關(guān)于電場(chǎng)中線性諧振子問題的求解

張小偉

(黔南民族師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 都勻 558000)

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關(guān)于電場(chǎng)中線性諧振子問題的求解

張小偉

(黔南民族師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 都勻 558000)

線性諧振子是量子力學(xué)中非常重要的一個(gè)模型，本文列舉了求解電場(chǎng)中線性諧振子能量和波函數(shù)的不同方法，并比較幾種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

線性諧振子；微擾理論；費(fèi)曼-海爾曼定理

量子力學(xué)中關(guān)于線性諧振子的研究很多，最主要是因?yàn)橹C振子往往可作許多復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以諧振子的研究，無論在理論還是在應(yīng)用方面都很重要。量子力學(xué)的各類教程中，最基本的是用薛定諤方程求解一維線性諧振子的能量和波函數(shù)。本文列舉幾種不同方法求解電場(chǎng)中的一維諧振子的能量和波函數(shù)，并對(duì)不同方法進(jìn)行比較。

(1)

1 嚴(yán)格求解

一維自由線性諧振子的能量和波函數(shù)可以通過解定態(tài)薛定諤方程求得，能級(jí)為：

(2)

能級(jí)間隔為?ω，對(duì)應(yīng)能量En的波函數(shù)為：

(3)

由歸一化條件可求得歸一化系數(shù)：

(4)

帶電諧振子因?yàn)槭艿诫妶?chǎng)的作用，其哈密頓算符中勢(shì)能項(xiàng)多了一個(gè)變量的一次項(xiàng)-qεx。用坐標(biāo)平移法(1)式可變?yōu)椋?/p>

(5)

(6)

所以帶電線性諧振子能級(jí)：

(7)

能級(jí)間隔為?ω，可見電場(chǎng)并沒有改變諧振子的能級(jí)間隔。

(8)

(9)

2 用定態(tài)微擾理論求解

針對(duì)帶電線性諧振子的問題，體系的哈密頓算符不是時(shí)間的顯函數(shù)，要用到定態(tài)微擾理論求解，微擾理論一般是從簡(jiǎn)單問題的精確解出發(fā)求解復(fù)雜問題的近似解。

若電場(chǎng)為弱電場(chǎng)，則線性諧振子的哈密頓量可寫成：

(10)

(11)

一級(jí)近似的波函數(shù)為：

加了微擾的哈密頓量的能級(jí)近似值與嚴(yán)格求解一致，波函數(shù)則是在未加微擾時(shí)的波函數(shù)的基礎(chǔ)上，混進(jìn)了其他的能級(jí)的波函數(shù)。

3 用變分法計(jì)算弱電場(chǎng)中諧振子的基態(tài)能量

微擾法求解問題時(shí)有個(gè)條件：哈密頓算符可以分為可以精確求解部分和微擾部分，如果條件不滿足，就不能使用微擾法，所以在上一種方法中需要強(qiáng)調(diào)的是電場(chǎng)為弱電場(chǎng)。量子力學(xué)中還有另一種近似方法——變分法，這種方法不需要上述條件的限制。用變分法求解系統(tǒng)基態(tài)能量時(shí)需要先選取試探波函數(shù)。

勢(shì)能的期望值為：

兩個(gè)期望值計(jì)算過程中用到廣義高斯積分。體系的哈密頓量的期望值為：

(12)

這是哈密頓量的期望值中最小的，也是最接近于基態(tài)的能量，可以認(rèn)為是基態(tài)的能量：

這種方法求得的基態(tài)能量與用坐標(biāo)變換法所求基態(tài)能量結(jié)果一致。

微擾法和變分法都是近似方法，微擾法使用時(shí)有一定的條件限制，但是可以求出體系的能量和波函數(shù)，并且一般可以得到相當(dāng)精確的結(jié)果；變分法使用時(shí)不受條件限制，但是只能求出體系基態(tài)能量的近似值。

4 用費(fèi)曼-海爾曼定理求解

(13)

根據(jù)海森堡運(yùn)動(dòng)方程和(1)式有:

(14)

設(shè)體系處在束縛態(tài)ψn下，對(duì)(14)式求平均值，

(15)

(16)

對(duì)上式積分可得：

(17)

(18)

這就是電場(chǎng)中諧振子的能級(jí)。費(fèi)曼-海爾曼定理求解出的是體系哈密頓量的能量本征值，不涉及能量本征函數(shù)。

綜上所述，電場(chǎng)中一維線性諧振子可以通過坐標(biāo)平移的方式嚴(yán)格求出體系的能量和波函數(shù)，若是電場(chǎng)為弱電場(chǎng)，還可以通過定態(tài)微擾理論求出近似解，這兩種方法是可以求解出各個(gè)能級(jí)的能量及對(duì)應(yīng)的波函數(shù)；變分法和費(fèi)曼-海爾曼定理只能求解體系的能量，并且變分法也只能求出基態(tài)的近似值。嘗試用不同的方法解決電場(chǎng)中諧振子問題，可以充分掌握這些方法的使用范圍及使用技巧，有利于更好地學(xué)習(xí)量子力學(xué)。

[1] 錢伯初，曾謹(jǐn)言.費(fèi)曼—海爾曼定理在教學(xué)中的應(yīng)用[J].大學(xué)物理，1986，5(3)：1-4.

[2] 周世勛.量子力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3] 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)(卷I)[M].北京：科學(xué)出版社，2000.

[4] 蔣學(xué)華.一維諧振子能級(jí)的幾種求解方法[J].岳陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2002，(03)：56-58.

[5] 全宏俊，鄭立賢.量子力學(xué)中試探波函數(shù)的選擇[J].大學(xué)物理，2014，(02)：6-8.

Solution to the problem of linear harmonic oscillator in electric field

ZHANG Xiao-wei

(School of Physics and Electronics, Qiannan Normal College for Nationalities, Duyun 558000, China)

Linear harmonic oscillator is very important model in quantum mechanics, this paper enumerates several different measures for solving the energy and the wave function of linear harmonic oscillator in electric field, and compares the advantages and disadvantages of these measures.

Linear harmonic oscillator; Perturbation theory; Feynman-Herman theorem

2017-04-02

貴州省普通高等學(xué)校創(chuàng)新人才團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(黔教合人才團(tuán)隊(duì)字[2013]29)；貴州省科技廳聯(lián)合基金項(xiàng)目(黔教合J字LKQS[2013]16號(hào))

張小偉(1980-)，女，碩士，副教授。

O413.1

A

1674-8646(2017)10-0178-03