一類具有安全干預(yù)措施的禽流感傳播模型

王來全,夏米西努爾·阿不都熱合曼

（1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，新疆 昌吉 831100；2.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046）

一類具有安全干預(yù)措施的禽流感傳播模型

王來全1,夏米西努爾·阿不都熱合曼2

（1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，新疆 昌吉 831100；2.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046）

考慮了一類具有安全干預(yù)措施的禽流感傳播模型,給出了禽類系統(tǒng)和人禽共患系統(tǒng)的無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定和地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定的條件.進(jìn)一步研究了疾病在人群中的持久性,討論了安全干預(yù)措施在禽流感預(yù)防中的效果[1].

禽流感；安全干預(yù)措施；基本再生數(shù)；漸近穩(wěn)定

1 引言

禽流感是一種人禽共患的致命性流感疾病,對養(yǎng)殖業(yè)和公共衛(wèi)生危害嚴(yán)重，雖然疫苗的研究取得了很大發(fā)展,但由于禽流感病毒抗原復(fù)雜且易變異,亞型多且各亞型間缺乏明顯的交叉免疫,給疫苗的應(yīng)用帶來了很大的困難,預(yù)防禽流感仍需采取嚴(yán)格的生物安全措施.近年來,對禽流感流行病學(xué)特征的研究成果較多[1-4]，應(yīng)用傳染病數(shù)學(xué)模型揭示禽流感傳播規(guī)律的研究逐漸重視[5],文[6-7]研究了對患有禽流感的人群實(shí)施分段治療的傳播模型,文[8]討論了具有飽和治療率的SIR模型.但很少有人研究具有安全干預(yù)措施的禽流感傳播模型的穩(wěn)定性,為此，我們討論了具有干預(yù)措施的禽流感傳播模型,說明安全干預(yù)措施對預(yù)防禽流感的傳播具有良好的效果.在本文,我們把禽場工作人員或與禽類密切接觸的人群視為高危人群,其他人群為低危人群,且在感染率不同的情況下,假設(shè)對高危人群實(shí)施安全干預(yù)措施,討論了禽類系統(tǒng)和人禽共患系統(tǒng)的無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和疾病的持久性.最后,分析了安全干預(yù)措施對預(yù)防禽流感傳播的效果,為控制禽流感在人群中蔓延提供策略.

2 數(shù)學(xué)模型的建立

X(t)表示易感禽類數(shù)量，I1(t)表示禽類感染的數(shù)量，S1(t)，S2(t),I2(t),R(t)分別表示t時刻低危易感、高危易感、染病和康復(fù)的人群數(shù)量，Q為禽類輸入常數(shù)，d為禽類的自然死亡率，m1為對禽類的溢出率（因患有禽流感進(jìn)行捕殺移除等），β1為禽類的感染率，c1為易感禽類與病禽的有效接觸次數(shù),M為人群輸入常數(shù)，v1為低危人群向高危人群的轉(zhuǎn)化率,v0為對高危易感人群實(shí)施的安全干預(yù)措施，β2,β3分別是低危和高危易感人群接觸病禽的感染率,且β3＞β2,μ為人群的自然死亡率,m2為人群的溢出率,c2,c3為在單位時間內(nèi)病禽與低危和高危人群發(fā)生接觸行為的平均次數(shù),且c3＞c2，k為對染病人群的治療率,根據(jù)生物意義,以上參數(shù)均大于0.其中:N1(t)=X(t)+I1(t),N2(t)=S1(t)+S2(t)+I2(t)+R(t).假設(shè)模型滿足初始條件X(0)＞0,Ii(0)≥0,Si(0)＞0(i=1,2),R(0)≥0.

3 禽類系統(tǒng)分析

r0＞1時,系統(tǒng)(1)的前兩個方程不含S1(t),S2(t),I2(t),R(t),因此,要分析系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)e*的全局穩(wěn)定性只需研究如下系統(tǒng)

定理1當(dāng)r0≤1時,e0是全局漸近穩(wěn)定的.

顯然,系統(tǒng)(2)有唯一的地方病平衡點(diǎn)e*,由(2)在e*處Jacobian矩陣的特征值得,當(dāng)r0＞1時,地方病平衡點(diǎn)e*局部漸近穩(wěn)定.下面應(yīng)用Bendixson-Dulac原理,證明系統(tǒng)(2)不存在周期解,說明地方病平衡點(diǎn)e*是全局漸近穩(wěn)定的.

定理2當(dāng)r0＞1時,系統(tǒng)(2)不存在周期解.

因此,系統(tǒng)(2)不存在周期解，從而得到如下定理.

定理3當(dāng)r0＞1時,地方病平衡點(diǎn)e*全局漸近穩(wěn)定.

4 人禽共患禽病系統(tǒng)分析

考慮人禽共患禽病系統(tǒng)，則只需討論如下系統(tǒng)

當(dāng)r0≤1時,易得系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)

r0＞1時,定義病禽感染人群系統(tǒng)的基本再生數(shù)

當(dāng)r0＞1,且R0＞1時，系統(tǒng)(2)存在正平衡點(diǎn)

其中:

類似定理1,易于得到如下定理.

定理4當(dāng)r0≤1時,系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定.

下面我們分析系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn)E*的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性.令則系統(tǒng)(3)在點(diǎn)處的線性近似方程為

其中:

我們通過討論系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)(0,0,0,0)處的全局漸近穩(wěn)定性來說明系統(tǒng)(3)在地方病平衡點(diǎn)E*(S1*,S2*,I2*,R*)處的局部漸近穩(wěn)定性[9].

定理5如果r0＞1，且R0＞1,那么系統(tǒng)(3)的地方病平衡

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù):V(x,y,z,w)={x(t)+y(t)+z(t)+w(t)}2,沿著系統(tǒng)（4）對V(x,y,z,w)求導(dǎo)數(shù)得:

因而,當(dāng)r0＞1,且R0＞1時,要使V(x,y,z,w)=0當(dāng)且僅當(dāng)x(t) =y(t)=0,z(t)=w(t)=0根據(jù)Lyapunov-Lasalle定理,地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

5 安全干預(yù)措施在禽流感預(yù)防中的效果

安全干預(yù)措施主要有:強(qiáng)化高危易感人群的健康教育,加強(qiáng)疫情監(jiān)測,做好對養(yǎng)禽人員的消毒防護(hù),妥善處理禽類的糞便、病禽飲用過的水源等.在傳染病學(xué)中,基本再生數(shù)R0是區(qū)分疾病流行與否的閾值,為此我們討論基本再生數(shù)R0的相關(guān)參數(shù):安全干預(yù)措施v0與R0的關(guān)系.當(dāng)r0＞1時,對R0關(guān)于安全干預(yù)措施v0求導(dǎo)數(shù)得

類似的,我們討論基本再生數(shù)R0的相關(guān)參數(shù):禽類因病捕殺的溢出率m1與R0的關(guān)系進(jìn)行討論,當(dāng)r0＞1時,對R0關(guān)于禽類溢出率m1求導(dǎo)數(shù)得

顯然,基本再生數(shù)R0關(guān)于安全干預(yù)措施v0為單調(diào)遞減的函數(shù),故對高危易感人群實(shí)施安全干預(yù)措施可以降低禽流感在人群的傳播.同理,由(6)式可知,禽類的溢出率m1與R0成單調(diào)遞減關(guān)系,進(jìn)而說明了及時捕殺染病的禽類是控制禽流感在人群中傳播的有效途徑.

6 結(jié)論

我們考慮了一類具有安全干預(yù)措施的禽流感傳播模型,得到了禽類系統(tǒng)中禽流感流行的基本再生數(shù)r0和人群中禽流感傳播的基本再生數(shù)R0,當(dāng)r0＜1時,無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn),當(dāng)r0＞1且R0＞1時,地方病平衡點(diǎn)持久.最后,應(yīng)用禽流感傳播模型評估了對高危人群實(shí)施安全干預(yù)措施和及時捕殺染病的禽類對預(yù)防禽流感傳播的影響.

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O175.1

A

1673-260X（2017）07-0004-02

2017-04-03

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助（11261056）；昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)課題（CJZY2016026）