關(guān)于X0-sn-網(wǎng)的一些性質(zhì)

劉士琴

(衡水學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 河北 衡水 053000)

關(guān)于X0-sn-網(wǎng)的一些性質(zhì)

劉士琴

(衡水學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)系 河北 衡水 053000)

X0-sn-網(wǎng)； X0-sn-弱第一可數(shù)；cs-網(wǎng)； 弱基

0 引言

廣義度量空間在一般拓撲學(xué)中占有極其重要的地位，眾多學(xué)者從事該領(lǐng)域的研究工作并得到了較好的結(jié)果[1-7]. 文獻[1]提出了X0-弱基的概念并對該概念進行了深入的研究，證明了當(dāng)且僅當(dāng)X具有點可數(shù)X0-弱基時，X是度量空間的商可數(shù)對一映射下的象.作為X0-弱基的概念的推廣，文獻[4]證明了當(dāng)且僅當(dāng)X具有點可數(shù)X0-sn-網(wǎng)時，X0-sn-網(wǎng)不是X0-弱基，它比X0-弱基還要弱，在該文中得到X是度量空間的序列商，可數(shù)對一映射下的象，通過特殊映射得到了關(guān)于X0-sn-網(wǎng)與可分度量空間的一些關(guān)系.本文通過特殊映射得到關(guān)于X0-sn-網(wǎng)的一些新的結(jié)果，所述空間均為正則T1的，所有映射均為連續(xù)的，N表示自然數(shù)，序列{xn:n∈N}、{pn:n∈N}分別為序列{Xn}、{Pn}的子序列.

1 預(yù)備知識

定義1[4]空間X的子集族B稱為X的X0-sn-網(wǎng)，如果B=U{Bx(n)：x∈X,n∈N},并且滿足：1) 對每個x∈X，n∈N，Bx(n)是x的一個網(wǎng)，并且它在有限交下是封閉的，且x∈Bx(n).2) 空間X中L是收斂到x的一個序列，且x?L，則存在L的一個子序列L′和n0∈N，使得對任意Bx(n0)∈Bx(n0)，L′終于Bx(n0).

對于文獻[1]中Sirois-Dumais定義，X稱為X0-sn-弱第一可數(shù)，如果X有一個X0-sn-網(wǎng)，B=U{Bx(n)：x∈X,n∈N}，且對任意x∈X，n∈N，Bx(n)是可數(shù)的.

如果X具有一個σ-局部有限X0-sn-網(wǎng)，空間X稱為X0-sn-度量空間.

文獻[5]中定義的sn-網(wǎng)，如果對任意n∈N，Bx(n)=Bx(1)，則B稱為X中的sn-網(wǎng).文獻[6]中的定義，對任意x∈X，如果Bx(n)是可數(shù)的，則X稱為sn-第一可數(shù)的.

定義2[1]設(shè)f:X→Y，f稱為s-映射(緊映射，σ-緊映射)，如果對任意y∈Y，f-1(y)是在X中的可分子集(緊子集，σ-緊子集).f稱為邊緣緊映射(邊緣可數(shù)映射，邊緣σ-緊映射)，如果對任意y∈Y，?f-1(y)是X中的緊子集(可數(shù)緊子集，σ-緊子集).

引理1[5]P是空間X中具有σ-遺傳閉包保持子集.若P是X中的cs*-網(wǎng)，則P是X中的k-網(wǎng).

2 主要結(jié)果

定理1X是X0-sn-弱第一可數(shù)空間，P是X中的一個點可數(shù)的cs-網(wǎng),如果P是有限交封閉的，則P中存在一個子族B,使得B是X的一個X0-sn-網(wǎng).

證明X是一個X0-sn-弱第一可數(shù)空間，令U{Bx(n)：x∈X,n∈N}是X的一個X0-sn-網(wǎng)，Bx(n)={Bx(n,m)：m∈N}，且對每個m∈N，Bx(n,m+1)?Bx(n,m).P是X中的一個點可數(shù)cs-網(wǎng)，對任意n∈N，令Px(n)={P∈P：Bx(n,m)?P,?m∈N}，則Px(n)是有限交封閉的.B=U{Px(n)：x∈X,n∈N}，則B是P的一個子集族,只需證明B是X中的一個X0-sn-網(wǎng).下面給出充分性的證明.

1) 對任意x∈X，n∈N，Px(n)是x的一個網(wǎng).

若Px(n)不是x的一個網(wǎng)，則X中存在n∈N和x的一個鄰域U，使得對任意P∈Px(n)，都有P?U.令P∈P：x∈P?U={Pk：k∈N}，則對任意的m,k∈NB(n,m)?U，對每個m≥k，取xmk∈B(n,m)Pk，令yi=xmk，其中i=k+m(m-1)/2，則在X中序列{yi}收斂于x，因為{Bx(n,m)：m∈N}是X中x的遞減網(wǎng)，既然P是X中的一個cs-網(wǎng)，則存在k,j∈N使得{yi:i≥j}?Pk，取i≥j，使得對某些m≥k，yi=xmk，則xmk∈Pk矛盾.

2)B是一個X0-sn-網(wǎng).

假設(shè)序列L在X中收斂于x?L，則X中存在L的一個子序列L′和n0∈N，使得對任意m∈N，L′終于Bx(n0,m).但是對某些m∈N，Bx(n0,m)?Px(n0)，對任何Px(n0)∈Px(n)，L′終于Px(n0).所以B是X中一個X0-sn-網(wǎng).

定理2 設(shè)X是拓撲空間，則下述等價：

1)X具有點可數(shù)X0-sn-網(wǎng).

2) 存在一個度量空間M和一個序列商點可數(shù)映射f:M→X.

證明 由文獻[4]知1)?2)，且2)?3)顯然.

定理3X是一個fre′chet空間,則可數(shù)空間X是一個X0-sn-弱第一可數(shù)空間，當(dāng)且僅當(dāng)它是可數(shù)度量空間的可遺傳的序列商映射下的象.

假設(shè)X是可數(shù)度量空間M的可遺傳的序列商映射的象.f:M→Y是序列商映射.f-1(x)={xi:i∈N}，只需要證明X對于x是X0-sn-弱第一可數(shù)的，令{C(n,m)：m∈N}是M中xn的鄰域，且是M的可數(shù)基B(n,m)=f(C(n,m)).則{B(n,m)：m∈N}是可數(shù)的，對任意n∈N，令Bx(n)={B(n,m)：m∈N}，Bx(n)是可數(shù)的.從定義得到B=U{Bx(n)：x∈X,n∈N}是X0-sn-網(wǎng).

定理4 對于fre′chet空間X，下列是等價的：

1)X是X0-sn-度量空間.

2) 存在一個度量空間M和一個序列商σ可數(shù)對一映射f:M→X.

定義f:M→X使得f(αi)=x(α)，在X中對任何n∈N，Bx(n)是Bx的一個網(wǎng).容易得到f定義是合理且是到上的. 可得到M是度量空間，且f是連續(xù)的.注意到Pi是局部有限的，則f是可數(shù)對一的映射.對每個i∈N，αi∈Ii，令D(α1,α2,…,αn)={β=(βi)∈M:βi=αi,i≤n}，且D={D(α1,α2,…,αn):αi∈βi,i≤n,n∈N}，顯然D是M的一個基，并且f(D(α1,α2,…,αn))=nBα.

2)?1)，由定理3得X是X0-sn-弱第一可數(shù)的.由于度量空間的商σ-的象是N空間，則X是X0-sn-度量空間.

[1] 林壽.廣義度量空間與映射(第二版)[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[2] 林壽.點可數(shù)覆蓋與序列覆蓋映射[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

[3] 李小龍， 張騫. 有序Banach空間非線性Neumann邊值問題正解的存在性[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2016，48(1)：23-26．

[4] WANG P. On X0-sn-metricspaces[J]. 廣西科學(xué),2010,1: 32-35.

[5]GEY.sn-metric space[J].Acta Math Sinica,2002,45: 355-360.

[6] LIN S, YAN P. Sequence-covering maps of metric spaces[J].Topology and its applications,2001,109(3):301-314.

[7] 薛占熬，袁藝林，辛現(xiàn)偉，等. 多粒度廣義L-模糊可變精度粗糙集[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2016，48(3)：82-89．

(責(zé)任編輯：方惠敏)

Some Properties on X0-sn-networks

LIU Shiqin

(DepartmentofMathematicsandComputer,HengshuiCollege,Hengshui053000,China)

X0-sn-network; X0-sn-weakly first-countable;cs-network; weak bases

2017-02-21

國家自然科學(xué)基金資助項目(11301159)；廣西高校重點實驗室項目(2016CSOBDP0004).

劉士琴(1982—)女，河北省衡水市人，講師，主要從事一般拓撲學(xué)研究，E-mail:liushiqin168@163.com.

O

A

1671-6841(2017)03-0005-04

10.13705/j.issn.1671-6841.2017029