基于直觀想象化解不等式成立問題*

福建省惠安第三中學(xué)(362100) 江志杰

福建省惠安高級中學(xué)(362100) 莊惠平

基于直觀想象化解不等式成立問題*

福建省惠安第三中學(xué)(362100) 江志杰

福建省惠安高級中學(xué)(362100) 莊惠平

含參數(shù)的不等式成立問題一直是高考和高三質(zhì)檢的熱點素材,題型千變?nèi)f化、解法精彩紛呈,其中最常規(guī)的解法就是分離參數(shù)法或構(gòu)造差函數(shù)求最值.然而,對于求解某些含參數(shù)的超越不等式成立問題,傳統(tǒng)的解法顯得繁雜受阻或者抽象費解,難于把握解決問題的關(guān)鍵命脈.為此,筆者擬通過若干高考典例的分析探討,談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在某些不等式成立問題中的展現(xiàn)和運用.

一、轉(zhuǎn)為直線與曲線的位置關(guān)系

很多含參數(shù)的超越不等式成立問題中,往往蘊含著直線與曲線的位置關(guān)系,我們?nèi)裟軓闹蟹蛛x或挖掘出目標(biāo)函數(shù)與特征直線,則從數(shù)形結(jié)合的角度進行探析,無疑顯得更為形象直觀、簡便快捷!

例1. (2013年全國高考(課標(biāo)I)理 11)已知函數(shù)若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是( )

A.(∞,0] B.(?∞,1] C.[2,1] D.[?2,0]

解析本題貌屬含參數(shù)的不等式恒成立問題,但若用傳統(tǒng)的分離參數(shù)法或構(gòu)造差函數(shù)求最值,反而更棘手!關(guān)鍵應(yīng)發(fā)現(xiàn)不等式右邊是一次函數(shù),研究該不等式恒成立問題,實則分析函數(shù)y=|f(x)|的圖像與直線y=ax的位置關(guān)系(如圖1),利用導(dǎo)數(shù)知識求得左側(cè)曲線在原點處的切線斜率為?2,依題意得到a∈[?2,0],故答案選D.

例2. (2015年全國新課標(biāo)I卷理12)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x?1)?ax+a,其中a＜1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)＜0,則a的取值范圍是( )

圖1

解析解決本題的關(guān)鍵是要注意到:函數(shù)f(x)是由超越函數(shù)g(x)=ex(2x?1)減去一次函數(shù)y=ax?a而成的,其中一次函數(shù)y=ax?a=a(x?1)表示繞定點A(1,0)旋轉(zhuǎn)的動直線;超越函數(shù)g(x)=ex(2x?1)通過求導(dǎo)得到:g′(x)=ex(2x+1),故函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減(且g(x)＜0),g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增.如圖2所示.

圖2

例3.對于函數(shù)若存在唯一的正整數(shù)x0,使得f(x0)＜0成立,則實數(shù)a的取值范圍是.

解析本題所提供的含參三次函數(shù)模型,極易造成大家企圖通過導(dǎo)數(shù)工具和對參數(shù)a的討論,去探索該函數(shù)的圖像特征.然而,對于“存在唯一的正整數(shù)x0,使得f(x0)＜0成立”卻難以控制!事實上,本題最精妙之處在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)中隱藏著一次函數(shù)模型y=ax+a,即函數(shù)f(x)由三次函數(shù)減去一次函數(shù)y=ax+a而來的,只要控制好直線y=ax+a繞定點A(?1,0)旋轉(zhuǎn)的角度,即可實現(xiàn)問題的化解.

如圖3所示,利用導(dǎo)數(shù)易得函數(shù)g(x)分別在x=2、x=4處取得極大值、極小值,根據(jù)題意嘗試旋轉(zhuǎn)直線,并比較直線在可能正整數(shù)點處的斜率:從而得到

圖3

上述思路在不等式成立問題中占據(jù)著廣泛的應(yīng)用空間,再如下面一系列問題均可轉(zhuǎn)化為直線與曲線位置關(guān)系問題來快捷求解:

(i)(2012年大綱全國理20)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π],若f(x)≤1+sinx,求a的取值范圍.

(ii)(2012年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽14)已知函數(shù)若x∈[0,2]時,f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.(答案:a≥1)

(iii)(2010年全國新課標(biāo)文科卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex?1)?ax2,若當(dāng)x≥0時都有f(x)≥0,求實數(shù)a的取值范圍.(答案:a≤1)

(v)(2006年全國II理科卷)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有的x≥0都有f(x)≥ax.求實數(shù)a的取值范圍.(答案:a≤1)

二、配湊目標(biāo)函數(shù)的斜率結(jié)構(gòu)

對于能夠分離參數(shù)的不等式成立問題,很多人還是習(xí)慣于優(yōu)先分離參數(shù),通過求另一端無參函數(shù)的最值來確定參數(shù)的取值范圍,通俗易懂、直截了當(dāng)!然而這種做法經(jīng)常碰到的困難是分離參數(shù)后的無參函數(shù)求導(dǎo)繁雜、難以確定單調(diào)區(qū)間,造成最值求解受阻.其實,某些經(jīng)參變分離后的無參函數(shù)是具備幾何意義的,尤其是很多分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)蘊藏著“斜率特征”,若能從中挖掘發(fā)現(xiàn),并加以恰當(dāng)?shù)呐錅?也可為解決問題開辟新穎、形象的解法途徑!

例4.(2007年全國I理科卷)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?e?x,若對所有的x≥0都有f(x)≥ax.求實數(shù)a的取值范圍.

圖4

對數(shù)函數(shù)曲線y=lnx上的兩個動點連線斜率小于1?k成立.由y=lnx的圖像注意該兩動點到x軸的距離相等,且當(dāng)該距離縮小時兩動點連線的斜率變大(如圖所示),通過觀察容易猜想:

圖5

綜上,1?k≥1,k≤0.即k的取值范圍為(?∞,0].

點評這種經(jīng)過配湊促使目標(biāo)函數(shù)函數(shù)具備斜率意義的做法,其實與前述化為直線和曲線位置關(guān)系的做法是一脈相承、彼此交融的,如例4中不等式f(x)≥ax(x≥0)恒成立,也可理解為過原點的直線位于曲線f(x)=ex?e?x下方;再如例5中不等式變形整理得其中若令x2=t,K=1?k,則問題轉(zhuǎn)為:“tlnt＞K(t?1),(t∈(0,1))和同時成立,求K的取值范圍”—終究也是直線和曲線位置關(guān)系問題.

結(jié)束語由上可知,很多含參不等式成立問題的原始背景就是直線與曲線的位置關(guān)系,這就讓我們清晰地追溯到題目的源泉,站在更高的層面理解不等式問題的本質(zhì).并且,我們還可發(fā)現(xiàn):當(dāng)參數(shù)恰為一次項系數(shù)時,這個參數(shù)往往具備了斜率的幾何意義,這就是將不等式轉(zhuǎn)化為直線和曲線位置關(guān)系的“核心所在”.

*本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題《基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中學(xué)主干知識目標(biāo)定位研究》系列成果之一.