基于Ito隨機(jī)微分方程大壩實(shí)時(shí)性態(tài)預(yù)測方法

郭巖虎

（昌吉州水利局重點(diǎn)水利工程建設(shè)管理處，新疆 昌吉831100）

基于Ito隨機(jī)微分方程大壩實(shí)時(shí)性態(tài)預(yù)測方法

郭巖虎

（昌吉州水利局重點(diǎn)水利工程建設(shè)管理處，新疆 昌吉831100）

針對大壩實(shí)時(shí)性態(tài)預(yù)測方法精度，首先基于Ito隨機(jī)微分方程對某壩的多年揚(yáng)壓力監(jiān)測極值建立GM（1，1）了實(shí)測序列預(yù)測模型，并根據(jù)建立模型的殘差序列構(gòu)建了Markov殘差模型，其次對比分析了GM（1，1）殘差預(yù)測模型和Markov殘差模型。最后，綜合GM（1，1）模型和Markov殘差模型建立灰色Markov模型，并利用灰色Markov模型預(yù)測揚(yáng)壓力的極大值。計(jì)算結(jié)果表明，建立的灰色Markov模型不僅能提高預(yù)報(bào)精度還能真實(shí)地反映其過程的擺動(dòng)性。

Ito隨機(jī)微分方程；灰色Markov模型；殘差辨識；關(guān)聯(lián)度；預(yù)報(bào)精度

Ito方程作為一種研究隨機(jī)過程的重要方法，涉及了眾多領(lǐng)域。其方程的解過程是Markov過程。在大壩安全監(jiān)測領(lǐng)域，根據(jù)其建立的數(shù)學(xué)模型，不僅能提高預(yù)報(bào)精度還能真實(shí)地反映其過程的擺動(dòng)性。在進(jìn)行大壩安全監(jiān)測資料分析時(shí)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型缺失殘差分析，如文獻(xiàn)［2］采用混沌學(xué)構(gòu)建的預(yù)報(bào)模型，文獻(xiàn)［3］構(gòu)建的統(tǒng)計(jì)、確定性及混合模型對大壩的安全評價(jià)。這些傳統(tǒng)模型的不僅預(yù)報(bào)精度不高還不能真實(shí)地反映其過程的擺動(dòng)性。有關(guān)學(xué)者通過構(gòu)建殘差模型預(yù)測大壩安全度。但殘差值存在一定缺陷，并不是所有的值都是正值，也沒有逐漸遞增的趨勢，綜上，構(gòu)建的傳統(tǒng)殘差模型辨識殘差序列并不恰當(dāng)?；诖?，基于Ito隨機(jī)微分方程對某壩的多年揚(yáng)壓力監(jiān)測極值建立GM（1，1）了實(shí)測序列預(yù)測模型，并引入Markov模型對殘差進(jìn)行辨識。計(jì)算結(jié)果表明，建立的灰色Markov模型不僅能提高預(yù)報(bào)精度還能真實(shí)地反映其過程的擺動(dòng)性。

1 模型簡介

1.1 Ito隨機(jī)微分方程［4］

設(shè)隨機(jī)過程x={x（t），t≥0}滿足如下Ito積分：

對存在t0和t在區(qū)間0≤t0

或等價(jià)地寫作Ito微分的形式

式中 b（t，x），σ（t，x），為二元連續(xù)函數(shù)，對存在x屬于R，且存在和σ（t）都屬于，當(dāng)同時(shí)滿足兩x（s））ds是一般的均方積分，而個(gè)條件時(shí)，則稱x為Ito過程。

式（1）被稱為Ito隨機(jī)積分方程，式（2）被稱為Ito隨機(jī)微分方程。在Ito隨機(jī)過程的定義式（1）中，則是Ito積分。

相關(guān)學(xué)者研究表明，對于更廣義上的一般隨機(jī)微分方程，不僅能夠確保方程解的存在性和唯一性，還能進(jìn)一步找到其漸進(jìn)解。

1.2 構(gòu)建灰色Markov數(shù)學(xué)預(yù)報(bào)模型

1.2.1 常規(guī)數(shù)學(xué)預(yù)報(bào)模型計(jì)算步驟

1.2.1.1 確定構(gòu)建模型類型

假定原始數(shù)據(jù)為x（0）（k）（k=1，2，…，n）；累加數(shù)據(jù)為模型為：

式中 a，b分別為構(gòu)建模型求得的參數(shù)。

首先建立數(shù)據(jù)矩陣、數(shù)據(jù)向量，然后作最小二乘計(jì)算，則模型參數(shù)為：

最終解微分方程得到的響應(yīng)函數(shù)為：

1.2.1.2 殘差辨識

為提高預(yù)測數(shù)據(jù)序列及大壩原監(jiān)測數(shù)據(jù)序列的關(guān)聯(lián)度，需進(jìn)行殘差辨識：

式中 ε（0）（l）為第l時(shí)刻的殘差；x（1）（l）為原數(shù)據(jù)的累加值；（l）為預(yù)測值的累加值。

1.2.2 殘差辨識的Markov改進(jìn)

1.2.2.1 Markov過程的基本原理

Markov過程是指某過程只與t0時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，與其他時(shí)刻狀態(tài)無關(guān)。時(shí)間與狀態(tài)為離散情況Markov過程被稱之為Markov鏈［4］。 在大壩安全監(jiān)測資料中，測點(diǎn)的監(jiān)測物理量大小是典型的Markov隨機(jī)過程，其時(shí)間與狀態(tài)均為離散情況，屬于Markov鏈。

1.2.2.2 Markov過程

大壩監(jiān)測資料長序列數(shù)據(jù)中，設(shè)大壩的揚(yáng)壓力值H，則H∈（Hmin，Hmax），令ΔH=Hmax-Hmin，為建立一一對應(yīng)的時(shí)間、空間狀態(tài)模型，需將狀態(tài)空間區(qū)間進(jìn)行離散化，則：

式中 n為區(qū)間個(gè)數(shù)，n=0，1，2，…；h為離散后的子空間。

將長序列數(shù)據(jù)離散化后，用H1，H2，…，Hn表示，按時(shí)序?qū)⑥D(zhuǎn)移時(shí)間取為t1，t2，…，tn，則表示數(shù)列由狀態(tài)Hi經(jīng)過k步變?yōu)镠j的概率。將以往資料的出現(xiàn)頻率作為概率的近似值：

從而可得k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

在確定k時(shí)，一般需考察一步轉(zhuǎn)移概率。設(shè)預(yù)測狀態(tài)為Hm狀態(tài)，則考察R（1）中的第m行若，則可認(rèn)為下一時(shí)刻最有可能由Hm狀態(tài)轉(zhuǎn)向Hn狀態(tài)。若矩陣R（1）中的第m行有多個(gè)概率相似或一致，狀態(tài)的未來轉(zhuǎn)向便很難確定。這就需要考察二步R（2）或者二步以上R（k）（k≥3）的轉(zhuǎn)移概率矩陣［5］。

接下來求得轉(zhuǎn)向下一時(shí)段狀態(tài)的概率，并確定其修正值，最后將修正值加上原預(yù)測值，便可得到Markov修正的灰色預(yù)測值［5］。

2 實(shí)例分析

依托某水電站大壩3#壩段2000～2014年V3-1測點(diǎn)各年的15組揚(yáng)壓力極大值為例，構(gòu)建其長序列G（1，1）數(shù)學(xué)模型，對預(yù)報(bào)殘差進(jìn)行殘差辨識，對比分析常規(guī)灰色模型與改進(jìn)灰色Markov模型，原數(shù)據(jù)為：

x（0）=［x0（1），x（0）（2），…，x（0）（15）］=［134.12，131.13，…，122.98］

x（1）=［x（1）（1），x（1）（2）， … ，x（1）（15）］ =［134.12，265.25，…，1968.35］

根據(jù)上述數(shù)據(jù)構(gòu)建GM（1，1）模型，可得：

由此得出離散響應(yīng)為：

計(jì)算結(jié)果如表1。由表1可知，揚(yáng)壓力極大值的殘差序列有正有負(fù)，且累加值也并未出現(xiàn)遞增趨勢，模型的精度較低，且未體現(xiàn)其擺動(dòng)性。即不能建立常規(guī)的殘差模型。為體現(xiàn)常規(guī)殘差模型性質(zhì)，需對原始監(jiān)測數(shù)據(jù)其加以修正。且數(shù)據(jù)的相對殘差在（-5.67%，5.34%）之間。

表1 實(shí)測值與預(yù)測值及殘差統(tǒng)計(jì) 單位：m

由Markov鏈基本原理可知，預(yù)報(bào)精度是由數(shù)據(jù)極大值相對殘差決定，數(shù)據(jù)相對殘差區(qū)間離散化程度越高，則大壩安全監(jiān)測資料的預(yù)報(bào)精度相對越高。將相對殘差區(qū)間離散化為4個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)區(qū)間［6］，4種狀態(tài)分別代表灰色預(yù)測的相對殘差，如表2，表3。

先由2000～2014年V3-1測點(diǎn)各年的15組揚(yáng)壓力極大值在狀態(tài)區(qū)間出現(xiàn)的頻率，結(jié)合式（9）求出近似轉(zhuǎn)移概率，最后求得殘差的步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

表2 狀態(tài)區(qū)間劃分

由表3可知，2000～2003年揚(yáng)壓力極大值屬于狀態(tài)Ⅲ，設(shè)初始矩陣［0，0，1，0］，從而可通過R（1）確定下一年所屬狀態(tài)，以此類推，可得出之后各年所屬的狀態(tài)。設(shè)轉(zhuǎn)移概率為P的相對殘差的區(qū)間為［?i，?j］，則Markov修正值［7］為：

表3 數(shù)據(jù)相對殘差狀態(tài)

式中 maxk（k=1，2，3，…）為不同年份的揚(yáng)壓力極大值。

所得修正值如表4。由表4看出：①殘差序列的精度有大幅提高。與灰色預(yù)測數(shù)據(jù)疊加處理，可得Markov修正值。②運(yùn)用Markov數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正，絕對殘差降低幅度明顯。最后得出，預(yù)測數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)度從數(shù)學(xué)模型的0.5525提高到了Markov數(shù)學(xué)模型修正值的0.6708。

表4 預(yù)測結(jié)果統(tǒng)計(jì) 單位：m

3 結(jié)語

（1）局部線性化Markov鏈模型分段線性逼近算法，計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性和實(shí)用性。

（2）將Markov隨機(jī)過程建立的Markov預(yù)測模型應(yīng)用于灰色預(yù)測模型的殘差辨識過程中，解決了常規(guī)的殘差模型的有正有負(fù)及沒有遞增趨勢的缺點(diǎn)，提高了預(yù)報(bào)精度。

（3）在求得轉(zhuǎn)移概率時(shí)，有效數(shù)據(jù)資料越多，即殘差序列的樣本容量越大，預(yù)報(bào)精度越高。

（4）由于Markov預(yù)測對監(jiān)測數(shù)據(jù)要求較高，考慮到大壩建成初期的監(jiān)測數(shù)據(jù)波動(dòng)性較大，應(yīng)刪除。

［1］吳中如.水工建筑物安全監(jiān)控理論及其應(yīng)用［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］包騰飛，吳中如，顧沖時(shí).基于統(tǒng)計(jì)模型與混沌理論的大壩安全監(jiān)測混合預(yù)測模型［J］.河海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003（5）：534-538.

［3］蘇懷智，吳中如，戴會(huì)超.初探大壩安全智能融合監(jiān)控體系［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2005（1）：122-126，52.

［4］張炳根，趙玉芝.科學(xué)與工程中的隨機(jī)微分方程［M］.北京：海洋出版社，1980.

［5］張鑫，任永泰，王福林，等.基于改進(jìn)灰色馬爾科夫模型的年降水量預(yù)測［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2011（11）：51-57.

［6］董勝，劉德輔.年極值水位的灰色馬爾科夫預(yù)報(bào)模型［J］.水利學(xué)報(bào)，1999（1）：61-65.

［7］黃傳勝，張家生.深基坑開挖變形的灰色馬爾科夫鏈預(yù)測方法［J］.鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2011（2）：71-75.

（責(zé)任編輯：王艷肖）

A real-time state prediction method of dam based on Ito stochastic differential equation

GUO Yan-hu
（Changji Water Conservancy Bureau Key Water Conservancy Project Construction Administrative Office， Changji 831100，China）

Aiming at the problem of accuracy of real time state prediction method.First of all， based on the Ito stochastic differential equation， the GM （1，1） prediction model is established for monitoring the extreme pressure of a dam， and the Markov residual model is constructed according to the residual sequence.Secondly， the GM （1，1） residual prediction model and Markov residual model are compared and analyzed.Finally， the GM （1，1） model and the Markov residual model are used to establish the grey Markov model，and the maximum value of the uplift pressure is predicted by using the grey Markov model.The results show that the grey Markov model can not only improve the prediction accuracy，but also truly reflect the swing of the process.

Ito stochastic differential equation； grey Markov model； residual identification； correlation degree； prediction accuracy

TV698.1

B

1672-9900（2017）03-0091-04

2017-03-14

郭巖虎（1974-），男（漢族），新疆昌吉人，工程師，主要從事工程管理方面工作，（Tel）13899677308。