高中《離散型隨機(jī)變量的分布列》教學(xué)新探究

河北省承德市第一中學(xué) 郝 晶

高中《離散型隨機(jī)變量的分布列》教學(xué)新探究

河北省承德市第一中學(xué) 郝 晶

“數(shù)學(xué)教學(xué)”易被誤解為單純的“數(shù)學(xué)知識”的教學(xué)，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》中曾指出“我們要教給學(xué)生的不是死記現(xiàn)成的材料，而是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理”。帶著對這一問題的思考，我開始了對本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)。首先，談?wù)勎覍Ρ竟?jié)課教學(xué)內(nèi)容的理解，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3第二章《2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列》的核心內(nèi)容，它是繼上一節(jié)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的進(jìn)一步應(yīng)用，也是研究本章第三節(jié)《離散型隨機(jī)變量的均值和方差》的基礎(chǔ)和“源頭”?！半x散型隨機(jī)變量的分布列”作為概率與統(tǒng)計(jì)的橋梁和紐帶，它既是概率的延伸，也是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)。本節(jié)課不僅是“生活化”數(shù)學(xué)的集中體現(xiàn)，也為學(xué)生在大學(xué)中進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》打下理論基礎(chǔ)，因此它起到了承前啟后的核心作用。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量分布列的概念；教學(xué)難點(diǎn)：理解超幾何分布的概率模型及其應(yīng)用。針對本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)：

知識目標(biāo)：理解離散型隨機(jī)變量的分布列的概念；理解兩點(diǎn)分布、超幾何分布的概率模型及其應(yīng)用；

能力目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的抽象、概括能力，培養(yǎng)學(xué)生分析和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力；

德育目標(biāo)：使學(xué)生進(jìn)一步感受到生活與數(shù)學(xué)“零距離”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察，勤于思考，熱愛生活，熱愛數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)。

教學(xué)過程：

環(huán)節(jié)1——（一）創(chuàng)設(shè)情境，啟動思維。

引例：在“漢字聽寫大會”選拔賽中，設(shè)有A，B兩組試題，每組各10個漢字。假設(shè)選手“小蘋果”在A組的10個漢字中，只會其中的6個；在B組的10個漢字中，只會其中的5個。隨機(jī)聽寫A組中4個漢字，“小蘋果”至少要寫對其中3個才能入選；隨機(jī)聽寫B(tài)組中4個漢字，“小蘋果”至少要寫對其中2個才能入選。請你判斷“小蘋果”抽到哪組試題，更容易入選？

此時同學(xué)們“一頭霧水”。我這樣引導(dǎo)：能不能從我們熟悉的問題中得到一點(diǎn)啟發(fā)呢？此時，我拋出了自主探究的第一個問題。

環(huán)節(jié)2——（二）歸納概念，構(gòu)建新知。

自主探究1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)X有哪些值？X取每個值的概率是多少？

問題1：什么是離散型隨機(jī)變量的分布列？

1.定義：概率分布（分布列）

設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi（i=1，2，3，…，n）的概率P（X=xi）=pi，則稱表：

?

為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱X的分布列。

自主探究2：

①判斷下列表格是否為某離散型隨機(jī)變量的分布列？

?

②下表為某離散型隨機(jī)變量的分布列，求m的值。

?

問題2：你能得出分布列有什么性質(zhì)？

注：離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下兩個性質(zhì)：

（1）__________________________；

（2）__________________________。

環(huán)節(jié)3——（三）典例剖析，鞏固深化。

互動問題：①你能舉出一個類似的例子嗎？②這些分布列有什么共同特征？

歸納小結(jié)：什么是兩點(diǎn)分布？

小組合作探究引例：在“漢字聽寫大會”選拔賽中，設(shè)有A，B兩組試題，每組各10個漢字。假設(shè)選手“小蘋果”在A組的10個漢字中，只會其中的6個；在B組的10個漢字中，只會其中的5個。隨機(jī)聽寫A組中4個漢字，“小蘋果”至少要寫對其中3個才能入選；隨機(jī)聽寫B(tài)組中4個漢字，“小蘋果”至少要寫對其中2個才能入選。請你判斷“小蘋果”抽到哪組試題，更容易入選？

下面通過小組合作來解決引例：

合作探究1：引例。

通過①小組合作交流發(fā)揮“榜樣”作用，學(xué)生收獲了分布列的求解步驟，糾正求解過程存在的忽略概率求解、直接列表、計(jì)算錯誤等諸多問題；②分組展示探究成果（視頻：學(xué)生分組板演解題過程），完成超幾何分布概率公式的推導(dǎo)和歸納；③小組間的互相評價鞏固了概念和性質(zhì)，將討論推向高潮。此時教師適時引導(dǎo)，將結(jié)論推廣（此處動畫演示超幾何分布的概率公式）（動畫展示規(guī)律）。

超幾何分布的概念在交流互動中得以完善，突破了本節(jié)課的難點(diǎn)。

歸納小結(jié)：什么是超幾何分布；超幾何分布的概率公式；分布列的求解步驟。

環(huán)節(jié)4——（四）課堂小結(jié)，提煉升華。

①離散型隨機(jī)變量的概念和性質(zhì)；

②求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：

（1）確定隨機(jī)變量X的所有可能的值xi；

（2）求出X取每一個值xi（i=1，2，3，…，n）的概率P（X=xi）=pi。

（3）畫出表格。

③兩點(diǎn)分布和超幾何分布。

環(huán)節(jié)5——（五）作業(yè)布置，拓展應(yīng)用。

1.假設(shè)你是大型連鎖超市“大潤發(fā)”的營銷部經(jīng)理，你將為超市的促銷活動設(shè)計(jì)一個摸獎游戲：在一個箱子中有形狀完全相同的10個紅球和20個白球，一次從中摸出5個球，至少摸出3個紅球就中獎，求中獎的概率。

2.參閱教材，完成49頁相關(guān)的思考題。