度n0=1時(shí)發(fā)生超輻射相變的位置。其他參數(shù)為 ?pc=-50 κ，ξc=-0.1 κ，g1D/ERλ =4.74×10?4。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[58]。

在原子驅(qū)動(dòng)的情況下，由于原子的在位相互作用能依賴于腔光場(chǎng)的大小。腔光場(chǎng)越大，在位相互作用能越大。這不僅使得超流到莫特絕緣體轉(zhuǎn)變的臨界驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)變大，也使得莫特絕緣體的各區(qū)域(lobes)之間出現(xiàn)間隙（圖11）。在弱驅(qū)動(dòng)極限s0→0或者壞腔極限 κ→ ∞ (κ/s0→ ∞)下，系統(tǒng)進(jìn)入均勻的超流相（平均光子數(shù)為零）。隨著驅(qū)動(dòng)光的增強(qiáng)或者腔的耗散下降，系統(tǒng)將進(jìn)入超輻射相，使得原子在空間形成周期為λ的莫特絕緣體。在超流和絕緣體之間，原子系綜可能既具有超流的非對(duì)角長(zhǎng)程序也具有電荷密度波的對(duì)角長(zhǎng)程序。比如在填充數(shù)n0=1且0.6＜κ/s0＜0.78時(shí)，原子氣體既有固體的周期性又有超流的相干性，因而又稱這種狀態(tài)為超固相(supersolid)。對(duì)超固相的尋找和研究是凝聚態(tài)物理的重要課題之一[28,52-57]。以往的研究大多聚焦具有長(zhǎng)程相互作用的體系，比如具有偶極相互作用的 BEC[54]。在腔-BEC耦合系統(tǒng)中，由于原子和同一個(gè)模式下的腔光場(chǎng)相互作用，使得原子之間具有等效的長(zhǎng)程相互作用，因而在某些參數(shù)區(qū)間可能出現(xiàn)超固相。

圖 12.在失諧 ?pc（即圖中?c）和晶格深度 V2D平面的相圖。相圖中包括超流相SF（紅色）、超固體相SS（紫色）、電荷密度波相 CDW（藍(lán)色）和莫特絕緣體相（黃色）。黑色實(shí)心點(diǎn)代表電荷密度波的建立，白色空心點(diǎn)代表超流性的消失，斜線區(qū)域代表 CDW 和 MI的共存區(qū)域。圖中填充數(shù)n0≈1。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[57]。

在 2016年的實(shí)驗(yàn)中[57]，Esslinger小組將由約 4.2×104個(gè)87Rb原子組成的 BEC（溫度為 42 nK）傳送到一個(gè)光腔中，通過(guò)沿腔軸和垂直于腔軸兩個(gè)方向加一個(gè)經(jīng)典光晶格，同時(shí)在另一個(gè)正交的方向加一束強(qiáng)光把原子氣體切成二維氣體。由于驅(qū)動(dòng)光與腔的失諧 |?pc|/2π～10 MHz遠(yuǎn)大于腔的耗散頻率κ/2π～1 MHz，而后者又遠(yuǎn)大于原子運(yùn)動(dòng)的特征頻率ωR/2π～1 KHz，因此可以安全地絕熱消除光子自由度，得到腔中擴(kuò)展的玻色–哈伯德模型

上述哈密頓量的前兩項(xiàng)代表傳統(tǒng)的玻色–哈伯德模型，而第三項(xiàng)代表由腔光子誘導(dǎo)的原子之間的長(zhǎng)程相互作用，其系數(shù)，V2D為背景光晶格深度。另外，?pc-δc，M0代表原子和光場(chǎng)之間的重疊程度，δc代表原子氣體對(duì)腔的頻率移動(dòng)。這個(gè)體系中的電荷密度波序可以用奇偶格點(diǎn)的粒子數(shù)失衡 Θ=表征。當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)程相互作用會(huì)使得原子之間的能量升高，因而此時(shí)只有超流相或者莫特絕緣體相。當(dāng)時(shí)，Ul＜0，這時(shí)系統(tǒng)將有可能具有電荷密度波序（Θ /=0）。

該實(shí)驗(yàn)通過(guò)測(cè)量光子數(shù)反推Θ（圖12黑實(shí)心點(diǎn)），并通過(guò)時(shí)間飛行(time-of- fl ight)測(cè)量原子氣體的空間相干性（圖 12白空心點(diǎn)）。一方面，當(dāng)失諧 |?pc|較小時(shí)，較淺的晶格使得氣體被原子的動(dòng)能所主導(dǎo)，因而表現(xiàn)為空間均勻的超流態(tài)（紅色，SF）。而較深的晶格則會(huì)壓制原子的動(dòng)能，但是由于腔光場(chǎng)較強(qiáng)使得電荷密度波序得以建立。在這兩者之間，氣體既有超流特性又有電荷密度波序，此時(shí)被稱為超固相（紫色，SS）。另一方面，隨著失諧的增加，腔光場(chǎng)也隨之減小，因而在較深的晶格下，原子氣體表現(xiàn)為莫特絕緣體（黃色，MI）。值得注意的是，腔光場(chǎng)和經(jīng)典光晶格的競(jìng)爭(zhēng)有可能導(dǎo)致雙穩(wěn)態(tài)，如圖12中的斜線區(qū)域。在理論上，人們對(duì)該體系中的超固相進(jìn)行了一系列的研究。平均場(chǎng)理論給出的相圖和實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性吻合[59-62]。注意到由于前述實(shí)驗(yàn)是通過(guò)調(diào)節(jié)背景光晶格深度 V2D的方式調(diào)節(jié)在位相互作用 Us，在調(diào)節(jié)的同時(shí)也改變了長(zhǎng)程相互作用，因此并不能獨(dú)立解析出在位相互作用Us的影響。此外，動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法（Dynamical Mean Field Theory,DMFT）也確認(rèn)了二維系統(tǒng)中超固相的存在[63,64]。同時(shí)由于在位相互作用趨向于使得原子氣體均勻分布，因而會(huì)提高發(fā)生超輻射相變的臨界值[63]。隨后的進(jìn)一步研究指出，動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)方法在定量上仍然不精確[65]。值得一提的是，當(dāng)腔光場(chǎng)足夠強(qiáng)時(shí)，將不僅與原子的密度耦合，而且還與原子的動(dòng)能耦合，這使得原子體系形成了一些新奇的物相[59]。

另一方面，當(dāng)腔的耗散率κ與原子的動(dòng)能ωR相當(dāng)時(shí)，腔光子不再絕熱地跟隨原子運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致絕熱近似失效。此時(shí)腔光子不僅會(huì)誘導(dǎo)原子之間的全局相互作用，還會(huì)有其他的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)。雖然如此，腔-BEC耦合系統(tǒng)仍然可以達(dá)到動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)[48,65]。當(dāng)驅(qū)動(dòng)光和腔的有效失諧時(shí)，腔光場(chǎng)放大原子氣體的密度漲落，因而仍然會(huì)發(fā)生超輻射相變。當(dāng)腔光場(chǎng)超過(guò)一定臨界值時(shí)，原子體系的空間相干性將會(huì)消失，成為莫特絕緣體，如圖13所示。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，原子的有效失諧與腔的耗散速率κ在相同量級(jí)，填充數(shù) n0≈20。 圖中 HSF代表僅有空間相干性的均勻超流相，SSF代表同時(shí)具有電荷密度波序和空間相干性的超固相，而SMI代表僅有電荷密度波序的自組織莫特相。由于腔和原子運(yùn)動(dòng)的特征時(shí)間相當(dāng)，人們?cè)趯?shí)驗(yàn)中也觀察到了可能由動(dòng)力學(xué)效應(yīng)導(dǎo)致的“磁滯效應(yīng)”[48]。

圖13.(a)腔光子數(shù)Np隨有效失諧（即圖中δeff）和驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)度（圖中?p）的變化趨勢(shì)。圖中 HSF代表均勻超流相，SSF代表超固體相，SMI代表莫特相。(b)沿圖(a)中的路徑ABCD，光子數(shù)和動(dòng)量分布半高寬W 的變化趨勢(shì)。在B-C之間，腔光子數(shù)有限而原子仍然具有空間相干性，體系處于SSF相。(c)沿ABCD路徑，體系經(jīng)過(guò)圖(b)中由箭頭標(biāo)記的位置1-8時(shí)，原子在ky-kz平面內(nèi)的動(dòng)量分布。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[65]。

E.自旋–軌道耦合的玻色氣體

自旋–軌道耦合效應(yīng)往往會(huì)強(qiáng)烈地改變單粒子的色散關(guān)系和自旋成分，從而極大地影響體系的性質(zhì)，出現(xiàn)新奇的基態(tài)物相和低能激發(fā)[66,67]。在冷原子物理中，現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)一般通過(guò)微波或者拉曼過(guò)程耦合原子不同超精細(xì)能級(jí)形成人工自旋–軌道耦合。當(dāng)把原子氣體置于光腔中時(shí)，腔光場(chǎng)和原子氣體的相互影響使得腔–原子耦合系統(tǒng)往往表現(xiàn)出一些非線性效應(yīng)。最簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)人造自旋-軌道耦合的方案是通過(guò)微波直接耦合原子不同超精細(xì)能級(jí)，使得不同分量的原子相干并伴隨動(dòng)量轉(zhuǎn)移。即使在這樣簡(jiǎn)單的構(gòu)形里，光腔也會(huì)使得系統(tǒng)表現(xiàn)出一些不同于傳統(tǒng)的光力系統(tǒng)的性質(zhì)。腔–原子耦合系統(tǒng)在某些參數(shù)區(qū)間內(nèi)甚至表現(xiàn)出三穩(wěn)現(xiàn)象—存在兩個(gè)亞穩(wěn)態(tài)和一個(gè)基態(tài)[68]。在拉曼過(guò)程產(chǎn)生的自旋–軌道耦合系統(tǒng)中，原子的兩個(gè)基態(tài)與一個(gè)高能激發(fā)態(tài)通過(guò)兩束拉曼光耦合。當(dāng)兩束拉曼光的單光子失諧遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于激發(fā)態(tài)的線寬時(shí)，激發(fā)態(tài)的占據(jù)可以忽略不計(jì)，此時(shí)原子的兩個(gè)基態(tài)發(fā)生相干形成自旋–軌道耦合。如果其中一束拉曼光借助于腔光場(chǎng)實(shí)現(xiàn)，則腔的非線性和耗散效應(yīng)也將通過(guò)拉曼過(guò)程進(jìn)入到系統(tǒng)，使得系統(tǒng)出現(xiàn)燕尾結(jié)構(gòu)(swallowtail)[69]等非線性效應(yīng)[70-73]。

例如，可以沿垂直于腔軸的方向使用兩束大失諧（相對(duì)于原子躍遷頻率紅失諧，?pa＜0）的平面波（探測(cè)光，拉比頻率?2）和駐波（驅(qū)動(dòng)光，拉比頻率?1）驅(qū)動(dòng)原子，同時(shí)選擇恰當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)光偏振方向使得它們耦合原子的不同基態(tài)能級(jí)，通過(guò)壓制σ-光使得腔光場(chǎng)同時(shí)能耦合驅(qū)動(dòng)光所耦合的能級(jí)（拉比頻率 g0），這時(shí)原子將通過(guò)兩種拉曼過(guò)程耦合起來(lái)，即?2-?1和?2-g0。描述該系統(tǒng)的有效哈密頓量為[74]

圖 14.(a)具有腔誘導(dǎo)的自旋–軌道耦合的兩分量玻色氣體的相圖。圖中 ?是探測(cè)光驅(qū)動(dòng)的自旋–軌道耦合強(qiáng)度，η是驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)度。固定驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)度 η=0.7EL/?時(shí)，腔光場(chǎng)的期望值α和原子體系序參量Θ隨自旋–軌道耦合強(qiáng)度?的變化趨勢(shì)如 (b)和 (c)所示。圖中其他參數(shù)為：雙光子拉曼失諧 δ=-4EL/，驅(qū)動(dòng)光與腔光場(chǎng)的單光子拉比頻率比 ?1/g0=10。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn) [74]。

如圖 14(a)所示，在 ?1?g0的條件下，隨著探測(cè)光?2的變化，該系統(tǒng)在零溫可以出現(xiàn)三個(gè)截然不同的物相：棋盤相（超輻射）、條紋相（正常態(tài)）和渦旋-反渦旋晶格相（超輻射）。首先，當(dāng)探測(cè)光 ?2較小時(shí)，只有自旋朝下的粒子散射驅(qū)動(dòng)光 (Θ/=0)，而自旋朝上的粒子不散射光子 (≈0)。因此只有驅(qū)動(dòng)光的強(qiáng)度超過(guò)臨界值時(shí)，腔光場(chǎng)才會(huì)有宏觀占據(jù)，此時(shí)自旋朝下的粒子形成棋盤結(jié)構(gòu)。由于不可避免的背景散射會(huì)使得自旋朝上與自旋朝下的粒子之間存在相互作用，自旋朝上的粒子的空間分布也會(huì)受到影響，具體形式依賴于散射長(zhǎng)度。以鉻原子(Chromium，Cr)為例，由于不同贗自旋之間的散射長(zhǎng)度為 a↑↑=a↑↓=112aB和 a↓↓=87.5aB（aB是玻爾半徑）滿足不相容 (immiscible) 條件，因此自旋朝上的粒子將聚集在自旋朝下粒子密度最小的地方。其次，當(dāng)逐漸增加探測(cè)光的強(qiáng)度 ?2時(shí)，由?2-?1組成的拉曼過(guò)程形成自旋–軌道耦合。這種自旋–軌道耦合效應(yīng)等價(jià)于一個(gè)空間位置依賴的有效磁場(chǎng) B=(Bx,By)≈ -?cos(ky)(cos(ky),sin(ky))，其周期為π/k。這個(gè)有效磁場(chǎng)將壓制腔光場(chǎng)的形成（后者的周期為2π/k），因而隨著?(?2)的增強(qiáng)，腔光場(chǎng)將逐漸消失，最終進(jìn)入一個(gè)由?1-?2主導(dǎo)的物質(zhì)相――條紋相。這時(shí)垂直于腔軸方向原子形成條紋狀的分布 (α=0)，見圖 14(b)。最后，當(dāng)進(jìn)一步增強(qiáng) ?時(shí)，通過(guò)?2-g0散射光子的拉曼過(guò)程也開始顯現(xiàn)作用，此時(shí)的腔光場(chǎng)主要來(lái)源于通過(guò)拉曼過(guò)程散射的探測(cè)光，即Θ≈0和Ξ/=0（圖14(c)）。這時(shí)由于拉曼過(guò)程起主導(dǎo)作用，兩種組分的原子將在空間形成相同的分布(miscible)。注意到該體系中的拉曼過(guò)程相當(dāng)于引入了有效磁場(chǎng)，一方面使得原子的自旋形成磁性結(jié)構(gòu)，另一方面使得原子波函數(shù)的相位形成渦旋–反渦旋晶格陣列（周期 2π/k）。這一等效磁場(chǎng)的強(qiáng)度可以達(dá)到幾個(gè)特斯拉量級(jí)，這使得腔–原子氣體耦合系統(tǒng)成為研究量子霍爾效應(yīng)的一個(gè)新平臺(tái)。

V.光學(xué)腔中的超冷費(fèi)米氣體

如前所述，當(dāng)溫度足夠高時(shí)，遵從麥克斯韋–玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)的熱原子氣體會(huì)在足夠強(qiáng)的橫向驅(qū)動(dòng)下出現(xiàn)超輻射（自組織）相變[33,34]。但是，隨著溫度的逐漸降低，不同的量子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)使得耦合系統(tǒng)表現(xiàn)出截然不同的性質(zhì)。對(duì)于玻色子，當(dāng)溫度足夠低的時(shí)候，幾乎所有的原子都會(huì)凝聚到能量最低態(tài)，這使得超輻射相變更容易發(fā)生。對(duì)于費(fèi)米子而言，其在低溫下是否仍然能夠發(fā)生超輻射相變？相變的發(fā)生條件和特征是否會(huì)出現(xiàn)變化？近期的研究發(fā)現(xiàn)，一方面，對(duì)于單分量 (spinless)費(fèi)米氣體，泡利不相容原理并沒有禁戒超輻射相變，相反在某些參數(shù)區(qū)間，超輻射的不穩(wěn)定性會(huì)被極大地增強(qiáng)，而維度和光腔的耗散也會(huì)產(chǎn)生顯著的影響；另一方面，當(dāng)原子的自旋自由度參與到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化，該復(fù)合體系的性質(zhì)會(huì)變得更為特殊和有趣，出現(xiàn)非平衡態(tài)的腔誘導(dǎo)配對(duì)[75]、人造規(guī)范勢(shì)[76-78]等新奇物理現(xiàn)象。

A.單分量費(fèi)米氣體

將簡(jiǎn)并的單分量費(fèi)米氣體置于駐波光腔中，同時(shí)沿橫向驅(qū)動(dòng)原子氣體。描述其運(yùn)動(dòng)的哈密頓量與玻色氣體具有相同的形式（見(17)式）。由于費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，原子算符遵循反對(duì)易關(guān)系，同時(shí)原子之間的接觸相互作用被泡利不相容原理所禁戒，即Us=0。在熱力學(xué)極限下，光場(chǎng)的漲落可以忽略不計(jì)，我們采用平均場(chǎng)的方式處理腔光場(chǎng)〈〉=α。在紅失諧的驅(qū)動(dòng)光情形下，光場(chǎng)的漲落仍然會(huì)擴(kuò)大原子氣體的密度漲落，但是由于泡利不相容原理，使得原子氣體的超輻射相變受到氣體密度和維度的影響。理論研究發(fā)現(xiàn)[79]，腔光場(chǎng)的建立一方面會(huì)加深沿腔軸的晶格深度 ξc|α|2cos2(kRx)，另一方面會(huì)散射近共振的驅(qū)動(dòng)光（ωp≈ ωc）進(jìn)入光腔 ηp(α + α?)cos(kRx)，而沿驅(qū)動(dòng)光的晶格深度也會(huì)受驅(qū)動(dòng)光的影響。通過(guò)二階微擾論可得臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度

這里的參數(shù)定義與玻色氣體的情形保持一致。式中f是一個(gè)與統(tǒng)計(jì)特性、驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度、原子氣體密度和維度有關(guān)的量。

圖15.(a)一維、(b)三維、(c)二維單分量費(fèi)米氣體發(fā)生超輻射相變的臨界參數(shù)f隨填充數(shù)ν的變化。參數(shù)f和臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的關(guān)系如公式（42）所示。圖中 V0為驅(qū)動(dòng)光的強(qiáng)度，虛線代表同樣參數(shù)下玻色氣體的情況。(d)不同填充數(shù)下參數(shù)1/f隨V0的變化趨勢(shì)。圖中虛線和實(shí)線的交點(diǎn)代表相應(yīng)情況下的超輻射相變點(diǎn)。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[79]。

圖 16.上圖：一維單分量費(fèi)米氣體的相圖。主圖由藍(lán)色實(shí)線區(qū)分三個(gè)物相（溫度 kBT/Er=0.01）：費(fèi)米液體(Fermi Liquid，F(xiàn)L)、超輻射 Peierls絕緣體 (Superradiant Peierls Insulator，SPI)、超輻射電荷有序費(fèi)米液體 (Superradiant Charge Ordered Fermi Liquid，SCOFL)。黑色虛線代表溫度 kBT/Er=0。插圖代表超輻射相變?cè)谫M(fèi)米面附近從無(wú)能隙（虛線）變?yōu)橛心芟叮▽?shí)線）。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[80]。下圖：二維單分量費(fèi)米氣體的相圖。圖中(a)和(b)分別代表填充數(shù)nF=0.5和1.5的情況，藍(lán)色實(shí)線代表二階相變，紅色雙線代表一階相變，斜線區(qū)域代表不穩(wěn)定區(qū)域。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn) [81]。

圖 15展示了不同維度下f隨原子填充數(shù) ν（氣體密度）的變化關(guān)系[79]。對(duì)于玻色氣體而言，由于粒子可以占據(jù)同一個(gè)格點(diǎn)，因此其臨界強(qiáng)度不受氣體密度和維度的影響（圖中虛線）。但是對(duì)于費(fèi)米氣體而言，由于統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的影響，費(fèi)米子能夠獲得的相空間受到氣體密度和維度的強(qiáng)烈影響（實(shí)線）。在低密度時(shí)(ν→ 0)，費(fèi)米氣體比玻色氣體更容易發(fā)生超輻射相變。在高密度時(shí)，泡利不相容原理則會(huì)壓制超輻射相變[79-81]。特別地，當(dāng)費(fèi)米面和腔光場(chǎng)的波矢發(fā)生嵌套(nesting)時(shí)，超輻射相變被極大地增強(qiáng)。這一機(jī)制與固體中的Pierels相變類似。由于一維費(fèi)米氣體的費(fèi)米面是兩個(gè)離散點(diǎn)，當(dāng)填充數(shù)ν=0.5費(fèi)米面發(fā)生嵌套時(shí)，效果最為顯著，導(dǎo)致臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度→0，如圖15(a)和圖16（上）所示。此時(shí)，任意有限的腔光場(chǎng)都可以在費(fèi)米面打開能隙，使得原子氣體表現(xiàn)為絕緣體（圖16（上）的SPI區(qū)域）。當(dāng)填充數(shù)遠(yuǎn)離半滿時(shí)，有限的腔光場(chǎng)并不能在費(fèi)米面附近打開能隙，因而原子氣體表現(xiàn)為金屬（圖16（上）的SCOFL區(qū)域）。與玻色體系類似，超輻射相變既可以是連續(xù)相變也可以是一階相變（圖16）。在二維和三維體系中，由于費(fèi)米面不能完全匹配，嵌套效果雖然會(huì)增強(qiáng)超輻射，但臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度不能達(dá)到零，如圖15(b)和(c)所示。當(dāng)填充數(shù)占據(jù)到更高能帶時(shí)，費(fèi)米面的復(fù)雜結(jié)構(gòu)將會(huì)帶來(lái)更為豐富的現(xiàn)象。特別地，當(dāng)沿腔軸方向的晶格深度超過(guò)驅(qū)動(dòng)方向的晶格深度時(shí)，原子將趨向于更多地沿腔軸排列，從而增強(qiáng)超輻射。這時(shí)將發(fā)生一個(gè)腔光場(chǎng)較小到較大的一階相變，如圖16（下）圖所示。這兩個(gè)相通過(guò)不同的密度絕熱地聯(lián)系起來(lái)，類似于氣液相變。

有限大小的耗散或者溫度都會(huì)抑制腔光場(chǎng)的建立，但是上述諸多現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)仍然可以被探測(cè)，比如借助于時(shí)間飛行測(cè)量或者光腔的漏光光譜[80]。值得注意的是，費(fèi)米氣體雖然具有不同于玻色氣體的特性，但是在高密度極限下，費(fèi)米氣體的超輻射相變與玻色氣體的相變類似。在臨界點(diǎn)附近，仍然可以等價(jià)為 Dicke模型[82]。

B.兩分量簡(jiǎn)并費(fèi)米氣體

隨著自旋自由度的引入，光腔中兩分量費(fèi)米氣體會(huì)表現(xiàn)出更為豐富的物理。首先，由于不同分量原子之間的s波散射長(zhǎng)度可以通過(guò)Feshbach共振技術(shù)進(jìn)行調(diào)控，原子之間的相互作用可以從弱吸引相互作用經(jīng)過(guò)幺正區(qū)域連續(xù)調(diào)節(jié)到弱的排斥相互作用，使得體系發(fā)生BCS-BEC過(guò)渡。在BCS區(qū)域(as＜0)，低能激發(fā)服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)，其超輻射相變主要表現(xiàn)為費(fèi)米體系的特征，比如臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的密度依賴；在BEC區(qū)域(as＞0)，兩個(gè)不同分量的費(fèi)米子形成復(fù)合玻色子，低能激發(fā)服從玻色統(tǒng)計(jì)，其超輻射相變主要體現(xiàn)出玻色體系的特征，其臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度基本與密度無(wú)關(guān)。在幺正區(qū)域(1/kFas→±0)，低能激發(fā)則會(huì)同時(shí)表現(xiàn)出兩種統(tǒng)計(jì)特性。因此，在BCS-BEC過(guò)渡中，超輻射相變臨界驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度強(qiáng)烈地依賴于原子間相互作用和原子密度 [83]。

此外，在不同分量費(fèi)米子之間也可以實(shí)現(xiàn)人造規(guī)范勢(shì)和人造自旋-軌道耦合。具有自旋-軌道耦合的費(fèi)米系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生極為豐富的物理現(xiàn)象，比如自旋霍爾效應(yīng)[84]、拓?fù)浣^緣體[85]、Majorana費(fèi)米子[86]、Weyl半金屬[87]等。在勢(shì)阱和光晶格中的超冷費(fèi)米氣體中，目前已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了多種類型的自旋–軌道耦合[88-90]，在理論上對(duì)其中的配對(duì)物理和拓?fù)湫再|(zhì)也進(jìn)行了深入的研究[91,92]。在光學(xué)腔中，腔光場(chǎng)和自旋–軌道耦合的相互疊加使得原子氣體展現(xiàn)出了和自由空間不同的性質(zhì)和現(xiàn)象，如拓?fù)涑椛浜屯負(fù)涑鞯萚77]。同時(shí)，腔光場(chǎng)的耗散通道也使得人們可以非破壞地研究多體體系的動(dòng)力學(xué)行為和非平衡態(tài)相變。

圖 17.利用 FP腔在兩分量費(fèi)米氣體中實(shí)現(xiàn)人造自旋–軌道耦合的方案。本方案中垂直于腔軸方向加一束驅(qū)動(dòng)光ωA驅(qū)動(dòng)A模式，兩分量的超冷原子只能沿腔軸運(yùn)動(dòng)，同時(shí)沿腔軸方向加一束大失諧的線偏振光驅(qū)動(dòng)腔的另一支模B。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[93]。

考慮將處于量子簡(jiǎn)并溫度以下的費(fèi)米氣體（比如6Li）裝載到 FP腔中，沿垂直于腔軸方向驅(qū)動(dòng)原子（偏振方向沿腔軸），超輻射相變將使得光腔的一支振動(dòng)模式被激發(fā)（模式A）。同時(shí)，光腔的另一個(gè)模式(B)被大失諧的線偏振光驅(qū)動(dòng)，如圖17所示。為了使更多光子被散射到光腔中，縱向驅(qū)動(dòng)光和腔光場(chǎng)的A模近共振，且相對(duì)于原子的激發(fā)態(tài)是大的藍(lán)失諧。這時(shí)激發(fā)態(tài)的占據(jù)數(shù)很小，可以被絕熱消除。為了簡(jiǎn)單起見，假設(shè)垂直于腔軸的兩個(gè)方向都存在強(qiáng)的束縛勢(shì)，約束強(qiáng)度 ?ω⊥遠(yuǎn)大于原子氣體的費(fèi)米能EF。 這時(shí)，費(fèi)米氣體等效為沿腔軸方向的準(zhǔn)一維費(fèi)米氣體，其等效哈密頓量為[77]

當(dāng)沒有驅(qū)動(dòng)光時(shí)，磁場(chǎng)會(huì)把系統(tǒng)分為正常費(fèi)米氣體(mz＜mc)和完全極化費(fèi)米氣體 (mz＞mc)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)光足夠強(qiáng)時(shí)，通過(guò)拉曼過(guò)程原子將散射足夠多的光子進(jìn)入腔并與耗散過(guò)程達(dá)到平衡，這時(shí)發(fā)生超輻射相變?chǔ)?=0。更為重要的是，拉曼過(guò)程將引起不同能帶間的自旋翻轉(zhuǎn)過(guò)程，使得基于瓦尼爾(Wannier)表象的單帶近似不再適用。當(dāng)磁場(chǎng)較小時(shí)(mz＜mc)，驅(qū)動(dòng)光誘導(dǎo)的有限腔光場(chǎng)將在費(fèi)米面附近打開能隙的同時(shí)翻轉(zhuǎn)原子的自旋，系統(tǒng)進(jìn)入了一個(gè)拓?fù)涑椛鋺B(tài)。這個(gè)非平庸拓?fù)鋺B(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)可以由第一布里淵區(qū)內(nèi)自旋結(jié)構(gòu)的非零環(huán)繞(Winding)數(shù)刻畫（如圖18所示），同時(shí)會(huì)伴隨一對(duì)零模邊緣態(tài)(edge state)的產(chǎn)生。當(dāng)磁場(chǎng)大于臨界磁場(chǎng)時(shí)(mz＞mc)，計(jì)算表明存在兩種不同的超輻射相：一種是拓?fù)淦接钩椛湎?，而另一種相與弱磁場(chǎng)極限的拓?fù)浞瞧接瓜嘁恢?。這里的拓?fù)浞瞧接箲B(tài)來(lái)源于特殊的拉曼構(gòu)形：腔光場(chǎng)所形成的拉曼光晶格的周期是背景晶格周期的兩倍，它們?cè)诓ü?jié)處相交，因而使得拉曼場(chǎng)耦合同格點(diǎn)上的s和p能帶，同時(shí)帶間的耦合強(qiáng)度反比于能級(jí)差，所以不同分量對(duì)應(yīng)的耦合強(qiáng)度不同。這種特性使得系統(tǒng)的能隙隨著驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)度ηA（或者腔光場(chǎng)α）的增強(qiáng)經(jīng)歷了先閉合再逐漸打開的過(guò)程。通過(guò)對(duì)角化哈密頓量（43）式，可以得到在mz–ηA平面的相圖，如圖19所示。

圖 18.第一布里淵區(qū)內(nèi)拓?fù)涑椛湎?(a)和普通超輻射相(b)中典型的自旋分布。其中紅色實(shí)線代表自旋沿z軸分量，黑色虛線代表自旋沿y軸分量。插圖顯示了動(dòng)量空間中自旋的結(jié)構(gòu)。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[77]。

圖19.具有腔誘導(dǎo)自旋–軌道耦合的無(wú)相互作用一維費(fèi)米氣體的相圖。當(dāng)?shù)刃Т艌?chǎng)mz＜mc時(shí)，系統(tǒng)隨驅(qū)動(dòng)光強(qiáng)度ηA的增加，從正常金屬相(M)進(jìn)入拓?fù)浞瞧接钩椛湎?TSR)。當(dāng)mz＞mc時(shí)，系統(tǒng)在弱驅(qū)動(dòng)時(shí)為極化的絕緣體(I)，經(jīng)過(guò)超輻射相變后進(jìn)入拓?fù)淦接沟某椛湎?SR)，隨著驅(qū)動(dòng)進(jìn)一步增強(qiáng)變?yōu)榉瞧接沟某椛湎?TSR)。圖中黑色虛線、綠色點(diǎn)線和藍(lán)色點(diǎn)劃線代表二級(jí)相變，紅色實(shí)線代表一級(jí)相變。在臨界磁場(chǎng)mc處存在一個(gè)四相點(diǎn)。插圖顯示了沿不同軌跡（黃色箭頭）跨越相變線時(shí)，能帶結(jié)構(gòu)的變化。其中藍(lán)色實(shí)線為箭頭起點(diǎn)的情形，粉色點(diǎn)線為相變點(diǎn)的情形，灰色虛線為箭頭終點(diǎn)的情形。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn)[77]。

由于腔光場(chǎng)會(huì)不斷通過(guò)腔耗散，一方面，系統(tǒng)最終達(dá)到的狀態(tài)并非熱力學(xué)平衡態(tài)而是動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)；另一方面，系統(tǒng)的持續(xù)耗散過(guò)程也為觀察原子系綜提供了一個(gè)很好的通道。在半滿填充時(shí)，費(fèi)米面的波矢滿足2kF=k0，因而費(fèi)米面嵌套效應(yīng)將顯著增強(qiáng)超輻射相變，導(dǎo)致在熱力學(xué)極限下任意有限的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度都可以引發(fā)超輻射相變（圖19中的有限驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度歸因于有限尺寸效應(yīng)），同時(shí)在腔光場(chǎng)中留下了特征。例如，腔內(nèi)光子數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) ?|α|2/?ηA會(huì)在能隙閉合時(shí)表現(xiàn)出一個(gè)峰狀結(jié)構(gòu)。結(jié)合自旋選擇的時(shí)間飛行測(cè)量，在實(shí)驗(yàn)上將有可能測(cè)量并區(qū)分這兩種超輻射相。

接下來(lái)，我們考慮原子之間的相互作用的影響。這部分哈密頓量的形式如下[93]

這里g1D是不同組分之間的有效相互作用強(qiáng)度，可以通過(guò)Feshbach共振調(diào)節(jié)s波散射長(zhǎng)度as或者通過(guò)約束誘導(dǎo)共振調(diào)節(jié)橫向束縛勢(shì)頻率ω⊥（或束縛勢(shì)特征長(zhǎng)度來(lái)達(dá)到改變g1D的目的

式中C=1.4603。當(dāng)g1D＞0時(shí)，原子之間的有效相互作用將是吸引相互作用，相反動(dòng)量和自旋的原子將由于BCS不穩(wěn)定性形成弱束縛的庫(kù)伯對(duì)(Cooper pair)，同時(shí)費(fèi)米面將失穩(wěn)并打開一個(gè)能隙，體系進(jìn)入超流態(tài)。腔光場(chǎng)輔助的自旋–軌道耦合效應(yīng)會(huì)使費(fèi)米面發(fā)生自旋混合，配對(duì)態(tài)的性質(zhì)也會(huì)發(fā)生改變。平均場(chǎng)理論研究表明[93]，雖然在較大參數(shù)范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)了超流態(tài)和超輻射共存的區(qū)域，但是大多數(shù)時(shí)候并不是原子氣體的基態(tài)（圖20）。對(duì)于費(fèi)米超流與費(fèi)米超輻射兩種不同序的共存以及其中的拓?fù)湫再|(zhì)有待進(jìn)一步研究。

圖20.具有腔誘導(dǎo)自旋-軌道耦合的一維費(fèi)米氣體在有相互作用時(shí)的零溫相圖。相互作用強(qiáng)度從左至右依次為0.25,0.28,0.8，其余參數(shù)與圖19一致。隨著相互作用強(qiáng)度的增強(qiáng)，超流(SF)的區(qū)域變大，正常態(tài)（N，包括完全極化(FP)和部分極化(PP)）的區(qū)域變小。圖中實(shí)線表示一階相變，虛線表示二階相變，點(diǎn)線表示拓?fù)湎嘧?。該圖來(lái)自參考文獻(xiàn) [93]。

VI.總結(jié)

本文簡(jiǎn)要綜述了光腔–原子耦合系統(tǒng)中的超輻射相變，并針對(duì)超冷玻色氣體和費(fèi)米氣體分別介紹了近年來(lái)的一些理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)展。從前面的敘述可以看出，原子通過(guò)散射驅(qū)動(dòng)光進(jìn)入光腔，可以在腔內(nèi)誘導(dǎo)出超輻射相變，腔內(nèi)光場(chǎng)模式出現(xiàn)宏觀占據(jù)，同時(shí)伴隨著原子在空間的分布出現(xiàn)對(duì)稱性破缺。發(fā)生超輻射相變之后，原子在腔光場(chǎng)形成的駐波場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，反過(guò)來(lái)腔光場(chǎng)又受到原子的作用和反饋，二者相互耦合，在長(zhǎng)時(shí)間極限下共同達(dá)到穩(wěn)態(tài)。和自由空間中外加的光晶格相比，超輻射相變后腔光場(chǎng)的主要區(qū)別有以下兩點(diǎn)。第一，腔光場(chǎng)通過(guò)耗散和環(huán)境發(fā)生耦合，因此體系達(dá)到的是動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)，而非熱力學(xué)平衡態(tài)；第二，腔光場(chǎng)和原子發(fā)生相干耦合，因此會(huì)在不同的原子間誘導(dǎo)出等效的長(zhǎng)程相互作用。這些特點(diǎn)不僅會(huì)導(dǎo)致該體系的物質(zhì)相和物質(zhì)相變具有和傳統(tǒng)光晶格系統(tǒng)不同的行為，還為探索非平衡物理、發(fā)展非破壞實(shí)時(shí)測(cè)量技術(shù)、尋找多體新奇物態(tài)等研究提供了豐富的思路。

致 謝

作者感謝國(guó)家自然科學(xué)基金委（11274009、11434011、11522436）、科技部（2013CB922000）以及中國(guó)人民大學(xué)科研基金（10XNL016、16XNLQ03）的大力支持。由于時(shí)間和作者水平所限，疏漏之處在所難免，敬請(qǐng)讀者見諒。

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The hybrid system of optical cavity and ultracold atomic gas has caught great attention in recent years.This review article focuses on the up-to-date progresses in both theory and experiment worldwide,especially on the superradiant transition and some interesting quantum phases in Bose or Fermiatomic ensembles.It is shown that the hybrid system is highly valuable in the exploration of many interesting physics including non-equilibrium states,quantum simulation of many-body systems,and synthetical gauge field and spin-orbit coupling.

Ultracold atomic gases in optical cavities

Yu Dong-Yang1,Ji Qing1,Zhang Xiang1,2,Zhang Wei1,2

1.Department of Physics,Renmin University of China,Beijing 100872,People’s Republic of China
2.Beijing Key Laboratory of Opto-electronic Functional Materials and Micro-nano Devices,Renmin University of China,Beijing 100872,People’s Republic of China

Cavity-QED,Ultracold atomic gases,Superradiant transition,Non-equilibrium state

date:2017-05-02

O469

A

10.13725/j.cnki.pip.2017.04.001

1000-0542(2017)04-0125-23平庸拓?fù)湮飸B(tài)等問(wèn)題提供新的可能。從應(yīng)用角度，光腔–原子耦合體系兼顧了光學(xué)系統(tǒng)中豐富的測(cè)量操控手段和原子系統(tǒng)擴(kuò)展方便、耦合強(qiáng)度大、退相干時(shí)間長(zhǎng)等優(yōu)勢(shì)，有可能用來(lái)實(shí)現(xiàn)量子存儲(chǔ)、量子中繼等重要技術(shù)應(yīng)用。

E-mail:*siang.zhang@ruc.edu.cn；?wzhangl@ruc.edu.cn