模型參考自適應(yīng)PID控制在磁軸承中的應(yīng)用

張建生，馬嘯宇，王一夫，章竹耀，吳璇

（1.南通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，江蘇 南通 226019；2.常州工學(xué)院 電氣與光電工程學(xué)院，江蘇 常州 213002）

主動(dòng)磁浮軸承系統(tǒng)（Active Magnetic Bearing System）利用電磁力使軸承轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸?。?］，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速高、無(wú)機(jī)械磨損、無(wú)需潤(rùn)滑介質(zhì)，系統(tǒng)可維護(hù)性高，維護(hù)成本較低。懸浮技術(shù)的應(yīng)用條件相當(dāng)苛刻，目前應(yīng)用于軍工、航天等重要領(lǐng)域［2］。主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型表明其非線性且開環(huán)不穩(wěn)定，需增加其他環(huán)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸?。?］。

常規(guī)PID控制因算法簡(jiǎn)單、參數(shù)整定困難及魯棒性差等問(wèn)題，難以達(dá)到對(duì)主動(dòng)磁軸承轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮控制要求。文獻(xiàn)［3］采用改進(jìn)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制算法，找到某一最優(yōu)控制規(guī)律下的PID參數(shù)，該算法有較強(qiáng)的非線性映射能力、自學(xué)習(xí)及自適應(yīng)能力，但收斂速度慢、預(yù)測(cè)與訓(xùn)練能力有矛盾、從問(wèn)題中選取典型樣本實(shí)例組成訓(xùn)練集有很大難度。文獻(xiàn)［4］在分析模擬PID控制器與數(shù)字PID控制器優(yōu)缺點(diǎn)基礎(chǔ)上，提出數(shù)?；旌鲜絇ID控制器，使系統(tǒng)的響應(yīng)速度及參數(shù)調(diào)節(jié)能力得到一定改善，但仍屬于簡(jiǎn)單PID控制范疇，其固有缺點(diǎn)難以消除。文獻(xiàn)［5］研究了模糊自適應(yīng)PID控制，改善了系統(tǒng)的動(dòng)、穩(wěn)態(tài)性能，抗干擾能力及魯棒性較強(qiáng)，但算法的模糊規(guī)則及隸屬函數(shù)的建立完全憑經(jīng)驗(yàn)且規(guī)則較難建立。為此，將模型參考自適應(yīng)PID控制器應(yīng)用到主動(dòng)磁懸浮系統(tǒng)中，通過(guò)仿真分析驗(yàn)證其控制效果。

1 主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)建模

單自由度主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)原理如圖1所示。系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子采用上、下電磁鐵差動(dòng)激勵(lì)方式。圖中：Ur為參考輸入；Ul為信號(hào)調(diào)理電路處理位移信號(hào)值l后得到的電壓信號(hào)；Uε為Ur與Ul的差值信號(hào)；Uc為控制器輸出控制信號(hào)；I0為偏置電流；f1，f2分別為上、下電磁鐵對(duì)轉(zhuǎn)子的吸力；i為上、下電磁鐵吸力變化導(dǎo)致的電流改變值；l為轉(zhuǎn)子受到擾動(dòng)導(dǎo)致偏離平衡位置的距離。

圖1 單自由度主動(dòng)磁懸浮控制系統(tǒng)原理圖Fig.1 Principle diagram of active magnetic bearing control system with single degree of freedom

采用文獻(xiàn)［3-7］中的差動(dòng)激勵(lì)方式建模，得到系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為［8］

式中：Ki為電流剛度系數(shù)；Kl為位移剛度系數(shù)；μ0為真空磁導(dǎo)率；Aa為氣隙面積；N為線圈匝數(shù)；I0為偏置電流；l0為平衡點(diǎn)位置。令（1）式分母為零，發(fā)現(xiàn)有一正根存在，根據(jù)Routh判據(jù)判定系統(tǒng)為開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)［2，9］。

2 模型參考自適應(yīng)PID控制器

2.1 控制系統(tǒng)組成

將模型參考自適應(yīng)PID控制算法應(yīng)用到主動(dòng)磁懸浮軸承系統(tǒng)中，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 主動(dòng)磁懸浮軸承模型參考自適應(yīng)PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Structure diagram of reference adaptive control system for active magnetic bearing model

圖2中：yr為轉(zhuǎn)子初始穩(wěn)定懸浮位置；yp為轉(zhuǎn)子的實(shí)際位置；ym為轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮的理論參考位置；e為轉(zhuǎn)子從初始穩(wěn)定懸浮位置相對(duì)實(shí)際位置的偏差信號(hào)；em為自適應(yīng)控制誤差信號(hào)；u為模型參考自適應(yīng)PID控制器的輸出信號(hào)；yout為系統(tǒng)輸出響應(yīng)?？刂破饕赞D(zhuǎn)子所在位置與初始穩(wěn)定懸浮位置間的位移偏差作為控制輸入信號(hào)，根據(jù)算法建立的參考模型與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)模型比較得到自適應(yīng)控制誤差，再驅(qū)動(dòng)自適應(yīng)調(diào)節(jié)器調(diào)整PID控制器參數(shù)kp，ki，kd，以不斷減小系統(tǒng)誤差，得到的控制信號(hào)通過(guò)改變上、下電磁鐵線圈中的電流大小來(lái)調(diào)整轉(zhuǎn)子的位置，使轉(zhuǎn)子能夠穩(wěn)定懸浮。

2.2 控制算法推導(dǎo)

根據(jù)單自由度主動(dòng)磁軸承系統(tǒng)模型，以上、下電磁鐵中輸出電流i作為輸入量，以懸浮轉(zhuǎn)子受擾動(dòng)發(fā)生偏移經(jīng)位移傳感器檢測(cè)后獲得的輸出電壓Ul為輸出量，得到主動(dòng)磁軸承系統(tǒng)的輸入輸出開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中：Ks為位移傳感器增益。由（2）式可知，開環(huán)傳遞函數(shù)的相對(duì)階為2，故根據(jù)模型參考自適應(yīng)PID控制算法設(shè)被控對(duì)象的系統(tǒng)狀態(tài)方程［10-11］為

式中：xp為n維狀態(tài)向量；u為控制量；yp為輸出量；Ap為n×n矩陣；bp，hp為n×1向量。

根據(jù)（2）式和（3）式建立主動(dòng)磁軸承輸入輸出傳遞函數(shù)為

根據(jù)被控對(duì)象開環(huán)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)，選取磁懸浮軸承系統(tǒng)參考模型為

式中：Nm（s）＝1，λm＞0為參考模型增益；am1，am0為多項(xiàng)式一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)系數(shù)。Wm（s）的選取應(yīng)為穩(wěn)定最小相位系統(tǒng)并且與Wp（s）階數(shù)及相對(duì)階相同，還要有理想的動(dòng)態(tài)性能。Mm（s）和Nm（s）分別為n階和m階首項(xiàng)為1的Hurwitz多項(xiàng)式。

從（4）式、（6）式可知，被控對(duì)象及參考模型的傳遞函數(shù)相對(duì)階均為2，故Wm（s）不具有正實(shí)性，為保證 Wm（s）嚴(yán)格正實(shí)，引入一個(gè)多項(xiàng)式P（s），使 P（s）Wm（s）嚴(yán)格正實(shí)，取

式中：d0為可調(diào)參數(shù)；cT＝［c1，c2，…，cn-1］，dT＝［d1，d2，…，dn-1］cT，dT為參數(shù)可調(diào)向量；S（s）為n-1階首項(xiàng)為1的穩(wěn)定多項(xiàng)式；C（s），D（s）為n-2階多項(xiàng)式。

控制器以轉(zhuǎn)子所在位置與初始穩(wěn)定懸浮位置間的位移偏差作為控制輸入信號(hào)，根據(jù)算法建立參考模型與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)模型比較得到自適應(yīng)控制誤差em，驅(qū)動(dòng)自適應(yīng)調(diào)節(jié)器調(diào)整PID控制器參數(shù)kp，ki和kd，以不斷減小系統(tǒng)誤差，再通過(guò)控制器的輸出信號(hào)u改變上下電磁鐵線圈中電流大小以調(diào)整懸浮轉(zhuǎn)子懸浮位置，使轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。增量式PID控制算法［11］為

3 系統(tǒng)仿真與分析

單自由度磁軸承懸浮系統(tǒng)試驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示。相關(guān)參數(shù)：轉(zhuǎn)子質(zhì)量m＝12 kg，功率放大器增益 Ka＝3.5 A／V，電流剛度系數(shù) Ki＝418.25 N／A，位移傳感器增益 Ks＝5 000 V／m，位移剛度系數(shù)Kl＝-2.201 8×106N／m。單自由度主動(dòng)磁懸浮軸承控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。

圖3 單自由度磁軸承懸浮系統(tǒng)試驗(yàn)平臺(tái)Fig.3 Experimental platform of single degree of freedom magnetic bearing

圖4 單自由度主動(dòng)磁懸浮軸承控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Control system structure of active magnetic bearing with single degree of freedom

利用MATLAB／Simulink進(jìn)行系統(tǒng)仿真，以 C語(yǔ)言編寫磁懸浮軸承系統(tǒng)的模型參考自適應(yīng)PID控制算法［10-12］。未受擾動(dòng)時(shí)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線如圖5所示，PID控制器參數(shù)的整定曲線如圖6所示。

圖5 未受到擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線Fig.5 Output response curve of system without disturbance

圖6 PID參數(shù)整定曲線Fig.6 Tuning curve of PID parameters

由圖5、圖6可知，在無(wú)外部擾動(dòng)情況下，磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子可實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮且?guī)缀鯚o(wú)超調(diào)，響應(yīng)速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間ts≈0.03 s。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能均較好，此時(shí)得到控制器kp，ki，kd的整定參數(shù)分別為0.31，0.318，0.28。在 t＝0.1 s時(shí)給系統(tǒng)一個(gè)擾動(dòng)信號(hào)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線如圖7所示。經(jīng)過(guò)約0.02 s干擾信號(hào)被抑制，轉(zhuǎn)子回到穩(wěn)定懸浮位置，證明系統(tǒng)具備抗干擾能力。

圖7 受到擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線Fig.7 Output response curve of the system when the system is disturbed

常規(guī)PID控制算法與模型參考自適應(yīng)PID控制算法都能達(dá)到使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的目的。與常規(guī)PID控制算法相比，模型參考自適應(yīng)PID控制算法系統(tǒng)輸出響應(yīng)速度更快，超調(diào)量小，調(diào)節(jié)時(shí)間短，系統(tǒng)動(dòng)、穩(wěn)態(tài)性能更好（圖8）。

圖8 2種控制算法下系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線對(duì)比Fig.8 Comparison of output response under two kinds of control algorithm

4 結(jié)束語(yǔ)

常規(guī)PID控制因算法簡(jiǎn)單、參數(shù)整定困難及魯棒性差等問(wèn)題，難以達(dá)到對(duì)主動(dòng)磁軸承轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮控制要求，限制了其在高精度控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。模型參考自適應(yīng)PID控制通過(guò)參考模型與被控對(duì)象的比較，在線整定控制參數(shù)，使轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，在有擾動(dòng)情況下系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾及恢復(fù)能力，控制效果優(yōu)于常規(guī)PID控制。