數(shù)學(xué)中的分類討論思想

呂美英

數(shù)學(xué)中的分類討論思想

呂美英

（重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

在數(shù)學(xué)問題的眾多研究方法中，分類討論是一種最常見的研究方法.當(dāng)我們遇到的數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜，不能統(tǒng)一用一種方法解決時，我們一般會根據(jù)條件的不同分類去討論，最后再將結(jié)論整合到一起，本文主要從實際問題出發(fā)來探討該方法的重要性.

數(shù)學(xué)；分類討論；方法

每個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想.

分類討論思想的應(yīng)用要把握以下三個原則：一、每一級的分類應(yīng)該按同一標(biāo)準(zhǔn)進行，這就需要明確引起分類討論的原因，根據(jù)原因確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)；二、分類應(yīng)逐級進行，而且每一級分類要有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，否則容易造成分類不清，影響結(jié)論的正確性；三、同級互斥，不得越級，這樣才能保證分類的對象不重復(fù)，不遺漏.

下面我們從數(shù)學(xué)的實際問題出發(fā)，來探討分類討論思想的應(yīng)用：

1 高等代數(shù)中的分類討論

所以，當(dāng)λ≠1且≠-2時，方程組有唯一解；當(dāng)λ=-2時，方程組無解；當(dāng)λ=1時，方程組有無窮多個解.

2 數(shù)學(xué)分析中的分類討論

3 概率論中的分類討論

例3 盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個球，從中任意取出兩個，求這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率.

解析 從1,2,3,4,5,6,7,8,9九個球中，任意取出兩個球的取法種數(shù)為C92=36種，取出兩個球的編號之積為偶數(shù)有兩種情況：一奇一偶；兩個偶數(shù).

一奇一偶有C51·C41=20種，兩個偶數(shù)有C42=6種，故兩個球的編號之積為偶數(shù)的情況有20+6=26種，所以取出兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率為

以上只是作者對分類討論方法的簡單分析，實際問題中還有很多類似的例子.分類討論的思想不光適用于高等代數(shù)，數(shù)學(xué)分析等課程，它適用于數(shù)學(xué)的任何學(xué)科，而且是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的手段和方法.分類討論解決問題首先要明確分類的對象，分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后逐級分類，分級得到階段性的結(jié)果，并用該級標(biāo)準(zhǔn)進行檢驗篩選結(jié)果，最后歸納給出結(jié)論.該思想不僅可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力，同時還可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，縝密性和靈活性.

〔1〕陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析(第二版)[M].北京：高等教育出版社.2004.

〔2〕吳傳生.經(jīng)濟數(shù)學(xué)—線性代數(shù)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2009.

〔3〕王艷青，代欽.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的分類討論策略[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(教育科學(xué)版),2011，24(12)：121-122.

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重慶師范大學(xué)基金項目：Cantor集上丟番圖逼近與Beta-連分?jǐn)?shù)的若干研究（12XLZ02）