基于非概率可靠性的離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

張思才，張方曉

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川綿陽621999）

基于非概率可靠性的離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

張思才，張方曉

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川綿陽621999）

目的針對工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中因材料供應(yīng)規(guī)范限制使得設(shè)計變量不能連續(xù)取值以及材料性能波動、外界載荷偏差等不確定性問題，探索研究非概率可靠性在離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用。方法以桁架結(jié)構(gòu)桿件截面直徑為設(shè)計變量、結(jié)構(gòu)質(zhì)量極小化為目標(biāo)，考慮材料強(qiáng)度極限與外部載荷的不確定性，建立具有非概率可靠性指標(biāo)約束的離散變量結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化模型，并采用遺傳算法求解離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題。結(jié)果求解獲得了三桿、十桿超靜定桁架桿件截面直徑最優(yōu)組合，得到的優(yōu)化結(jié)果相較確定性優(yōu)化結(jié)果更具魯棒性。結(jié)論非概率可靠性模型對于解決工程中設(shè)計變量具有離散性和不確定性的優(yōu)化設(shè)計問題具有可行性。

非概率；離散變量；結(jié)構(gòu)優(yōu)化；可靠性

對于工程結(jié)構(gòu)中材料性能波動、加工誤差、外界載荷偏差等不確定性問題，早期人們通常采取安全系數(shù)法予以處理，但這種方法往往取決于設(shè)計者的工程經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)識。隨后，諸多學(xué)者將不確定性參數(shù)視為隨機(jī)變量，發(fā)展了基于應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法，然而概率可靠性對概率模型參數(shù)非常敏感[1]，參數(shù)較小的誤差都可能引起結(jié)構(gòu)可靠性出現(xiàn)較大的偏差。在實(shí)際工程中得到足夠的信息來確定變量的概率分布基本上不現(xiàn)實(shí)的，獲得其不確定界限卻相對容易。Ben-Haim[2]基于凸集理論提出了非概率穩(wěn)健可靠性模型，以系統(tǒng)容許的不確定性最大化來評價其可靠性，該方法在含有不確定性因素的結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)可靠性分析評估中得以應(yīng)用[3—6]。郭書祥[7—8]等提出了基于區(qū)間模型非概率可靠性模型。張新峰等[10]對基于區(qū)間的、基于凸集理論的兩種可靠性模型指標(biāo)進(jìn)行了對比分析，研究表明，基于區(qū)間的可靠性模型指標(biāo)更偏保守。目前，非概率可靠性模型多用于不確定性系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)求解或分析，而非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計相關(guān)報道甚少，且多應(yīng)用于求解連續(xù)變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題[11—14]。

基于區(qū)間非概率可靠性方法，考慮材料特性及外界載荷的不確定性，建立以桁架桿件截面直徑為設(shè)計變量、結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為目標(biāo)、具有非概率可靠性指標(biāo)約束的離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，并利用遺傳算法(genetic algorithms)[15]對考慮不確定性變量的三桿桁架、十桿超靜定桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

1 非概率可靠性基本原理

顯然，η＞1時均有g(shù)(X)＞0，結(jié)構(gòu)安全可靠；η＞－1時均有g(shù)(X)＜0，結(jié)構(gòu)處于不安全狀態(tài)；當(dāng)－1≤η≤1時，g(X)＜0和g(X)＞0均有可能，此時結(jié)構(gòu)可能安全，亦可能不安全。由此可見，無量綱量η的值越大，結(jié)構(gòu)越安全。

2 含離散變量的非概率可靠性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

對于離散型結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題，可以描述為求設(shè)計變量Y=[y1,y2,…,yn]T∈RD，使：

式中：Y為離散設(shè)計變量，Y=[y1,y2,…,yn]T∈RD；RD為各分量在設(shè)計空間中構(gòu)成的離散空間；n為設(shè)計變量個數(shù)；m為約束條件數(shù)量；F(Y)為目標(biāo)函數(shù)；G(Y)為約束函數(shù)。

以離散取值的結(jié)構(gòu)件截面直徑為設(shè)計變量、系統(tǒng)質(zhì)量最小化為目標(biāo)，研究考慮材料強(qiáng)度極限或許用應(yīng)力和外載荷等參量存在不確定性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。顯然，材料強(qiáng)度極限和外載荷的不確定性僅對約束函數(shù)產(chǎn)生影響，則將式(2)優(yōu)化問題表達(dá)為：

式中：X=[x1,x2]T，x1，x2分別表示材料強(qiáng)度極限和外載荷。

依照非概率可靠性基本原理，可以得到基于非概率可靠性的離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計模型。即求設(shè)計變量Y=[y1,y2,…,yn]T∈RD，使：

利用基于二進(jìn)制編碼的遺傳算法對此優(yōu)化問題進(jìn)行求解。對于遺傳算法中每一代群體，根據(jù)材料強(qiáng)度極限和外載荷的上、下邊界，可以獲得各個體在功能函數(shù)G(Y,X)狀態(tài)下的最大值Mmax和最小值Mmin，進(jìn)而得到其均值與離差，通過式(1)可以計算得到各個體對應(yīng)的結(jié)構(gòu)非概率可靠度，然后將此可靠度與可接受的可靠性指標(biāo)要求對比，并通過罰函數(shù)法將其差異引入遺傳算法中的適應(yīng)度計算，以評判其優(yōu)劣以及尋優(yōu)。

3 算例

3.1 三桿桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化

以文獻(xiàn)[16]給定的三桿桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題為基礎(chǔ)，將桿件材料的許用應(yīng)力及外界載荷相對名義值存有10%的擾動考慮。

利用遺傳算法并將其群體規(guī)模設(shè)為80，最大迭代次數(shù)為100，交叉率為0.99，變異率為0.01進(jìn)行優(yōu)化求解。在η*取1.0～1.2時，遺傳算法求解得到的最佳個體均為0111，1111，分別對應(yīng)A1=A3=2.54 cm2，A2=4.4 cm2，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為F=16.01 kg。確定性模型和非概率模型的優(yōu)化結(jié)果見表1，可以看出，非概率可靠性優(yōu)化模型得到的目標(biāo)函數(shù)值大于確定性優(yōu)化模型。表明考慮不確定性參數(shù)影響時，須增加桁架桿件截面直徑（桿件1、3，桿件2未變化）方可滿足結(jié)構(gòu)可靠性需求。桿件截面直徑優(yōu)化結(jié)果及目標(biāo)函數(shù)并未隨著可靠性指標(biāo)的提高而有所變化，這表明將桿件1，3截面直徑增大至一定程度后，即可滿足較高的可靠性指標(biāo)要求，使設(shè)計者更易權(quán)衡此類結(jié)構(gòu)的可靠性與經(jīng)濟(jì)性。

表1 三桿優(yōu)化結(jié)果

3.2 十桿桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化

十桿桁架結(jié)構(gòu)（圓柱形實(shí)心桿件）如圖1所示。已知P=10 kN，[σ+]=[σ－]=100 MPa，密度ρ=7.8×103kg/m3，a=b=1.0 m。以各桿橫截面直徑(mm)為設(shè)計變量，其取值集合為{6.00，6.75，6.81，7.46，7.69，8.19，8.51，8.67，9.20，9.37，9.91，10.38，10.53，10.99，11.69，12.71}，材料許用應(yīng)力和外界載荷按相對名義值有10%的擾動考慮。以結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕為優(yōu)化目標(biāo)，許用應(yīng)力為約束條件。遺傳算法的群體規(guī)模設(shè)為150，最大迭代次數(shù)為200，交叉率為0.99，變異率為0.01?？紤]確定性模型、不同可靠性指標(biāo)要求的非概率模型下十桿桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果見表2。

圖1 十桿桁架結(jié)構(gòu)

表2 十桿桁架優(yōu)化結(jié)果

從表2中可以看出，不同可靠性指標(biāo)要求下的非概率可靠性優(yōu)化模型獲得的目標(biāo)函數(shù)值均大于確定性優(yōu)化模型，且隨著可靠性指標(biāo)要求的提高而逐漸增大。表明可靠性約束條件與目標(biāo)函數(shù)性能是相互矛盾的，必須通過增大桿件截面直徑（即目標(biāo)函數(shù)性能下降）解決某些設(shè)計參數(shù)不確定性帶來的不利影響，從而達(dá)到預(yù)期的可靠性指標(biāo)要求。因而需設(shè)計者綜合各方因素權(quán)衡此類結(jié)構(gòu)的可靠性與經(jīng)濟(jì)性，尤其對于不能連續(xù)取值的離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，其取值可能使目標(biāo)函數(shù)性能下降更為明顯。

4 結(jié)語

針對含有離散變量及不確定因素的工程問題，以常見的超靜定桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化為例，考慮影響結(jié)構(gòu)性能的材料強(qiáng)度極限、外部載荷的不確定性，建立了具有非概率可靠性指標(biāo)約束的離散變量結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化模型并通過遺傳算法求解，驗(yàn)證了非概率可靠性模型解決離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的可行性。計算結(jié)果表明，考慮不確定性因素獲得的桿件最優(yōu)組合相較確定性優(yōu)化結(jié)果更具魯棒性，設(shè)計者應(yīng)權(quán)衡結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的可靠性與經(jīng)濟(jì)性，尤其是不能連續(xù)取值的離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。

[1]ELLISHAKOFF I.Essay on Uncertainties in Elastic and Viscoelastic Structures:From A.M.Freudenthal’S Criticisms to Modern Convex Modeling[J].Computers and Structures,1995,56(6):871—895.

[2]BEN H Y.Convex Models of Uncertainty in Radial Pulse Buckling of Shells[J].Journal of Applied Mechanics, 1993,60(3):683—688.

[3]JIANG C,BI R G,LU G Y,et al.Structural Reliability Analysis Using Non-probabilistic Convex Model[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2013,254:83—98.

[4]PELLISSETTI M,CAPIEZ-LERNOUT E,PRADLWARTER H,et al.Reliability Analysis of a Satellite Structure with a Parametric and a Non-parametric Probabilistic Model[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2008,198(2):344—357.

[5]NI Zao,QIU Zhi-ping.Hybrid Probabilistic Fuzzy and Non-probabilistic Model of Structural Reliability[J]. Computers&Industrial Engineering,2010,58(3): 463—467.

[6]MENG Zeng,ZHOU Huan-lin,LI Gang,et al.A Decoupled Approach for Non-probabilisticReliability-based Design Optimization[J].Computers and Structures,2016,175(1):65—73.

[7]郭書祥,呂震宙,馮元生.基于區(qū)間分析的結(jié)構(gòu)非概率可靠性模型[J].計算力學(xué)學(xué)報,2001,18(1):56—60.

[8]郭書祥,張陵,李穎.結(jié)構(gòu)非概率可靠性指標(biāo)的求解方法[J].計算力學(xué)學(xué)報,2005,22(2):227—231.

[9]GUO Shu-xiang LYU Zhen-Zhou.Interval Arithmetic and Static Interval Finite Element Method[J].Applied Mathematics and Mechanics,2001,22(12):1390—1396.

[10]張新鋒,趙彥,施滸立.基于凸集的結(jié)構(gòu)非概率可靠性度量研究[J].機(jī)械強(qiáng)度,2007,29(4):589—592.

[11]GANZERLI S,PANTELIDES C P.Optimum Structural Design Via Convex Model Superposition[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2000, 74(6):639—647.

[12]鄭燦赫,孟廣偉,李鋒,等.一種基于SAPSO-DE混合算法的結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化設(shè)計[J].中南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015(5):1628—1634.

[13]喬心州,呂震宙.基于區(qū)間模型的結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報,2012,29(6):682—687.

[14]楊仁.基于Bayes理論改進(jìn)的系統(tǒng)可靠性綜合MML法[J].四川兵工學(xué)報，2015(9):158—161.

[15]GOLDBERG D E.Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning[M].MA:Addison Wesley Publishing Reading,1989.

[16]張思才,張方曉.遺傳算法在離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用[J].西南交通大學(xué)學(xué)報,2003,38(2):146—150.

Optimization Design of Structures with Discrete Variables Based on Non-probabilistic Reliability

Z HANG Si-cai,ZH ANG Fan g-xiao
(Institute of Systems Engineering,CAEP,Mianyang 621999,China)

ObjectiveTo explore application of non-probability reliability in optimization design of structure with the discrete variables to solve issues such as failure of continues valuing in design variables due to limit of material supply specification,fluctuation of material performance,deviation of external load,etc.MethodsThe nondeterminacy of material’s ultimate strength and external load was considered with cross-sectional diameter of trusswork rod pieces as design variable,with minimizing structural weight as target to establish a reliable optimization model for discrete variable structure of non-probability reliability index constrain.The genetic algorithm was used to solve the problems of truss optimization design with the discrete variables.ResultsOptimal combination of cross-sectional diameters of three-rod and ten-rod indeterminate truss rod pieces was obtained.The optimization result obtained was more robust than that of the deterministic optimization.ConclusionNon probabilistic reliability model is feasible for solving discreteness and non-probability in optimization design of structures with discrete variables and the uncertainty.

non-probability;discrete variables;structural optimization;reliability

10.7643/issn.1672-9242.2017.07.012

TJ02；O224

A

1672-9242(2017)07-0061-04

2017-03-15；

2017-04-21

張思才（1977—），男，四川人，碩士，高級工程師，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計及算法。