磁懸浮復(fù)合轉(zhuǎn)子章動模態(tài)的最優(yōu)阻尼控制

賈日波，鄭世強，陳琪

(北京航空航天大學(xué) a.慣性技術(shù)重點實驗室;b.新型慣性儀表與導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室；c.高速磁懸浮電機技術(shù)及應(yīng)用工程技術(shù)研究中心，北京 100191)

磁懸浮軸承作為一種新型的支承部件，與傳統(tǒng)軸承相比，具有無摩擦、無需潤滑、轉(zhuǎn)速高和噪聲小等優(yōu)點，目前已在機床領(lǐng)域、航空航天領(lǐng)域和動力領(lǐng)域(如壓縮機、渦輪分子泵、汽輪發(fā)動機)得到了成功應(yīng)用[1]。磁懸浮復(fù)合真空分子泵是一種能為科學(xué)研究提供超潔凈、超高真空環(huán)境的新型儀器，其主要性能表現(xiàn)為抽速和真空度，而轉(zhuǎn)速上限很大程度上決定了這二者的上限。由于磁懸浮復(fù)合真空分子泵的轉(zhuǎn)子帶有大量葉片，其具有支承不對稱的特點，高速旋轉(zhuǎn)時的陀螺效應(yīng)非常明顯，其中章動模態(tài)對轉(zhuǎn)子高速下的穩(wěn)定性影響尤為明顯，因此抑制章動模態(tài)對轉(zhuǎn)子升速的影響，使其在高速下穩(wěn)定運行，對磁懸浮分子泵性能的提高和我國真空行業(yè)的發(fā)展具有重要的現(xiàn)實意義。

當(dāng)采用分散PID控制時，剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的2種渦動模態(tài)——進(jìn)動模態(tài)和章動模態(tài)，在高速時會因為低阻尼而變得不穩(wěn)定，使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)無法達(dá)到額定轉(zhuǎn)速。因此，傳統(tǒng)的PID控制難以滿足轉(zhuǎn)子的高速穩(wěn)定運行。針對磁懸浮轉(zhuǎn)子高速下的渦動失穩(wěn)問題，國內(nèi)外進(jìn)行了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[2]提出交叉反饋控制的思想，利用位移交叉對轉(zhuǎn)子高轉(zhuǎn)速運行時的進(jìn)動進(jìn)行抑制。文獻(xiàn)[3]采用速度交叉對陀螺力矩進(jìn)行補償來抑制章動模態(tài)。文獻(xiàn)[4]提出利用交叉剛度與交叉阻尼來抑制陀螺效應(yīng)對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，但沒有給出交叉剛度與交叉阻尼的具體實現(xiàn)形式。基于模態(tài)控制和交叉反饋控制策略，文獻(xiàn)[5]進(jìn)一步提出了集中控制加交叉軸比例增益控制。文獻(xiàn)[6]提出了一種電磁力超前控制方法來抑制系統(tǒng)章動，對章動的抑制取得了一定效果，但同時對進(jìn)動抑制帶來了負(fù)面影響。此外，還有反饋線性化法[7]、魯棒控制[8]和最優(yōu)控制[9]等，但由于這些方法相對復(fù)雜，在實際工程中應(yīng)用困難。

目前對于轉(zhuǎn)子(無論是對稱還是非對稱)章動模態(tài)的抑制，大多是采用交叉反饋方法或基于交叉反饋的改進(jìn)方法，本質(zhì)上是通過提供超前相位來對渦動模態(tài)進(jìn)行抑制，但該方法控制參數(shù)多(除PID控制參數(shù)外，還有濾波系數(shù)、交叉比例系數(shù)、轉(zhuǎn)速信號等)，不利于系統(tǒng)的整定。

轉(zhuǎn)子高速下章動失穩(wěn)的直接原因是控制系統(tǒng)的相位滯后過大，且章動頻率越高，相位滯后越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差[10]。為此，擬提出一種基于相位補償?shù)拇艖腋?fù)合分子泵轉(zhuǎn)子章動最優(yōu)阻尼抑制方法，直接對系統(tǒng)的滯后相位進(jìn)行最優(yōu)補償，從而避免轉(zhuǎn)子因章動失穩(wěn)。

1 復(fù)合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)建模

針對設(shè)計的磁懸浮分子泵復(fù)合轉(zhuǎn)子進(jìn)行受力分析，磁軸承支承轉(zhuǎn)子受力情況如圖1所示。

圖1 磁懸浮復(fù)合轉(zhuǎn)子受力分析

理想情況下，轉(zhuǎn)子的幾何軸與兩徑向軸承的中心連線是重合的。為了描述轉(zhuǎn)子、傳感器和主動電磁軸承間的相互位置，建立質(zhì)心坐標(biāo)系Oxyz，其中坐標(biāo)原點為復(fù)合轉(zhuǎn)子的質(zhì)心，z軸在兩徑向軸承中心連線上，x，y，z軸形成右手坐標(biāo)系。上、下傳感器到O點的距離分別為lsa，lsb；上、下徑向磁懸浮軸承A，B的中心到O點的距離分別為lma，lmb；x，y軸的轉(zhuǎn)動角度分別為α，β。

假設(shè)質(zhì)心坐標(biāo)系與慣性系重合(即不存在不平衡量)，根據(jù)Newton定律和Euler定律可得轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程為

(1)

式中：m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量；Jx=Jy=Jr為轉(zhuǎn)子繞x，y軸的轉(zhuǎn)動慣量；Jz為轉(zhuǎn)子繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量；Ω為轉(zhuǎn)子角速度；fax，fbx，fay，fby分別為A端、B端磁懸浮軸承在x，y方向上的電磁力。

由于轉(zhuǎn)子平動與轉(zhuǎn)動在動力學(xué)上解耦，因此只對轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動特性進(jìn)行分析，考慮轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動方程為

(2)

(2)式可以寫為

(3)

式中：kas，kbs分別為A端、B端磁軸承的位移剛度；kai，kbi分別為A端、B端磁軸承的電流剛度；iax，iay可近似為A端磁軸承電流設(shè)計值IA；ibx，iby可近似為B端磁軸承電流設(shè)計值IB。

由于磁懸浮分子泵轉(zhuǎn)子的2個轉(zhuǎn)角α，β可以同時表示在復(fù)平面上，令φ=α+jβ，可以得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動動力學(xué)的復(fù)系數(shù)形式為

j(kailmaIA+kbilmbIB)-(kailmaIA+kbilmbIB),

(4)

對(4)式進(jìn)行Laplace變換后得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的動力學(xué)模型為

φ(s)=

(5)

式中：d為等效阻尼；G為轉(zhuǎn)子的等效陀螺耦合項；k為等效剛度。

2 系統(tǒng)章動穩(wěn)定最優(yōu)相位解算[11]

引起轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高速下章動失穩(wěn)的根本原因是系統(tǒng)的相位滯后，最優(yōu)阻尼法以此為根據(jù)，求解系統(tǒng)在給定轉(zhuǎn)速下章動頻率處的最優(yōu)相位，與檢測出的系統(tǒng)滯后相位進(jìn)行比較，從而得到系統(tǒng)的最優(yōu)補償相位，利用移相器對系統(tǒng)相位進(jìn)行補償，保證磁懸浮轉(zhuǎn)子高速運行時的章動穩(wěn)定性。

磁懸浮復(fù)合轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動運動控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

擾動力矩為

W(s)=es2，

(6)

式中：e為不平衡質(zhì)量矩。

轉(zhuǎn)子模型為

(7)

控制器模型為

(8)

式中：kp為比例系數(shù)；ki為積分系數(shù)；kd為微分系數(shù)；kf為微分時間常數(shù)。

功放模型為

(9)

式中：ka為功放增益系數(shù)；wa為功放頻率系數(shù)。

由不平衡質(zhì)量矩到章動振幅C(s)的傳遞函數(shù)為

Gce(s)=C(s)/e=

(10)

由章動振幅到電磁力F(s)的頻率特性為

H(jω)Gc(jω)Ga(jω)=A(ω)ejφ(ω)。

(11)

由于一定轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的渦動頻率頻寬很窄，H(jω)Gc(jω)Ga(jω)在此頻率附近變化很小，假設(shè)在渦動頻率附近，A(ω)取一常數(shù)A，為控制器增益系數(shù)；φ(ω)取φ，為控制器相角系數(shù)。(11)式可簡化為

H(jω)Gc(jω)Ga(jω)=Acosφ+jAsinφ。

(12)

由不平衡質(zhì)量矩到章動振幅的頻率特性為

(13)

將(7)式、(12)式代入(13)式可得

Gce(jω)=

(14)

a=Acosφ，b=Asinφ。

Gce(jω)的峰值頻率為

ωr(A,φ)=

Gce(jω)的峰值為

M(A,φ)=‖Gce(jωr)‖。

(15)

控制增益的確定原則為：當(dāng)轉(zhuǎn)子章動量為最大允許值(轉(zhuǎn)子振動量為飽和間隙的一半)時，磁軸承可提供最大控制力Fmax。定義此時的控制增益為Ar，即

(16)

式中:φs1，φs2為傳感器位置處的章動振動量；φp2為B端保護(hù)軸承處的章動振動量；xp為保護(hù)軸承徑向單邊保護(hù)間隙。

3 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)章動頻率處實時相位檢測

為了得到最優(yōu)補償相位，就要已知當(dāng)前轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在章動頻率處的滯后相位。采用實驗室研發(fā)的磁懸浮系統(tǒng)動態(tài)測試法提取復(fù)合轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)的相位特性，該方法的原理如圖3所示。

圖3 磁懸浮系統(tǒng)動態(tài)測試方法

利用這種測試方法對圖4的系統(tǒng)進(jìn)行測試，激勵信號的注入點可以選擇，由此可測出任意環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性。

圖4 控制系統(tǒng)掃頻示意圖

4 基于移相器的最優(yōu)相位補償器設(shè)計

得到最優(yōu)補償相位后，需要設(shè)計補償器來對其進(jìn)行補償?；谝葡嗥髟O(shè)計補償器結(jié)構(gòu)為

(17)

式中:τ1，τ2為頻率系數(shù)，主要影響補償器的作用頻率范圍，對GPSF的幅頻特性、相頻特性影響都較大；ζ1，ζ2為阻尼系數(shù)，主要影響補償器作用頻率范圍內(nèi)的幅值特性。

當(dāng)ζ1，ζ2不變，同時增大τ1，τ2時，補償器幅相特性的變化趨勢如圖5所示，由圖可知，其幅相特性曲線整體左移，作用中心頻率減?。划?dāng)τ1，τ2不變，ζ1，ζ2同時增大時，補償器幅相特性的變化趨勢如圖6所示，由圖可知，補償器中心頻率處的相位相應(yīng)減小。

圖5 τ1，τ2同步變化對補償器幅頻特性的影響

圖6 ζ1，ζ2同步變化對補償器幅頻特性的影響

通過調(diào)節(jié)該補償器的各個系數(shù)，可以得到最合適的相位補償效果，以此達(dá)到相位補償最優(yōu)的目的。單通道控制相位補償示意圖如圖7所示。

圖7 單通道控制相位補償結(jié)構(gòu)圖

5 抑制效果試驗

5.1 試驗設(shè)備

為了檢驗最優(yōu)阻尼控制法對復(fù)合轉(zhuǎn)子章動模態(tài)抑制的效果，在實驗室現(xiàn)有試驗設(shè)備條件的基礎(chǔ)上，搭建磁懸浮分子泵高速試驗平臺(圖8)。試驗對象是實驗室正在研制的大抽速磁懸浮復(fù)合分子泵，設(shè)計額定轉(zhuǎn)速為21 000 r/min，其主要參數(shù)見表1，控制系統(tǒng)參數(shù)見表2。

表1 磁懸浮分子泵參數(shù)

表2 磁懸浮分子泵控制系統(tǒng)參數(shù)

圖8 磁懸浮復(fù)合分子泵控制系統(tǒng)試驗平臺

5.2 試驗方法

首先，在未加相位補償器的情況下，對系統(tǒng)上電，進(jìn)行升速試驗，觀察轉(zhuǎn)子的章動模態(tài)表現(xiàn)；然后，將相位補償器加入控制系統(tǒng)，再次進(jìn)行升速試驗，觀察章動模態(tài)的變化；最后通過比較，確定最優(yōu)阻尼控制法抑制章動的效果。

確定補償器相關(guān)系數(shù)的步驟為:1)通過掃頻方法確定系統(tǒng)控制回路各部分在章動失穩(wěn)臨界頻率處的控制相位；2)根據(jù)前文所述方法算出系統(tǒng)的最優(yōu)控制相位；3)確定最優(yōu)補償相位，從所設(shè)計的候選補償器中選取補償特性最接近最優(yōu)補償相位的補償器作為目標(biāo)補償器。

由于導(dǎo)致系統(tǒng)相位滯后的環(huán)節(jié)主要是功放系統(tǒng)和為了抑制轉(zhuǎn)子的葉片模態(tài)、撓性模態(tài)而加入的多個陷波器環(huán)節(jié)，因此主要考慮這些環(huán)節(jié)的相位滯后。對于功放環(huán)節(jié)，采用前文所述掃頻方法，在程序的參考位移處加入激勵信號，測試輸入點選擇AMP，輸出點為電流信號的采樣，輸出點要考慮AD轉(zhuǎn)換和電流采樣的放大倍數(shù)，掃頻結(jié)果如圖9所示，由圖可知，功放系統(tǒng)在臨界頻率處相位滯后角度θamp約為-43°。

圖9 功放掃頻結(jié)果

對于控制過程中為了抑制轉(zhuǎn)子葉片模態(tài)和1階、2階彎曲模態(tài)加入的陷波器，其幅頻特性如圖10所示。由圖可知，陷波器的加入會導(dǎo)致其作用頻率前的相位滯后，其在臨界頻率處的滯后角θnot約為-10°。

圖10 陷波器環(huán)節(jié)Bode圖

此外，考慮到PID控制環(huán)節(jié)本身的相位超前(圖11)，在臨界頻率處相位超前θpid=46°，結(jié)合前文所述方法求出最優(yōu)控制相位θ0=88.3°，因此最優(yōu)補償相位為Δθ=θ0-θpid-θamp-θnot=95.3°。

圖11 PID控制環(huán)節(jié)Bode圖

為了得到最優(yōu)的相位補償效果，調(diào)整補償器系數(shù)，設(shè)計了多個補償器進(jìn)行比較(表3)，各個補償器的幅相曲線如圖12所示。從各補償器的相位特性來看，補償器2的補償角度最接近最優(yōu)補償相位，因此選擇補償器2作為目標(biāo)補償器。

表3 補償器1～4系數(shù)及其補償相位比較

圖12 補償器1～4幅相特性

6 結(jié)果與分析

在加入相位補償器前，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻升至150 Hz時，轉(zhuǎn)子A，B兩端位移信號如圖13所示。由圖可知，轉(zhuǎn)子B端出現(xiàn)明顯抖動，并且隨著轉(zhuǎn)速提高，抖動不斷加劇，A端抖動不明顯。

圖13 補償前轉(zhuǎn)頻150 Hz時轉(zhuǎn)子位移振動圖

此現(xiàn)象驗證了轉(zhuǎn)子的偏心結(jié)構(gòu)，由于上端帶葉片，具有頭重腳輕的特點，B端(非葉片端)的陀螺效應(yīng)表現(xiàn)更明顯。同時，從B端位移頻譜(圖14)中可以看出，該模態(tài)頻率為110 Hz，幅值約為-30 dB。根據(jù)磁懸浮分子泵章動模態(tài)(fn)和轉(zhuǎn)頻(fr)的比例關(guān)系(fn/fr約為0.7)，可以確定該頻率為章動模態(tài)。

圖14 補償前轉(zhuǎn)頻150 Hz時轉(zhuǎn)子B端位移頻譜

將補償器2加入控制算法后，當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻升至150 Hz時，轉(zhuǎn)子B端未出現(xiàn)明顯抖動(圖15b)，從其位移頻譜來看，章動模態(tài)幅值大大減小(圖16)。

圖15 補償后轉(zhuǎn)頻150 Hz時轉(zhuǎn)子位移振動圖

圖16 補償后轉(zhuǎn)頻150 Hz時轉(zhuǎn)子B端位移頻譜

綜上可知，加入合適的相位補償器對系統(tǒng)控制相位的滯后補償后，轉(zhuǎn)子在原章動失穩(wěn)頻率處的章動模態(tài)幅值由-30 dB減小到-46 dB，減小量超過50%，章動模態(tài)得到較大抑制，轉(zhuǎn)子的章動失穩(wěn)頻率明顯提高，說明最優(yōu)阻尼控制對抑制章動模態(tài)具有良好的效果。

由于最優(yōu)相位補償只能保證系統(tǒng)在對應(yīng)頻率下的相位最優(yōu)，為了使轉(zhuǎn)子升速至額定轉(zhuǎn)頻350 Hz,還需根據(jù)以上方法求得額定轉(zhuǎn)速下的最優(yōu)補償相位，重新設(shè)計補償器。經(jīng)補償后，轉(zhuǎn)子在額定轉(zhuǎn)速下的運行效果如圖17、圖18所示，由圖可知，章動模態(tài)未被激發(fā)出來，轉(zhuǎn)子運行穩(wěn)定。

圖17 補償后轉(zhuǎn)頻350 Hz時轉(zhuǎn)子位移振動圖

圖18 補償后轉(zhuǎn)頻350 Hz時轉(zhuǎn)子B端位移頻譜

7 結(jié)束語

針對磁懸浮分子泵轉(zhuǎn)子高速下的章動模態(tài)失穩(wěn)問題，提出了一種最優(yōu)阻尼控制方法，通過最優(yōu)補償系統(tǒng)控制相位，可達(dá)到抑制章動模態(tài)的效果，其具有控制參數(shù)少、易整合、控制效果明顯、可量化的特點。但由于補償器作用頻率前的相位存在較小滯后，其可能對低頻模態(tài)產(chǎn)生不利影響，還需進(jìn)一步研究。