一元一次方程應(yīng)用題初探

陳小榮

摘要：列一元一次方程解應(yīng)用題關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，難點是將實際問題轉(zhuǎn)化為單純的數(shù)學(xué)問題，通過對數(shù)學(xué)問題的解決獲得對實際問題的解決方法，從而讓基礎(chǔ)差的學(xué)生感到應(yīng)用題我也能學(xué)。

關(guān)鍵詞：分析法；相等關(guān)系；問題轉(zhuǎn)化法

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）05-0119

從小學(xué)到初中，數(shù)學(xué)應(yīng)用題一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，也是考試的必考題。然而，不少學(xué)生從小學(xué)升到初中后對應(yīng)用題失去信心，甚至出現(xiàn)放棄的現(xiàn)象。如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用題的解題能力，這也是擺在初中數(shù)學(xué)教師面前的必要課題。下面，筆者將談?wù)剬?yīng)用題的一些不成熟的看法，敬請同行批評指正。

一、在解應(yīng)用題時要由淺入深、由易到難

七年級的一元一次方程的應(yīng)用采用程序化（格式化）解題，這樣有助于幫助學(xué)生建立正確的模型，讓學(xué)生容易接受，一步一個腳印地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，漸漸地讓學(xué)生消除對應(yīng)用題的恐懼心理。筆者分析應(yīng)用題的關(guān)鍵是如何找準(zhǔn)等量關(guān)系。筆者把基礎(chǔ)的應(yīng)用題分成兩類，一類是只有一個等量關(guān)系，另一類是有兩個等量關(guān)系。

1. 一個等量關(guān)系的應(yīng)用題

例如小明買了三塊面包和一盒牛奶（每盒）1.8元，付出10元，找回4元，求一塊面包的價格。分析：（1）此題的關(guān)鍵是三塊面包和一盒牛奶共花了多少？讓基礎(chǔ)差的學(xué)生分析，幾分鐘后他們也能發(fā)現(xiàn)三塊面包的錢和一盒牛奶的錢的和是6元，設(shè)每塊面包花了x元，三塊面包花了3x元。列方程如下：3x+1.8=10-4，這樣原來一元一次方程的應(yīng)用題我也能做。讓他們多嘗試幾回，他們對應(yīng)用題也能嘗試一下。雖然不一定能做出來，但比不做強。我再讓他們做稍微難一點的題目。再如，一個角比它的余角大25°，求這個角的度數(shù)。由于題目比較短，學(xué)生能找出等量關(guān)系：一個角=它的余角+25°，筆者讓學(xué)生設(shè)一個角為x°，則它的余角是（90-x°），于是列方程如下：x=90°-x°+25°，列完后讓學(xué)生嘗試做以下題目：一個角的補角比這個角的余角的兩倍大15°，求這個角的度數(shù)。同樣由于此題不長，基礎(chǔ)差的同學(xué)們也能找到等量關(guān)系，一個角的補角=這個角的余角×2+15°，于是讓學(xué)生設(shè)這個角為x°，則它的余角為（90°-x°），它的補角為（180°-x°），列方程如下180°-x°=2（90°-x°）+15°，然后再加一點難度，舉例如下，小明今年13，他爸爸今年39，幾年后小明的年齡是他爸爸年齡的一半，此題等量關(guān)系很好找，但如何列呢？分析由于小明和他父親的年齡增加數(shù)是一樣的，小明增加x歲，小明的爸爸也增加x歲，因此可設(shè)x年后小明的年齡是他父親的一半，x年后小明的年齡是（13+x）歲，他父親的年齡是（39+x）歲，由題意得：1/2（39+x）=13+x，這樣那些基礎(chǔ)差的學(xué)生一看我也能列，他們就會多嘗試，他們就會取得進步。

2. 兩個等量關(guān)系的題目

基本方法是把兩個等量關(guān)系都找到并用等式表示出來，然后觀察哪個等量關(guān)系比較簡單就在設(shè)元時先用掉，再用另一個等量關(guān)系來列方程，舉例如下，一個長方形操場的長是寬的2.5倍，根據(jù)需要要將它擴建，把它的長和寬各加長20cm后，它的長是寬的的兩倍。求擴建前長方形操場的周長？分析此題發(fā)現(xiàn)它有兩個等量關(guān)系，擴建前長=寬×2.5，擴建后長=寬×2，由于長和寬都增加20cm，因此擴建前等量關(guān)系比較簡單。我們就用它來設(shè)元，設(shè)擴建前的長方形的寬是x，則長為2.5x，擴建后長方形的長為2.5x+20，寬為x+20。用另一個等量關(guān)系可以列方程得2.5x+20=2（x+20），再如，有甲和乙兩個隊伍，甲隊比乙隊的兩倍多5人，甲和乙共有80人，讓基礎(chǔ)差的學(xué)生用以上方法來列，可以設(shè)甲有x人，則乙有（80-x）人，根據(jù)題意得x=2（80-x）+5。這樣，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己也能列方程解應(yīng)用題了，他們就會在成功的基礎(chǔ)之上興趣大增。

通過設(shè)計一些簡單的應(yīng)用題，簡單的應(yīng)用題應(yīng)用背景較簡單，語言較直接，容易使學(xué)生領(lǐng)會如何解題，理順數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，為解決復(fù)雜的應(yīng)用題打好良好的基礎(chǔ)，同時帶領(lǐng)學(xué)生成功解題的經(jīng)驗，增強學(xué)應(yīng)用題的信心。學(xué)生都有強烈的好勝心，如果在學(xué)習(xí)中經(jīng)常失敗，會對所學(xué)習(xí)的內(nèi)容失去信心。教師要會創(chuàng)造合適的機會促使學(xué)生感受成功的喜悅，對培養(yǎng)他們的探究應(yīng)用題的能力是有幫助的，也是有必要的。通過以上的方法讓學(xué)生進行充分的思考并進行大量同類型題目的訓(xùn)練，這樣那些基礎(chǔ)差的學(xué)生也能體會到大量的成功經(jīng)歷，感受到成功的感覺，筆者堅信成功是成功之母。

其次在學(xué)生已對基礎(chǔ)題熟悉的基礎(chǔ)上，筆者再教授學(xué)生如何讀題，分解題目。

因為應(yīng)用題的題目比較長，學(xué)生會對此產(chǎn)生恐懼，尤其是基礎(chǔ)差的同學(xué)，這時教師的鼓勵和合適的方法就顯得尤為重要。在講授時，要給學(xué)生充足的讀題時間，讓學(xué)生認(rèn)真讀完題目后，努力找出題目中的明顯的等量關(guān)系或隱含的等量關(guān)系，努力讓學(xué)生一邊閱讀一邊抓住題目中的關(guān)鍵句子。把題目中的條件顯性化、等量化，結(jié)合設(shè)出合適的未知數(shù)，列出一元一次方程。下面，筆者就從兩方面來分析：

（1）題目相對不長，題目中的隱含的等量關(guān)系好找，例如通常的工程問題和簡單的行程問題。舉例如下，一項工程，甲隊單獨完成需要20天，乙隊完成需要30天，如果由甲隊先做8天，再由乙隊單獨做3天，其余的由甲和乙合作，還需要幾天完成？分析此題是常見得工程問題，要把工作總量看成“1”，甲單獨做一天是1/20，乙單獨一天做是1/30，甲和乙合作一天是（1/20+1/30），這樣可設(shè)其余的由甲乙合作，還需要x天完成？等量關(guān)系是甲做8天的工作量+乙做3天的工作量+甲和乙合作x天的工作量=1，此題中還有一個關(guān)鍵是，工作總量=工作效率×工作時間，則甲8天的工作量=1/20×8，乙3天的工作量=1/30×3，甲乙合作x天的工作量是（1/20+1/30）x，可以列方程為1/20×8+1/30×3+（1/20+1/30）x=1。這樣簡單的工程問題基礎(chǔ)差的學(xué)生也能列方程了。當(dāng)然這類題目對于基礎(chǔ)差的學(xué)生有點難，要給充分的時間思考，讓學(xué)生領(lǐng)會工程問題的關(guān)鍵，工作效率如何求，工作總量如何求。漸漸地學(xué)生對工程問題就會有感性的認(rèn)識。

（2）如果題目相對有點長，則讓學(xué)生一邊讀一邊把關(guān)鍵的語句找出來，并把問題簡單化、數(shù)學(xué)化，努力用等量關(guān)系把題目中的條件串聯(lián)起來，降低題目的容量。在此過程中要讓同學(xué)們多讀題目，多想一下，一定要他們多嘗試，同時把關(guān)鍵詞，關(guān)鍵的等量關(guān)系劃出來。把沒有用的文字忽略掉，從而讓題目變短，這樣減少同學(xué)們的恐懼感。例如以下的題目：某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤可漲至7500元，當(dāng)?shù)匾患夜臼斋@這種蔬菜140噸，該公司的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16噸；如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種方法不能同時進行，受季節(jié)等條件限制，公司必須在15天內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：

方案1：將蔬菜全部進行粗加工。

方案2：盡可能地多對蔬菜進行精加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售。

方案3：將部分蔬菜進行精加工，其余的蔬菜進行粗加工，并恰好在15天內(nèi)完成。

你認(rèn)為哪種方案獲利最多？為什么？

做到這種題目時往往基礎(chǔ)差的學(xué)生不看了，其實這題不難，筆者就采用找關(guān)鍵詞的方法，例如方案1，將蔬菜全部進行粗加工，筆者就只找粗加工，粗加工每噸利潤4500元，每天可加工16噸。在加上條件15天內(nèi)必須處理完，這樣把方案1概括為粗加工15天，其余的直接銷售，獲利多少？由于16×15>140，即140噸全部粗加工后賣出，獲利140×4500這樣就解決了。同樣方案2更直接了當(dāng)意思很明顯，精加工15天，剩余的直接銷售，獲利多少？列式如下6×15×7500+（140-6×15）×1000也能解決。方案3稍有困難，關(guān)鍵詞如下，粗加工的天數(shù)+精加工的天數(shù)=15，精加工蔬菜的噸數(shù)+粗加工蔬菜的噸數(shù)=140，找到這樣兩個等量關(guān)系，前面筆者已講授過，利用一個簡單的等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，設(shè)粗加工的天數(shù)是x天，則精加工的天數(shù)為（15-x）天。利用后一個等式列方程，16x+6（15-x）=140，這就把一個比較長的應(yīng)用題變短了。通過多次的拆解，同學(xué)們就會感覺到應(yīng)用題也不是那么可怕了。這時再強化一下訓(xùn)練如何分解題目，學(xué)生就會積極性高漲，紛紛想嘗試一下題目更長的中考題了。此時，筆者卻給他們潑一下冷水，讓他們把七年級的基礎(chǔ)題學(xué)好，俗話說得好：“萬丈高樓平地起”，筆者讓他們把初一的難點，行程問題仔細的分類和分解，如何通過畫圖（線段圖）來找等量關(guān)系和列出有關(guān)代數(shù)式。這樣，通過應(yīng)用題專題訓(xùn)練，極大地提高學(xué)生的解題能力，從而激發(fā)基礎(chǔ)差的學(xué)生的好勝心和積極性。

總之，在應(yīng)用題教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識，讓它貫穿整個中學(xué)階段，在平時應(yīng)用題的教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和理解能力。以及如何從應(yīng)用題中提煉出正確的等量關(guān)系，擴大學(xué)生的知識面，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，讓學(xué)生養(yǎng)成平時關(guān)心周圍發(fā)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，關(guān)心生產(chǎn)生活中數(shù)學(xué)問題的良好習(xí)慣，正確把握應(yīng)用題的表述方法，涉及的對象，求解時所用的數(shù)學(xué)方法來解決和剖析數(shù)學(xué)問題。在生活中多實踐、多動手、多思考，這樣教師才能真正教好應(yīng)用題，學(xué)生才能真正學(xué)好應(yīng)用題。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區(qū)蘆墟初級中學(xué) 215000）