非平穩(wěn)信道下極化碼的評估

達芳+方勇

摘 要： 極化碼是基于信道極化現(xiàn)象的一種新的信道編碼方法。直到現(xiàn)在，許多研究極化碼的學者仍致力于在平穩(wěn)信道下對極化碼進行應(yīng)用研究。在此，主要研究將極化碼應(yīng)用于非平穩(wěn)信道，此研究需要利用蒙特卡洛方法來進行。將一個特殊二進制對稱信道（BSC）的交叉概率的變化視為服從正弦函數(shù)分布。根據(jù)大量的實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當極化碼應(yīng)用于非平穩(wěn)信道下時，仍然存在信道極化現(xiàn)象，但是其極化現(xiàn)象并沒有像極化碼應(yīng)用于平穩(wěn)信道那樣的顯著。

關(guān)鍵詞： 信道極化； 極化碼； 非平穩(wěn)信道； 蒙特卡洛方法

中圖分類號： TN711?34； TN911.2 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）14?0001?04

Abstract： The polarization code is a new channel coding method based on the phenomenon of channel polarization. Up to now， most of researches on polarization code are devoted to the applications of polarization codes in stationary channels. In this paper， the research on polarization codes is applied to nonstationary channels， in which Monte Carlo method should be used for it. The variation of crossover probability of the special binary symmetric channel （BSC） is regarded as the sine function distribution. According to numerous experimental results， it is found that the phenomenon of channel polarization still exists when polarization codes are applied to nonstationary channels， but the polarization phenomenon is not so obvious as that when polarization codes are applied to stationary channels.

Keywords： channel polarization； polarization code； nonstationary channel； Monte Carlo method

0 引 言

在通信理論中，傳統(tǒng)的編碼問題可以被分為兩大類，即信道編碼與信源編碼。信道編碼，可以提高信號傳輸?shù)目煽啃?，這對于信息論領(lǐng)域來說是十分重要的[1]。信道碼可以大致分為隨機碼和結(jié)構(gòu)碼。Turbo碼 [2]和低密度奇偶校驗碼[3]（LDPC）是兩種代表性的隨機碼，并長時間對結(jié)構(gòu)碼造成壓倒性的優(yōu)勢。然而在2008年，E.Arikan提出一種新的構(gòu)造碼：極化碼，并且證明了它可以近乎達到香農(nóng)極限[4]。從那時起，極化碼和其他構(gòu)造碼又重新成為了熱門話題。自從極化碼的出現(xiàn)，一些學者將極化碼應(yīng)用于聯(lián)合信源信道編碼[5]，分布式信源編碼[6]和級聯(lián)極化碼[7]。盡管Arikan提出了利用計巴氏系數(shù)來進行遞歸計算[4]，但是它的應(yīng)用范圍是非常狹窄的。在2010年，Mori將極化碼由二維信道拓展到了多維信道[8]，這使得極化碼有了更廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。然而，研究學者們主要將注意力集中在了平穩(wěn)信道下的極化碼。事實上，非平穩(wěn)信道則是更常見的，因其信道特性是不穩(wěn)定的甚至是波動的。自然，會猜想在非平穩(wěn)信道下，極化現(xiàn)象是否還能存在，這顯然是一個極具意義的挑戰(zhàn)。因為非平穩(wěn)信道在人類社會生活中更加普遍并且難以規(guī)律掌控，研究在非平穩(wěn)信道下的極化碼有利于今后極化碼更普遍地應(yīng)用于生活多方面。通過大量的實驗發(fā)現(xiàn)，當極化碼應(yīng)用于非平穩(wěn)信道時，確實存在信道極化現(xiàn)象。本文主要給出實驗和數(shù)據(jù)說明，對極化碼譯碼做出改進，對信道容量計算方法進行改進。

1 背景回顧

1.1 信道極化

信道組合過程與信道拆分過程是基于鏈式法則的[1]。信道組合過程是通過特定的方法將N個二進制離散無記憶信道（B?DMC）W整合為一個獨立的N維矢量信道。信道拆分過程是將組合的矢量信道拆分為一組相關(guān)的N個信道。根據(jù)這個原理，E.Arikan提出一種構(gòu)造信道極化使用方法，此方法正是由信道組合與信道拆分組成，并且在信道容量方面可以達到無損。

1.2 極化碼

極化現(xiàn)象是用來構(gòu)造極化碼從而可以達到對稱信道容量I（W）。極化碼的編碼原理是建立一個系統(tǒng)通過分離的信道來分別傳遞每一個二進制輸入。然而，只有接近于1的信道來傳遞有用的信息。

每一個二進制輸入向量都將編碼為碼字。再將碼字送入一組非平穩(wěn)信道，其交叉概率為。在極化碼譯碼過程中，將改變4個不同的參數(shù)來觀察其極化現(xiàn)象。連續(xù)刪除譯碼（SC）器是利用和來得到的估計。如果，意味著發(fā)生了譯碼錯誤。在估計完成后，誤碼率（BER）可以被計算出來。

2 非平穩(wěn)信道下的極化碼譯碼

2.1 非平穩(wěn)對稱信道

如圖1所示，兩種概率將被進行測試，N?1 024和N?4 096），重復(fù)次數(shù)設(shè)置為1 024次。非平穩(wěn)信道BSC的信道容量可以由平穩(wěn)信道BSC推出：

式中，為每個符號的誤碼率。

實驗步驟總結(jié)如下：

（1） 隨機生成信源序列。

（2） 編碼為碼字，將碼字送入非平穩(wěn)信道BSC，其交叉概率為。

（3） 利用SC算法來譯碼得到輸出。與通常的極化碼譯碼算法的不同之處是估計時假設(shè)均是已知的。

（4） 對估計進行多次試驗，目的是通過比較與來得到誤碼率。根據(jù)BER，利用式（1）來計算非平穩(wěn)信道下的信道容量。這種方法稱為蒙特卡洛方法。

2.2 實驗方法

蒙特卡洛方法也稱為隨機仿真方法，根據(jù)重復(fù)隨機抽樣來得到數(shù)值結(jié)果。眾所周知，對于普遍的B?DMC信道，是沒有有效的算法來計算的。因此，蒙特卡洛方法則被認為是一種最合適的方法。設(shè)送入似然比（LR）遞歸第一層的值為初始參數(shù)，將蒙特卡洛方法應(yīng)用于非平穩(wěn)信道是為了獲得BER，然而，由于不同的初始參數(shù)，BER的值可能會不同。初始參數(shù)的值分別設(shè)定為，其中。

SC譯碼器由N個決策元素（DEs）組成，其決策元素是從1～N進行激活的。LR遞歸的計算也是從1～N進行的，易得出。當給定原始值與不同概率值時，該決策將會定義為：

3 非平穩(wěn)信道下極化碼的應(yīng)用

信道極化現(xiàn)象是一部分信道容量趨近于1而另一部分趨近于0。當塊的長度增大時，信道極化現(xiàn)象越明顯。在此，需要提前做一些準備工作。表示隨機變量概率密度函數(shù)，則的熵定義為。BSC的信息容量為。緊接著，需要計算每個參數(shù)的熵值與信息容量值。對于，計算結(jié)果見表1。

對于，計算結(jié)果見表2。

3.1 平穩(wěn)信道下碼的性能

BEC信道下的極化現(xiàn)象如圖2（a）所示，其刪除概率，所有的可以通過式（4）計算得出[3]。由于有效的遞歸使得BEC是一個很合適的信道來構(gòu)造極化碼，但其遞歸公式只適用于BEC。本文實驗中，的遞歸計算公式如下：

由于在BSC信道下沒有有效的算法，因此在BSC信道下選用蒙特卡洛方法來構(gòu)造極化碼，如圖2（b）所示。

3.2 非平穩(wěn)信道下碼的性能

將非平穩(wěn)信道設(shè)置為BSC而不是BEC，是因為變化的交叉概率在遞歸關(guān)系中并不適用。已知BEC信道存在遞歸關(guān)系來構(gòu)造極化碼，因此將非平穩(wěn)信道設(shè)置為BSC，且利用蒙特卡洛隨機仿真方法來構(gòu)造非平穩(wěn)信道下的極化碼是正確的。如圖3、圖4所示，在非平穩(wěn)BSC下，極化現(xiàn)象仍然存在。值得注意的是在不同的信道或不同的碼字長度下，極化圖像均是不同的。從圖2與圖3中可以看出在平穩(wěn)信道下的極化現(xiàn)象比在非平穩(wěn)信道下的極化現(xiàn)象更加顯著。從圖像的角度出發(fā)，平穩(wěn)信道中大量的點都趨近于0或1，中間的點較少，即極化程度比非平穩(wěn)信道下較高。

4 實驗比較

比較BEC與非平穩(wěn)信道下極化碼的構(gòu)造情況，在非平穩(wěn)BSC下，對于較小的值，更趨近于0，對于較大的值，更趨近于1，這一點與在BEC信道下是相同的。對處于中間值的，的值是振蕩的，并且在非平穩(wěn)信道下，中間點的值更加擴散，點數(shù)目也更多。另外，BEC信道下極化圖像是中心對稱的，而非平穩(wěn)信道下的極化圖像并無此特征，但平穩(wěn)信道BSC下的極化圖像也無此特征，這是由于BSC信道特征采取的不同方法所決定的。

同樣，對比平穩(wěn)BSC信道與非平穩(wěn)BSC信道，圖2與圖3有許多相同之處，原因是他們運用相同的處理方法。但是平穩(wěn)BSC信道極化現(xiàn)象仍然比非平穩(wěn)信道顯著。非平穩(wěn)信道下的點更加散亂。由于不同信道下的處理方法不同，會導致極化碼信道容量不同，則最后極化現(xiàn)象就會有差別。在BEC信道下，極化碼的構(gòu)造是通過嚴格的遞歸公式，而BSC信道下是利用不斷隨機仿真試驗來獲得BER，從而計算信道容量。根據(jù)圖3～圖5，可以計算出信道容量所占區(qū)間的比率，容量趨近于1與趨近于0的結(jié)果如表3～表5所示。

表3～表5可以作為一種在非平穩(wěn)信道下的極化現(xiàn)象的評估指標，可以根據(jù)其容量比率來判斷極化程度。極化碼出現(xiàn)的一個重大意義是利用其無損信道來傳輸有用信息，因此，評估極化性能時會根據(jù)這一指標進行。如結(jié)果所示，不同的初始參數(shù)也會導致不同程度的極化現(xiàn)象，當交叉概率越大，圖像中更多的點趨近于0，反之，則更趨近于1。

在實驗中，4個初始參數(shù)作為LR第一層迭代所需的參數(shù)，根據(jù)表格易得，當初始參數(shù)為和時，具有相似的結(jié)果，更重要的是，在初始參數(shù)為和時，極化現(xiàn)象更加規(guī)則、明顯。再比較圖3與圖5，當N越大時，極化現(xiàn)象越明顯，這與文獻[4]具有相同的結(jié)論。

5 結(jié) 語

在現(xiàn)實生活中的信道通常是非平穩(wěn)的，而極化碼的基本原則意味著極化碼應(yīng)當可以被應(yīng)用于各種信道。本文就是基于這一點來展開的?？傮w來說，能得出結(jié)論極化碼與極化現(xiàn)象在非平穩(wěn)信道下是可行的。本文利用實驗證明了極化現(xiàn)象在非平穩(wěn)信道下是仍然存在的，只是極化現(xiàn)象并沒有在平穩(wěn)信道下那樣顯著。另外，實驗結(jié)果也表明了當極化碼應(yīng)用于非平穩(wěn)信道時，可以通過改變修正譯碼參數(shù)來提高信道極化程度。在此之后，極化碼在非平穩(wěn)信道下的一些其他研究工作可以更加順利的展開。

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