帳篷混沌序列稀疏測(cè)量矩陣構(gòu)造*

胡行華， 史明潔

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

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帳篷混沌序列稀疏測(cè)量矩陣構(gòu)造*

胡行華， 史明潔

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

測(cè)量矩陣的構(gòu)造是壓縮感知(CS)中重要的研究?jī)?nèi)容之一。利用混沌系統(tǒng)偽隨機(jī)性、遍歷性的特點(diǎn)，提出了一種基于帳篷混沌序列構(gòu)造確定性稀疏隨機(jī)矩陣的方法。對(duì)混沌系統(tǒng)生成的確定性序列進(jìn)行了間隔采樣，采樣后的序列滿足統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性，然后通過符號(hào)函數(shù)映射，生成了具有稀疏性質(zhì)的偽隨機(jī)序列，進(jìn)而構(gòu)造出混沌稀疏測(cè)量矩陣。仿真實(shí)驗(yàn)表明：該方法構(gòu)造出的混沌稀疏測(cè)量矩陣與高斯隨機(jī)矩陣、稀疏隨機(jī)矩陣及Bernoulli隨機(jī)矩陣相比，具有類似的重構(gòu)性能。混沌系統(tǒng)參數(shù)與初值固定時(shí)，構(gòu)造的混沌稀疏測(cè)量矩陣是確定的，計(jì)算復(fù)雜度小且硬件上容易實(shí)現(xiàn)。

壓縮感知； 混沌系統(tǒng)； 測(cè)量矩陣； 稀疏矩陣

0 引 言

傳統(tǒng)信號(hào)采樣理論中，信號(hào)的采樣速率必須達(dá)到信號(hào)最高頻率的2倍或2倍以上才能夠精確重構(gòu)原始信號(hào)。近年來，Candes E，Donoho D和 Tao T提出了一種新的信號(hào)采樣理論—壓縮感知(compressed sensing，CS)[1,2]。CS理論突破了奈奎斯特采樣定理對(duì)采樣頻率的限制，使數(shù)據(jù)的壓縮與采樣同時(shí)進(jìn)行，為高速數(shù)據(jù)的采集、存儲(chǔ)、傳輸和處理等帶來極大便利，具有良好的應(yīng)用前景。目前，CS理論應(yīng)用的熱點(diǎn)領(lǐng)域有圖像處理[3]、語音信號(hào)處理[4]和無線傳感器網(wǎng)絡(luò)[5,6]等。

CS理論主要包括信號(hào)的稀疏表示、測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)以及信號(hào)重構(gòu)三方面內(nèi)容。其中，測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)在信號(hào)采集和重構(gòu)環(huán)節(jié)起到至關(guān)重要的作用。CS的測(cè)量矩陣可分為稠密矩陣和稀疏矩陣。目前，稠密矩陣在理論上有很好的特性，但這類矩陣密度高、存儲(chǔ)空間大、計(jì)算復(fù)雜度高且不易硬件實(shí)現(xiàn)，如高斯隨機(jī)矩陣等。因此,在大多數(shù)應(yīng)用中，更希望測(cè)量矩陣是稀疏的。張波等人[7]證明了當(dāng)測(cè)量值個(gè)數(shù)滿足特定條件時(shí)，稀疏隨機(jī)矩陣以接近于1的概率滿足有限等距性質(zhì)。孫晶明等人對(duì)稀疏隨機(jī)矩陣的觀測(cè)次數(shù)下界進(jìn)行研究，推導(dǎo)了觀測(cè)次數(shù)應(yīng)滿足的下界條件[8]，提出了CS塊稀疏循環(huán)矩陣，但所提的矩陣元素為高斯隨機(jī)變量，限制其硬件友好性。Berinde R等人[9]采用二值稀疏隨機(jī)矩陣作為觀測(cè)矩陣，并在通用的重建算法下與高斯隨機(jī)矩陣的重建性能相當(dāng)。Li Shuxing等人[10]提出了利用有限幾何構(gòu)造了確定性稀疏測(cè)量矩陣的方法，但是該方法不能構(gòu)造大小任意的確定性測(cè)量矩陣，具有一定的局限性。

本文將帳篷混沌系統(tǒng)所生成的混沌序列用于構(gòu)造CS中確定性稀疏測(cè)量矩陣。構(gòu)造的混沌稀疏測(cè)量矩陣克服了隨機(jī)測(cè)量矩陣的不確定性及硬件上難以實(shí)現(xiàn)的缺陷?；煦缦∈铚y(cè)量矩陣只需要存儲(chǔ)和傳輸少量混沌系統(tǒng)參數(shù)，并對(duì)信號(hào)重構(gòu)時(shí)不需要大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，減少了存儲(chǔ)空間，節(jié)約了資源。

1 CS理論

對(duì)離散信號(hào)x∈RN，如果x本身是可壓縮的或在一組N×N維正交基Ψ上展開為

(1)

式中x和α均為N×1維向量。當(dāng)系數(shù)向量α中至多有k(k?N)個(gè)非零值或k個(gè)比較重要的參數(shù)時(shí)，x被稱為k稀疏信號(hào)。實(shí)際中，信號(hào)往往不是稀疏的，需要經(jīng)過式(1)的變換，此變換稱為信號(hào)的稀疏表示。常用的稀疏基有小波基、正余弦基及Curvelet基等。

將信號(hào)x投影到一組矩陣Φ∈RM×N(其中M?N)上，得到關(guān)于信號(hào)x的觀測(cè)值y(y∈RM)，即

y=Φx=ΦΨα=Θα

(2)

式中Φ為測(cè)量矩陣；Ψ為稀疏基；Θ=ΦΨ為傳感矩陣。

為了保證準(zhǔn)確重構(gòu)出信號(hào)x，傳感矩陣Θ必須滿足約束等距性質(zhì)[1](restricted isometry property,RIP)

(3)

式中 δk被稱為約束等距常數(shù)。依據(jù)式(3)判斷傳感矩陣Θ是否滿足RIP條件比較困難，因此，Baraniuk提出其等價(jià)條件，即觀測(cè)矩陣Φ和正交稀疏基Ψ不相關(guān)條件。常用的觀測(cè)矩陣有高斯隨機(jī)矩陣、貝努利隨機(jī)矩陣、稀疏隨機(jī)矩陣、托普利茲和循環(huán)矩陣等。

在滿足以上條件下，通過式(2)，可以利用少量的測(cè)量值y通過優(yōu)化算法計(jì)算出信號(hào)x的稀疏表示α，最后通過逆變換恢復(fù)信號(hào)x。具體優(yōu)化算法可以利用l0范數(shù)優(yōu)化方法求解α的精確解或者一個(gè)逼近，即

(4)

由于式(4)的優(yōu)化問題是NP-Hard問題，所以，在一定條件下可用l1范數(shù)代替l0范數(shù)求解，即

(5)

針對(duì)信號(hào)α的重構(gòu)，CS理論中已經(jīng)有一系列近似求最優(yōu)解的重建算法，主要可以分為以下三大類:第一類是基于l0范數(shù)最小化的貪婪迭代匹配追蹤系列算法;第二類是基于l1范數(shù)最小化的松弛算法；第三類是以貝葉斯統(tǒng)計(jì)為代表的非凸優(yōu)化算法。

2 混沌稀疏測(cè)量矩陣的構(gòu)造

2.1 一維混沌系統(tǒng)

混沌是非線性系統(tǒng)所獨(dú)有且廣泛存在的一種非周期運(yùn)動(dòng)形式，由于混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的序列具有確定性和隨機(jī)性的統(tǒng)一、有界性以及遍歷性等良好的偽隨機(jī)性質(zhì)，所以，在非線性控制、信號(hào)處理、保密通信等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[11，12]。

帳篷映射是一種應(yīng)用相當(dāng)廣泛的離散混沌系統(tǒng)，其映射方程的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

xn+1=α-(1+α)|xn|,n=1,2,…

(6)

式中 α∈(0,1)，本文令α=0.999，迭代初值x0=0.01。與其他同類型混沌映射相比，如Logistic映射、立方映射和無限折疊映射，從熵性質(zhì)可得出帳篷映射比其他三種混沌映射穩(wěn)定性都要好，同時(shí)，從仿真圖也可看出，其遍歷的均勻性是不一樣的，以帳篷映射最好，見圖1。

圖1 不同類型混沌序列分布

其中，橫坐標(biāo)表示范圍(均分區(qū)間)，縱坐標(biāo)表示次數(shù)(n=10 000)。如Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列落在 0 %～10 %,即[0,0.1]內(nèi)的點(diǎn)有2 000余個(gè)，以此類推。

2.2 混沌稀疏測(cè)量矩陣構(gòu)造算法

本文利用帳篷映射生成的確定性的混沌序列構(gòu)造混沌稀疏測(cè)量矩陣，具體步驟如下：

1)通過帳篷映射產(chǎn)生一個(gè)M×N×d的確定性的混沌序列為

{an|n=0,1,…,M×N×d,an∈(-1，1)}

式中d為采樣間隔，取d=15。

2)對(duì)序列an進(jìn)行間隔采樣，生成新的序列

{bn|bn=an×d,n=0,1,…,M×N-1}

采樣后的序列bn中元素是近似相互獨(dú)立的并且滿足同分布[13]。

3)結(jié)合稀疏隨機(jī)矩陣性質(zhì)，取稀疏率為0.2，生成序列元素均為正數(shù)，將序列bn經(jīng)過式(7)符號(hào)函數(shù)映射成序列xn，即

(7)

4)按行的方式將xn轉(zhuǎn)換生成一個(gè)大小為M×N的觀測(cè)矩陣Φ，如式(8)，并經(jīng)過一個(gè)變換L對(duì)Φ進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化

(8)

如此，測(cè)量矩陣構(gòu)造完成，測(cè)量值y可通過式(2)獲得。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證本文關(guān)于混沌稀疏測(cè)量矩陣構(gòu)造算法的可行性及混沌稀疏測(cè)量矩陣的有效性，實(shí)驗(yàn)分別采用高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣、Bernoulli隨機(jī)測(cè)量矩陣、稀疏隨機(jī)矩陣及構(gòu)造的混沌稀疏測(cè)量矩陣進(jìn)行仿真，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比和分析。

3.1 一維信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

本文為減小實(shí)驗(yàn)難度，減少因素干擾，選取長(zhǎng)度N=256的絕對(duì)稀疏0～1隨機(jī)信號(hào)，利用子空間追蹤算法(subspace pursuit，SP)對(duì)隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)假設(shè)信號(hào)重構(gòu)殘差‖x-xrec‖2小于0.001時(shí)信號(hào)重構(gòu)成功，其中,x為原始信號(hào)，xrec為重構(gòu)信號(hào)。

CS理論中，信號(hào)的稀疏度和測(cè)量次數(shù)都會(huì)影響信號(hào)重構(gòu)效果。因此，實(shí)驗(yàn)首先假定測(cè)量次數(shù)固定，分析僅改變隨機(jī)信號(hào)的稀疏度時(shí)對(duì)信號(hào)重構(gòu)成功概率的影響；然后假定隨機(jī)信號(hào)稀疏度固定，分析僅改變測(cè)量次數(shù)時(shí)對(duì)信號(hào)重構(gòu)成功概率的影響。除本文構(gòu)造的混沌稀疏測(cè)量矩陣外，為減小實(shí)驗(yàn)中隨機(jī)測(cè)量矩陣的不確定性影響，其余測(cè)量矩陣均進(jìn)行200次獨(dú)立模擬實(shí)驗(yàn)取平均值，結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 N=256，M=128時(shí)，不同測(cè)量矩陣重構(gòu)效果隨稀疏度K變化

圖3 N=256，K=30時(shí)，不同測(cè)量矩陣重構(gòu)效果隨測(cè)量次數(shù)M變化

圖2表明：當(dāng)隨機(jī)信號(hào)的稀疏度K≤30時(shí)，幾種測(cè)量矩陣都能以高概率重構(gòu)出原始信號(hào)；當(dāng)稀疏度K≥55時(shí)，都不能對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重建。圖3表明：當(dāng)測(cè)量次數(shù)K≥135時(shí)，幾種測(cè)量矩陣都能以高概率重構(gòu)出原始信號(hào)；當(dāng)測(cè)量次數(shù)K≤85時(shí)，都不能對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重建。從圖2和圖3可知：在相同的條件下，本文構(gòu)造的混沌稀疏測(cè)量矩陣和其他幾種測(cè)量矩陣具有類似的性能，都能實(shí)現(xiàn)對(duì)一維信號(hào)的重構(gòu)。

3.2 二維圖像重構(gòu)實(shí)驗(yàn)

本文采用大小為 的Lena圖像，稀疏基采用離散余弦變換基(DCT),重構(gòu)算法采用平滑l0范數(shù)(smoothedl0norm，SL0)算法。

實(shí)驗(yàn)在不同采樣率(M/N)下比較不同觀測(cè)矩陣對(duì)重構(gòu)效果的影響，同一維信號(hào)實(shí)驗(yàn)，本文進(jìn)行100獨(dú)立實(shí)驗(yàn)取平均值，并采用峰值信噪比(peak signal to noise ratio， PSNR)作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，定義為

式中 I為原圖像，R為重構(gòu)圖像。MAXI為圖像點(diǎn)顏色的最大數(shù)值(如果每個(gè)采樣點(diǎn)用 8 位表示，那么就是255)。PSNR的值越大，表示信號(hào)重建的精確度越高，則對(duì)應(yīng)的混沌觀測(cè)矩陣性能也就越好。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4。

圖4 圖像在不同測(cè)量矩陣下的峰值信噪比隨采樣率變化

為了直觀展示，在采樣率M/N=0.5時(shí)，重構(gòu)效果如圖5所示。

圖5 Lena圖像重構(gòu)效果對(duì)比

可以看到，在相同采樣率(M/N)的情況下，本文構(gòu)造的混沌稀疏隨機(jī)矩陣與高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣、稀疏隨機(jī)矩陣以及Bernoulli隨機(jī)測(cè)量矩陣有類似的重構(gòu)效果。

4 結(jié) 論

本文將帳篷混沌系統(tǒng)生成的確定性混沌序列用于構(gòu)造混沌稀疏測(cè)量矩陣。對(duì)一維信號(hào)和二維圖像進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)對(duì)比仿真。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文構(gòu)造出的混沌稀疏測(cè)量矩陣與高斯隨機(jī)矩陣、稀疏隨機(jī)矩陣及混沌矩陣相比，具有類似的重構(gòu)性能。由于本文構(gòu)造的測(cè)量矩陣在采用的混沌系統(tǒng)的參數(shù)和初值確定時(shí)是固定的，克服了隨機(jī)測(cè)量矩陣的不確定性，硬件上難以實(shí)現(xiàn)的缺點(diǎn)。并且由于只需要存儲(chǔ)混沌系統(tǒng)參數(shù)和稀疏矩陣的性質(zhì)，可以節(jié)省存儲(chǔ)空間和傳輸帶寬，硬件易于實(shí)現(xiàn)，基于混沌系統(tǒng)構(gòu)造的測(cè)量矩陣是確定的，容易在硬件上實(shí)現(xiàn)，而且矩陣稀疏的性質(zhì)，對(duì)減少存儲(chǔ)空間有很大幫助，具有一定的實(shí)用意義。

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史明潔(1991-),通訊作者，E—mail:932559492@qq.com。

Construction of sparse measurement matrix via tent chaotic sequence*

HU Xing-hua， SHI Ming-jie

(College of Science，Liaoning Technical University，F(xiàn)uxin 123000，China)

Construction of measurement matrix is one of the important research content in compressed sensing(CS).Using characteristic of pseudo randomness,ergodicity of chaotic systems,propose a method for construction of the sparse measurement matrix based on tent chaotic sequence.The method for deterministic chaotic sequence generated by the system will be interval sampling,so that the sampled sequence meet statistical independence,by symbol function mapping generate pseudo-random sequence having sparsity,thereby construct measurement matrix of chaotic sparse.Simulation experiments results show that compared with Gaussian random matrices,sparse random matrix and Bernoulli random matrix, this proposed matrix has a similar reconstruction performance.The proposed measurement matrix is deterministic when parameter of chaotic system and initial value are fixed，its computation complexity is small and it is easy to be realized by hardware.

compressed sensing(CS)； chaotic system； measurement matrix； sparse matrix

10.13873/J.1000—9787(2017)07—0050—03

2016—08—16

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401284)；教育部高校博士學(xué)科科研基金聯(lián)合資助項(xiàng)目(20132121110009)；遼寧省教育廳基金資助項(xiàng)目(L2015108)

TN 911.7

A

1000—9787(2017)07—0050—03

胡行華(1978-)，男，副教授，碩士生導(dǎo)師,從事混沌動(dòng)力系統(tǒng)分析與預(yù)測(cè)研究工作。