嵌套環(huán)式MEMS振動陀螺的靜電修調(diào)算法*

于得川， 何漢輝， 周 鑫， 肖定邦， 吳學忠

(國防科技大學 機電工程與自動化學院，湖南 長沙 410073)

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計算與測試

嵌套環(huán)式MEMS振動陀螺的靜電修調(diào)算法*

于得川， 何漢輝， 周 鑫， 肖定邦， 吳學忠

(國防科技大學 機電工程與自動化學院，湖南 長沙 410073)

對于工作在n=2模態(tài)諧振結(jié)構(gòu)，靜電修調(diào)是一種消除頻率裂解、實現(xiàn)模態(tài)匹配的常用方法?；诃h(huán)形諧振子的剛度擾動模型，提出了一種直觀而實用的修調(diào)算法。通過巧妙地近似，并將嵌套環(huán)結(jié)構(gòu)的內(nèi)置修調(diào)電極等效為兩簇簇帶負剛度的“徑向彈簧”，從而將單環(huán)諧振結(jié)構(gòu)的理論模型成功應用于多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)。最后通過靜電修調(diào)實驗對該算法進行了驗證，實現(xiàn)了帶誤差諧振子的模態(tài)匹配。實驗結(jié)果表明：通過該算法頻率裂解從15 Hz左右被修到0.03 Hz左右。

嵌套環(huán)式微機電系統(tǒng)振動陀螺； 頻率裂解； 頻率修調(diào)； 模態(tài)匹配

0 引 言

嵌套環(huán)式微機電系統(tǒng)(MEMS)振動陀螺是新型高性能微機電陀螺之一，它由環(huán)形諧振陀螺發(fā)展而來，由多個半徑遞增的同心圓環(huán)嵌套而成，環(huán)與環(huán)之間排布了大量電極[3]。對于工作在n=2模態(tài)的諧振結(jié)構(gòu)，當諧振子的質(zhì)量、密度、剛度等參數(shù)分布不均勻，諧振子的二階振型將出現(xiàn)2個相互間成45°的固有振型軸，沿這2個振型軸的二階彎曲振型對應的固有頻率分別達到極大值和極小值，2個固有頻率差稱作頻率裂解。頻率裂解將嚴重影響陀螺性能，應進行必要的頻率修調(diào)以減小或消除頻率裂解。

通常采用添加[2]或去除質(zhì)量[3～5]以及靜電調(diào)剛度[6，7]的方法來進行頻率修調(diào)。質(zhì)量修調(diào)需要采用復雜的工藝技術(shù)，只能在陀螺封裝之前進行修調(diào)，并且去質(zhì)量修調(diào)會破壞諧振結(jié)構(gòu)。目前，應用最普遍的修調(diào)方法是靜電調(diào)剛度的方法，該方法簡單有效，只需建立簡單的電路模型，在指定電極施加一定電壓即可實現(xiàn)修調(diào)。然而，目前大多數(shù)的相關(guān)研究報道都集中在環(huán)形諧振結(jié)構(gòu)的質(zhì)量修調(diào)算法[2～5]，對于多環(huán)結(jié)構(gòu)的靜電修調(diào)算法的研究還比較欠缺。

本文針對多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)，基于環(huán)形諧振子的剛度擾動模型[8]，通過巧妙的近似以及等效處理，推導出一套直觀且實用的靜電修調(diào)算法，詳細闡述了如何充分利用這些排布在環(huán)與環(huán)之間的電極進行修調(diào)，并在實驗中得以驗證。

1 環(huán)形諧振子剛度擾動模型

對于工作在n=2模態(tài)的理想無誤差環(huán)形諧振子而言，假設其諧振頻率為ω0。如圖1所示，在諧振環(huán)上添加N個沿徑向方向的彈簧，每個彈簧剛度為Kj，周向位置為φj，j=1,2,…,N。剛度分布不均勻?qū)е铝讼嗖?5°的2個振型，高頻軸角度位置為ψ1，低頻軸角度位置為ψ2，且[1]

ψ1=ψ2-π/4

(1)

(2)

圖1 加徑向彈簧的環(huán)形諧振子

較高的頻率值ω1與較低的頻率值ω2分別為[1]

(3)

式中 α為徑向振幅與切向振幅的比值，S0為諧振子在n=2模態(tài)的彈性勢能。對于一般MEMS技術(shù)制造的諧振子，修調(diào)前的固有頻率與修調(diào)后的固有頻率相差小于0.3 %，因此，這里可近似認為ω0=ω1=ω2，則式(3)經(jīng)過簡單的轉(zhuǎn)化可得

(4)

(5)

則式(4)可以化為

ω1-ω2=σccos4ψ1+σssin4ψ1

(6)

式中 σc，σs命名為“裂解系數(shù)”，表示帶誤差諧振子頻率裂解的嚴重程度，由式(2)可知

tan4ψ1=σs/σc

(7)

綜合式(5)～式(7)可得

(8)

即裂解系數(shù)可以通過測量頻率裂解和振型角度估算得到，實際上裂解系數(shù)由式(9)定義。

令Δ=ω1-ω2，根據(jù)式(5)～式(8)，頻率裂解與剛度分布的關(guān)系可簡化為復數(shù)形式

(9)

以上分析了理想無誤差環(huán)形諧振子加徑向彈簧后的頻率裂解情況，而更關(guān)心的是與之相反的情況，即帶誤差諧振子需要在何處添加多大剛度的彈簧,可將頻率裂解消除。現(xiàn)考慮一帶誤差環(huán)形諧振子，其裂解因子(σc，σs) 可由式(8)定義。在該諧振子上添加N個徑向彈簧進行修調(diào)，那么根據(jù)式(2)、式(4)和式(8)，修調(diào)后的裂解系數(shù)可表示為

(10)

以上推導了環(huán)形諧振子的剛度修調(diào)模型，可將其擴展到如圖2所示的多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)。

圖2 嵌套環(huán)陀螺模型 (省略了環(huán)與環(huán)間的內(nèi)置電極)

2 嵌套環(huán)諧振子靜電修調(diào)模型

對于多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)，可以證明，添加在不同環(huán)上的徑向彈簧引起的頻率裂解仍符合向量疊加的關(guān)系[2]，但不同環(huán)的敏感系數(shù)會有所不同。那么，無誤差嵌套環(huán)諧振子添加徑向彈簧的模型可表示為

(11)

式中 R為嵌套環(huán)的總數(shù)；λr為第r環(huán)的敏感系數(shù)；Nr為第r環(huán)上彈簧數(shù)目。

實際修調(diào)中，是通過在電極上加電壓來達到改變結(jié)構(gòu)剛度的目的。這里需要對電極向徑向彈簧進行等效處理，從而能夠套用以上理論模型。等效模型如圖3(左圖)所示，每個修調(diào)電極被均分為若干個小的電極單元，而每個電極單元的內(nèi)外兩側(cè)與其正對諧振結(jié)構(gòu)部分均可近似為如圖3(中間圖)平行板電容。當諧振子工作在n=2模態(tài)，并在電極上加電壓V，小電極單元外側(cè)與諧振子重合部分所受的合外力可表示為

(12)

式中 k0為未加電壓時的諧振子與電極重合部分的等效剛度；x為電極與諧振結(jié)構(gòu)的間隙；x0為加電壓后平衡狀態(tài)下(未振動)諧振子的位移；Δx諧振子與電極單元重合部分的振動位移；Sout為電極單元與諧振子的重合面積；ε為真空介電常數(shù)。加電壓后諧振子與電極單元重合部分的等效徑向剛度，可通過對式(12)中的Δx求偏微分獲得

(13)

表明，加電壓后，電極單元外側(cè)所對諧振子位置的徑向剛度減小了SoutεV2/(x-Δx)3。同理可證，與此同時電極單元內(nèi)側(cè)所對諧振子位置的徑向剛度減小了SinεV2/(x-Δx)3。因此，加電壓后，小電極單元可看成是2個加在與電極相鄰的2個環(huán)上的徑向彈簧，整個電極可等效為2排徑向彈簧，如圖3 (右圖)所示。內(nèi)側(cè)和外側(cè)等效彈簧的剛度可分別表示為

(14)

式中 t為電極編號，由于Δx?x，因此，忽略了Δx項。則等效彈簧徑向剛度與電壓平方成正比。假設每個電極被分成Ne個電極單元，那么根據(jù)式(11)，對于理想無誤差諧振子，一個加了電壓V的電極可引起的頻率裂解為

在臨床醫(yī)學中，冠心病主要是指因為患者不正常脂質(zhì)代謝，在光滑動脈內(nèi)膜上形成堆積，時間變成體積變大，從而形成白色斑塊，稱其為動脈硬化，而斑塊的大量堆積會造成患者動脈腔逐漸狹窄，導致血液不暢，引發(fā)心絞痛，對患者日常生活產(chǎn)生了嚴重影響[1]。現(xiàn)階段人們生活習慣與飲食結(jié)構(gòu)發(fā)生極大轉(zhuǎn)變，脂肪攝入主要增多，增加了血液粘稠度，從而很容易誘發(fā)早發(fā)冠心病[2]。本研究中全面分析了誘發(fā)早期冠心病的危險因素，并應用Cox回歸模型分析探討危險因素與患者預后的相關(guān)性?，F(xiàn)報道如下。

(15)

Ne(整個電極被分成的電極單元個數(shù))是一個有限值，因此，每個電極單元的側(cè)面實際上仍為圓弧曲面，本文實際將這些小曲面近似看為平面后才得出式(15)。如果準確計算，可令Ne趨于無窮大，則(15)可化為

(16)

式中 φt為電極t的中心角度位置;Rout和Rin為電極兩側(cè)的半徑；h為諧振環(huán)的高度；θ為電極所對圓心角；γt為一個與諧振子結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的系數(shù)，可通過實驗測得，并且與電極所處的徑向位置相關(guān)，對于處于相同半徑的電極，該系數(shù)是相同的。那么，與式(16)相應的裂解系數(shù)可表示為

(17)

圖3 內(nèi)置修調(diào)電極等效模型

現(xiàn)考慮一帶誤差諧振子，在T個電極上加電壓進行修調(diào)，那么綜合式(9)與式(17)可得修調(diào)后的裂解因子為

(18)

(19)

3 靜電修調(diào)實驗

本文用于修調(diào)實驗的嵌套環(huán)陀螺如圖4所示，諧振結(jié)構(gòu)由9個環(huán)嵌套而成外側(cè)均布了16個電極S1～S4組用于本實驗的驅(qū)動和檢測。諧振結(jié)構(gòu)最外環(huán)半徑為4mm，諧振環(huán)高度為150μm，為了方便引線，內(nèi)置電極與外側(cè)檢測電極上均鍍了一層鋁。實驗利用了最外2層的16個電極進行修調(diào)，修調(diào)電極與電源電壓連接，如圖4所示，則式(19)中，T=16。注意到電極的中心角度的位置滿足

φt=(t-1)π/8,t=1,2,…,16

(20)

圖4 本實驗所用陀螺顯微圖以及驅(qū)動檢測電極S1～S4,修調(diào)電極1～16和修調(diào)電路

由于電極位置的特殊性，并且同一半徑位置的電極具有相同的系數(shù)γt，即

γ1=γ3=…=γ15,γ2=γ4=…=γ16

(21)

為保證修調(diào)剛度均勻分布，實驗的修調(diào)電壓也對稱施加如圖5所示，那么修調(diào)方程可進一步簡化為

(22)

令式(22)中左邊修調(diào)后裂解因子為0，即可求解修調(diào)電壓。一般地

(23)

修調(diào)過程首先需要測定頻率裂解大小和高頻軸方向，進而根據(jù)式(10)可求得裂解系數(shù)的大小。然而振動軸方向的測定過程比較復雜，而且由于嵌套環(huán)陀螺的振型不是標準的橢圓，測定的誤差也比較大。因此，本實驗只判斷了高頻軸的范圍以及2個頻率大小，根據(jù)本算法仍然實現(xiàn)了修調(diào)。具體過程如下：

1)利用掃頻儀進行模態(tài)測試，本實驗驅(qū)動與檢測均在相同的4個對稱電極上，如圖4所示。S1組和S3組電極的頻率響應曲線如圖5所示，該諧振子的初始頻率裂解大小為15.53Hz，并且通過該圖可以斷定，高頻軸在S3電極附近，即S2與S4之間。進一步測試S2組和S4組電極的頻率響應曲線，最終可確定高頻軸在S2～S3之間，即高頻軸在22.5°～45°之間。因此可以確定裂解系數(shù)σc<0,σs>0，根據(jù)式(23)可知，需要加電壓VⅢ和VⅡ進行修調(diào)。

圖5 S1和S3組電極頻率響應曲線

(24)

(25)

圖6 頻率裂解隨電壓VⅡ變化曲線

3)保持電壓VⅡ=19.80 V，可進行裂解系數(shù)σc的修調(diào)。由于σc<0，需要加修調(diào)電壓VⅢ進行修調(diào)。此時，根據(jù)式(22)和式(25)可知

(26)

接下來加電壓VⅢ，從5 V增大到30 V(間隔5 V)，并測試頻率裂解的變化，最終結(jié)果如圖7中數(shù)據(jù)點所示。同樣，曲線為實驗數(shù)據(jù)向理論式(26)的擬合曲線。根據(jù)擬合曲線2得出敏感系數(shù)γ1的初始估計值為0.003 77 Hz/V2，將γ1的值以及|σc|=14.50 代入式(23)中對應的公式，可算得所需的修調(diào)電壓VⅢ為31.01 V，將VⅢ調(diào)到這個電壓值后，測得最終頻率裂解如圖8所示，約為0.03 Hz。

圖7 頻率裂解隨電壓VⅢ的變化曲線

圖8 最終修調(diào)后S1和S3頻率響應曲線

4 結(jié)束語

本算法將環(huán)形諧振子的修調(diào)模型應用到多環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)，推導出了直觀且實用的修調(diào)方程。實驗中的兩條擬合曲線與實驗數(shù)據(jù)非常吻合，并且最終的修調(diào)結(jié)果也很理想，從而算法的可靠性得到驗證。而本算法的應用范圍不應局限于嵌套環(huán)陀螺或者環(huán)形陀螺，簡單的仿真結(jié)果表明，該算法對半球形以及杯形等對稱型陀螺也同樣適用。

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Algorithm for electrostatic tuning of disk resonator MEMS vibration gyroscope*

YU De-chuan, HE Han-hui, ZHOU Xin, XIAO Ding-bang, WU Xue-zhong

(College of Mechatronics Engineering and Automation,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

For the resonator operating atn=2 modes,electrostatic tuning is a commonly used method to reduce the permanent frequency mismatch.On the basis of the stiffness perturbation model for a ring,an intuitive and utility algorithm is introduced.In this algorithm,each tuning electrode is regarded as two rows of radial springs with negative stiffness,so that the theoretical model of ring resonator is successfully applied in the disk resonator gyroscope.Finally,the algorithm is verified by electrostatic tuning experiment,and matching of the two modes is realized.Results of experiments show that,the frequency split of resonators is decreased to about 0.03 Hz from original about 15 Hz.

disk MEMS resonator gyroscope; frequency split; frequency tuning; matching of modes

10.13873/J.1000—9787(2017)07—0134—04

2016—09—07

國家自然科學基金資助項目(51335011,51575521)

U 666.1

A

1000—9787(2017)07—0134—04

于得川(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向為嵌套環(huán)式MEMS振動陀螺的加工工藝與頻率修調(diào)技術(shù)。