均值不等式應(yīng)用例析

福建省福安市第二中學(xué) 羅開華

均值不等式應(yīng)用例析

福建省福安市第二中學(xué) 羅開華

利用均值不等式及推廣求解最值問題、不等式證明、實(shí)際問題。均值不等式教學(xué)對(duì)優(yōu)化學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)、提升應(yīng)用能力具有重要意義。

均值不等式；應(yīng)用與推廣

均值不等式作為高中課程的重要知識(shí)，要掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。應(yīng)用均值不等式求最值問題、不等式證明、解決實(shí)際問題具有重要作用。同時(shí)，均值不等式的教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)探索創(chuàng)造、發(fā)揮潛能、開發(fā)智力具有重要意義。

一、均值不等式及其推廣

二、均值不等式的應(yīng)用

1.均值不等式在最值問題中的應(yīng)用

2.均值不等式在證明不等式中的應(yīng)用

運(yùn)用均值不等式進(jìn)行不等式的證明，可使很多問題更為簡(jiǎn)便轉(zhuǎn)化和解決,使不等式的證明更具有活力和靈活性。

（還可以用三角代換、常值代換、消元法等方法處理）

3.均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例5 某工廠購(gòu)買某種設(shè)備時(shí)費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年的設(shè)備運(yùn)營(yíng)費(fèi)為9千元，設(shè)備的維修費(fèi)為第一年2千元，第二年4千元，…依每年2千元遞增,問該設(shè)備使用多少年報(bào)廢最合算（使用年平均費(fèi)用最少）？

解：設(shè)該設(shè)備使用n年報(bào)廢，則每年平均費(fèi)用為f(n)萬(wàn)元，依題知：每年設(shè)備的使用費(fèi)與維修費(fèi)之和構(gòu)成首項(xiàng)為1.1，公差為0.2的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為0.1n2+n萬(wàn)元，依題有：答：該設(shè)備使用10年報(bào)廢最合算。

三、反思與感悟

均值不等式作為一個(gè)重要的不等式，在求函數(shù)最值、不等式證明及實(shí)際問題求解中發(fā)揮重要作用，其應(yīng)用十分廣泛。但要注意應(yīng)用條件：“一正二定三等”，不滿足條件時(shí)要?jiǎng)?chuàng)造條件，利用配湊法、函數(shù)單調(diào)性、拆項(xiàng)添項(xiàng)等方法處理。教師要重視均值不等式的教學(xué)，鍛煉學(xué)生的推理能力、想象力和創(chuàng)造力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。