基于灰色預(yù)測和Leslie模型的人口結(jié)構(gòu)可持續(xù)發(fā)展的預(yù)測模型

李詠馨，閆云俠，吳夢晗，厲培培

（安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

基于灰色預(yù)測和Leslie模型的人口結(jié)構(gòu)可持續(xù)發(fā)展的預(yù)測模型

李詠馨，閆云俠，吳夢晗，厲培培

（安徽財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

針對人口結(jié)構(gòu)現(xiàn)狀，以山西翼城為例，在不考慮二孩政策和考慮二孩政策兩種情況下，分別建立灰色預(yù)測模型和Leslie模型，運用MATLAB，對該地區(qū)的人口結(jié)構(gòu)變化趨勢進行預(yù)測.

二孩政策；人口結(jié)構(gòu)；灰色預(yù)測；Leslie模型；MATLAB

1 數(shù)據(jù)來源與模型假設(shè)

數(shù)據(jù)來自2016年五一數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽.針對本題，我們做出了以下假設(shè)：(1)假設(shè)按照年齡為基準(zhǔn)，分成20個組，年齡間隔為5歲，其中將95歲之后和更大年齡的人劃到一個組，且這部分人對人口數(shù)量變化影響甚微；（2）假設(shè)人口出生、死亡和性別比例對人口流動的影響非常少，可忽略不計；（3）假設(shè)所查詢的相關(guān)文獻的所有數(shù)據(jù)來源準(zhǔn)確，可信，穩(wěn)定，科學(xué)，沒有較大誤差；（4）假設(shè)較短時間內(nèi)，平均年齡變化較小，可認為不變.

2 基于灰色預(yù)測的人口預(yù)測

2.1 研究思路

在這里我們對人口總數(shù)、出生率、死亡率、自然增長率、男女性別比例、人口密度和城鎮(zhèn)人口比重這七個指標(biāo)分別建立灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來20年的人口結(jié)構(gòu)變化趨勢，并給出預(yù)測數(shù)據(jù)，主要根據(jù)2010到2014年五年間的數(shù)據(jù).

2.2 模型的建立

因為預(yù)測未來20年人口結(jié)構(gòu)是建立在等時距觀測基礎(chǔ)上，用觀測到的反映預(yù)測對象特征構(gòu)造灰色模型，并對模型進行求解，預(yù)測出山西翼城區(qū)未來20年的人口結(jié)構(gòu)變化趨勢.

本文把從2010到2014五年的數(shù)據(jù)做一次累加，建立白化式微分方程求解模型，根據(jù)此模型進行預(yù)測并檢驗精度.

設(shè)數(shù)列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))，做一次累加生成序列，得

設(shè)u=(a,b)T，按最小二乘法得到:u=(BTB)-1BTY1

則得到微分方程的解為:

我們根據(jù)2010到2014年數(shù)據(jù)得到山西翼城總?cè)丝跀?shù)據(jù):

x(0)=(312.72，315.67，320.85，326.36，331.47)(單位為萬人)

第一步:做一次累加生成

x(1)=(312.72，628.39，949.24，1275.6，1607.07)

第二步:確定數(shù)據(jù)矩陣B及Y1

第三步:求參數(shù)a和b(借助MATLAB軟件得到結(jié)果)

a=-0.1635，b=308.0019

因此得到總?cè)丝跀?shù)的預(yù)測模型

x(k+1)=19151.364076e(0.01635*k)-18838.644075

其中k表示距離初始年的間隔年數(shù)，取0,1,2……

②殘差檢驗

得到的預(yù)測模型需經(jīng)過檢驗，確定后方可使用.把k=2，k=3，k=4，k=5代入上模型并用MATLAB軟件計算得到生成模型計算數(shù)據(jù)，再把這些數(shù)據(jù)還原并得到:

從上面計算結(jié)果可見，由于模型預(yù)測值與實際值的誤差絕對值數(shù)據(jù)都＜0.5%，所以該預(yù)測模型比較精確.

綜上，我們做出2010到2014年五年內(nèi)山西翼城總?cè)丝跀?shù)實際數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)的直方圖，見圖1.

圖1 山西翼城區(qū)人口實際數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)直方圖

2.3 結(jié)果分析

該灰色預(yù)測模型已經(jīng)檢驗為有效的，因此可以作為模型進行預(yù)測.下面預(yù)測2014年以后20年的山西翼城總?cè)丝跀?shù)，當(dāng)然利用此預(yù)測模型可以預(yù)測任何年的廢水排放量.把k=6，k=7，k=8，k=9，k=10，k=11，k=12，k=13，k=14，k=15，k=16，k=17，k=18，k= 19，k=20，k=21，k=22，k=23，k=24，k=25代入，利用MATLAB軟件對山西翼城2015年到2034年總?cè)丝跀?shù)的發(fā)展趨勢做出預(yù)測，見表1:(單位:萬人)

表1 山西翼城區(qū)2015-2034年人口總數(shù)預(yù)測

由此我們做出2015到2034年二十年間山西翼城總?cè)丝跀?shù)預(yù)測的散點圖，見圖2：

圖2 2015年到2034年山西翼城總?cè)丝跀?shù)預(yù)測散點圖

由以上預(yù)測可知，未來20年內(nèi)，山西翼城總?cè)丝跀?shù)逐年增多.

3 基于Leslie模型的人口預(yù)測

3.1 研究思路

查閱大量相關(guān)資料，得到在全面放開二孩政策時，直接影響的是出生率這個人口結(jié)構(gòu)指標(biāo)，我們主要將年齡按照0-4歲、5-9歲、10-14歲、15-19歲、20-24歲、25-29歲、30-34歲、35-39歲、40-44歲、45-49歲、50-54歲、55-59歲、60-64歲、65-69歲、70-74歲、75-79歲、80-84歲、85-89歲、90-94歲、95歲以上進行分組，然后運用Leslie模型進行建模求解.

3.2 模型的建立

將男女性別進行分組，列向量是以女性某一初始時期的分年齡別人口數(shù)，分別用年齡別生育率和死亡率左乘年齡別人口數(shù)的列向量，得到的新的列向量，就是對未來女性人口的預(yù)測.然后，根據(jù)男女比例來推算出總的人口規(guī)模.

第t+1年為第1年齡組的女性人數(shù)為

第t+1年為第i+1年齡組的女性人口是從第t年第i年齡組存活下來的人口數(shù)：

構(gòu)造Leslie矩陣

其中i?[i1,i2]時,bi=0

則（3.1）和（3.2）式可記為：

進一步地推公式可得到Leslie矩陣模型的預(yù)測公式：

所以只要已知L矩陣及初始女性人口分布向量x（0），就可以求出第t年女性人口的分布數(shù)量，從而再根據(jù)男女性別比推算出總?cè)丝诘母黜椫笜?biāo).

運用MATLAB軟件,構(gòu)建Leslie人口預(yù)測模型，預(yù)測出全面二孩政策下，山西翼城區(qū)未來10-20年按年齡劃分的人口結(jié)構(gòu).使用EXCEL繪制折線圖反映A地不同年齡組人口數(shù)的變化趨勢，見圖3、圖4.

圖3 全面二胎政策對山西翼城不同年齡組人口數(shù)的影響

圖4 MATLAB運行結(jié)果

3.3 結(jié)果分析

在全面實行二孩政策時，觀測表格數(shù)據(jù)和散點圖，可知青壯年人口數(shù)和少年兒童人口數(shù)在總體上呈上升趨勢，上升幅度較為平緩，老年人口數(shù)在總體上呈下降趨勢，下降幅度也較為平緩.這說明，當(dāng)我國全面實行二孩政策時，在未來十幾年內(nèi)，老齡化問題有所減輕，結(jié)合中國當(dāng)下國情及山西翼城區(qū)具體情況，分析可得在未來幾十年內(nèi)放開二孩政策是對人口結(jié)構(gòu)可持續(xù)發(fā)展比較有利的，因此山西翼城區(qū)因積極響應(yīng)這項政策.

4 結(jié)束語

本文運用灰色預(yù)測和Leslie模型，模型完善，預(yù)測數(shù)據(jù)較為準(zhǔn)確，貼近真實數(shù)據(jù)，比較適合用于解決同類問題.運用Leslie模型建立年齡結(jié)構(gòu)的離散模型，并通過合理假設(shè)，在時間跨度不大的前提下，對人口數(shù)量僅此進行了預(yù)測，得到人口數(shù)量變化趨勢圖，利于分析問題.

〔1〕楊桂元.數(shù)學(xué)建模[M].上海:上海財經(jīng)大學(xué)，2015.

〔2〕楊桂元，朱家明.數(shù)學(xué)建模競賽優(yōu)秀論文評析[M].安徽:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013.

〔3〕姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型（第四版）[M].北京:高等教育出版社，2011.

〔4〕楊繼奎.關(guān)于長江水質(zhì)污染預(yù)測的兩種數(shù)學(xué)模型[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2011(03).

〔5〕韓曉慶.基于Leslie模型中國未來人口策略模擬研究[D].大連:東北財經(jīng)大學(xué),2012.

〔6〕楊華龍,劉金霞,鄭斌.灰色預(yù)測GM(1,1)模型改進及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識,2011(23).

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〔8〕高德寶,朱煥.深圳市人口預(yù)測優(yōu)化模型的構(gòu)建及應(yīng)用[J].八一農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報，2017（1）：140-143.

C924.2

A

1673-260X（2017）07-0103-03

2017-03-16

國家自然科學(xué)項目（11601001）；國家級大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項目（201610378172）；安徽財經(jīng)大學(xué)教研項目（acjyzd201429）