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    數(shù)的整除

    2017-07-24 07:27:26張新春
    湖南教育·C版 2017年7期
    關(guān)鍵詞:數(shù)論德利除數(shù)

    張新春

    數(shù)論是一門研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)問,包括初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論、丟番圖逼近論、超越數(shù)論等分支。初等數(shù)論以算術(shù)方法為主要研究手段。為了與數(shù)的四則運算這種算術(shù)進(jìn)行區(qū)分,也有人把初等數(shù)論稱為高等算術(shù)。初等數(shù)論的最基本內(nèi)容一直是小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。由于其概念多,概念之間的聯(lián)系緊密,并且很多時候都需要學(xué)生借助概念進(jìn)行思維,對于以形象思維為主的學(xué)生來說,這部分內(nèi)容是難點。但正因為初等數(shù)論的這些特點,也使得它成為培養(yǎng)學(xué)生思維能力的絕好材料。

    初等數(shù)論的研究對象主要是整數(shù)。整數(shù)指的是…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…。非負(fù)整數(shù)0,1,2,3,4,5,…稱為自然數(shù),而非0自然數(shù)就稱為正整數(shù)。

    整除有兩種定義方式,一種是用除法定義:如果整數(shù)a除以整數(shù)b(b屹0),商是整數(shù),且沒有余數(shù),我們就說a能被b整除,或者說b能整除a。還有一種是用乘法定義:稱一個整數(shù)a能被另一個整數(shù)b(b≠0)整除,如果存在第三個整數(shù)c,使得a=bc。

    目前的教材在編寫時應(yīng)用了用乘法定義的“整除”的內(nèi)容而去掉了“整除”的名稱。比如:通過舉例2×6=12,我們把2和6都叫做12的因數(shù),12則是6的倍數(shù),也是2的倍數(shù)。這里就用了整除的乘法定義。

    就我們習(xí)慣用除法定義整除的形式而言,若從較嚴(yán)格的角度考察,也還存在一些問題。比如最直接的是:任意兩個整數(shù)相除(當(dāng)然除數(shù)不為0),都會存在一個商和一個余數(shù)(有時候為0)嗎?對確定的兩個整數(shù)而言,商和余數(shù)都是唯一的嗎?理由是什么呢?下面,我們就從較嚴(yán)格的角度考察數(shù)的整除。

    如果把整數(shù)放到數(shù)軸上,那將是一些離散的點。

    簡單地說,就是任意兩個整數(shù)相除(除數(shù)大于0),其商要么是整數(shù),要么就可以找到一個比這個商小,但最接近這個商的整數(shù)。后一種情況下的商是不完全商,被除數(shù)減去除數(shù)與不完全商的積,得到的數(shù)是最小正剩余,即通常所說的余數(shù),余數(shù)要比除數(shù)小。而前一種情況,就是我們所說的整除。即對于整數(shù)a和整數(shù)b(b屹0)來說,如果存在第三個整數(shù)c,使得a=bc,則稱整數(shù)a能被整數(shù)b(b屹0)整除。

    如果一個整數(shù)a能被另一個整數(shù)b(b屹0)整除,我們記為b|a。顯然,對于任意的整數(shù)a,都有1|a。而對任意的b(b屹0),有b|0。對任意a屹0,有a|a。但通常不說0|0。盡管的確存在整數(shù)c,使得0=0·c。

    事實上,對任意的c,上述等式都成立,也許正由于不唯一性,使得我們通常不認(rèn)為0|0。不過也有例外的說法,U·杜德利在教材《基礎(chǔ)數(shù)論》中有一個練習(xí)題:“哪些整數(shù)整除零?”教材提供的答案是“所有整數(shù)”。([美]U·杜德利.基礎(chǔ)數(shù)論[M].上海科學(xué)技術(shù)出版社,1980)所有整數(shù)當(dāng)然包括0。U·杜德利在定義整除時并沒有規(guī)定b屹0,這至少說明,承認(rèn)0|0也不會出現(xiàn)邏輯上的問題。從而我們可以這樣認(rèn)為,即討論0|0是否成立并不是一個本質(zhì)的問題。這個問題的答案取決于你如何定義整除。具體地說,就是你在定義整除時是否規(guī)定b屹0。不管規(guī)定b屹0還是不作這樣的規(guī)定,都能自圓其說,都不會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生什么實質(zhì)性的影響。這也提醒我們,和小學(xué)生討論“0是不是整除0”這樣的問題是不恰當(dāng)?shù)?,在小學(xué)生的作業(yè)或測試卷中出現(xiàn)這樣的問題也是沒有必要的、是不恰當(dāng)?shù)?。若學(xué)生問到這類問題,可能的話,盡量把問題的相關(guān)背景告訴學(xué)生,不僅能保護(hù)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,更重要的是讓學(xué)生逐步形成科學(xué)的數(shù)學(xué)觀。即逐步認(rèn)識到數(shù)學(xué)“主要的應(yīng)被看成人類的一種創(chuàng)造性活動,也即是一個包含有猜測、錯誤與嘗試、證明與反駁、檢驗與改進(jìn)的復(fù)雜過程”。(鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)的理論與實踐[M].廣西教育出版社,2008)

    在本章接下來的討論中,我們約定,若稱整數(shù)a能被整數(shù)b整除,就表明b屹0。

    關(guān)于整除,以下的結(jié)論是顯然的。

    若b屹0,c屹0,則

    (1)若b|a,c|b,則c|a;

    (2)若b|a,則bc|ac;

    (3)若c|d,c|e,則對任意的m,n,有c|dm+en。

    我們只證明(3)。

    因為c|d,由整除的定義,存在整數(shù)g,使得d= cg。

    同理,存在整數(shù)h,使得e=ch。

    于是,對任意的m,n,dm+en=cgm+chn=c(gm+ hn)。即對于整數(shù)dm+en和整數(shù)c屹0,存在整數(shù)(gm+hn),使得dm+en=c(gm+hn)。

    由整除的意義,上式就意味著c|dm+en。

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