波浪在沙質(zhì)海床上傳播波長變化

倪云林，章哲文，唐志波，王晉寶，李德堂

(1. 浙江海洋大學港航與交通運輸工程學院，浙江舟山 316022； 2. 大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧大連 116024)

波浪在沙質(zhì)海床上傳播波長變化

倪云林1,2，章哲文1，唐志波1，王晉寶1，李德堂1

(1. 浙江海洋大學港航與交通運輸工程學院，浙江舟山 316022； 2. 大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧大連 116024)

沙質(zhì)海床具有滲透性，會引起波浪的波長變化?；诰€性波浪理論，采用Mendez提出的攝動方法，在已知波浪周期、水深和海床滲透系數(shù)的條件下，數(shù)值求解了滲透海床上的波浪色散方程，得到相應的波長，進而研究不同滲透系數(shù)和相對水深的沙質(zhì)海床上波長的變化規(guī)律。結果表明，波浪在沙質(zhì)海床上傳播時的波長大于海床不可滲透的情況，且隨著滲透系數(shù)的增大而增大；波浪在向岸傳播過程中會發(fā)生淺水變形而波長減小，相比海床不可滲透的情況，沙質(zhì)海床上的波長減小程度相對較小，這種現(xiàn)象隨著相對水深的減小而愈加明顯。因此，沙質(zhì)海床的滲透性對波長的影響相當于1個“海床水深”Δh，它隨滲透系數(shù)的增大和相對水深的減小而增大，當波浪在水深為h的沙質(zhì)海床上傳播時，其波長等于水深為h+Δh的不可滲透海床的波長。

沙質(zhì)海床； 滲透性； 色散方程； 海床水深

沙質(zhì)海床廣泛分布于近海海域，由不同粒徑的泥沙顆粒組成，具有滲透性。當波浪在沙質(zhì)海床上傳播時，水質(zhì)點會通過海床的孔隙滲流進海床內(nèi)部，從而引起波高與波長的變化。Putman采用線性波浪理論，最先研究了波浪通過無限厚透水海床的問題，得出了海床的透水性會使波高衰減的結論[1]。Savage等先后通過試驗研究了可滲透海床上的波浪衰減，發(fā)現(xiàn)波能消耗和波高衰減是底部摩阻和滲透造成的，且滲透系數(shù)較大的泥沙對波能的耗散相對顯著[2-3]。Dean等基于線性波浪理論，推導得到了無限深常水深可滲透海床上波浪運動的速度勢表達式和色散關系[4]。Silva等分別利用緩坡方程和Boussinesq方程研究了波浪在地形變化的滲透海床上傳播時的波高分布[5-6]。唐志波等詳細研究了不同滲透系數(shù)和相對水深條件下波高的衰減規(guī)律，指出衰減速率隨著海床滲透系數(shù)的增大和相對水深的減小而變大[7]。上述研究成果有助于認識各類滲透海床上的波高變化規(guī)律，但鮮有關于波浪在滲透海床上傳播波長變化的研究報道。因此，本文基于線性波浪理論，研究沙質(zhì)海床上的波長變化規(guī)律，探求引起波長變化的物理機制。

1 數(shù)學模型和理論基礎

針對波浪在無限厚沙質(zhì)海床上沿x軸正方向傳播的二維運動問題，根據(jù)Dean和Dalrymple的推導結果[4]，速度勢可表示為：

(1)

相應地，色散關系(方程)為：

(2)

為了研究波浪在沙質(zhì)海床上傳播時波長的變化規(guī)律，需要在已知水深、波浪周期和沙質(zhì)海床滲透系數(shù)的條件下，求解色散方程式(2)中的復波數(shù)k。參考Mendez提出的攝動解法[8]，該方法假設滲透系數(shù)的輕微擾動會引起波數(shù)的微小變化，計算步驟如下：

(1)對色散方程式(2)進行無量綱化處理，得

(3)

式中：λ=ω2h/g；x=kh；ψ=iωT。

(2)令ψ=0，則式(3)可以簡化為：

(4)

(3)定義δψ=ψ/N為小變量，則ψi=ψi-1+δψ，i=1,2,…,N。其中，N為區(qū)間數(shù)，ψ0=0。

(4)按照式(5)計算δxi，則xi=xi-1+δxi，i=1,2,…,N。

(5)

(5)重復步驟(3)和(4)，直至ψ=ψN=ψN-1+δψ，此時x=xN=xN-1+δxN即為式(3)的復數(shù)根，則復波數(shù)k=x/h。

2 計算結果與分析

針對開敞平直的沙質(zhì)海岸，海床坡度相對較小，通常介于1∶50～1∶500[9]，且等深線近似相互平行，因此可應用第1節(jié)中的數(shù)學模型來研究波浪在沙質(zhì)海床上傳播時不同滲透系數(shù)和相對水深對波長的影響規(guī)律，進而探求影響波長的物理機制。

2.1 滲透系數(shù)對波長變化的影響

圖1 相對波長L/L0隨滲透系數(shù)的變化Fig.1 Changes of wavelength ratio L/L0versus permeability coefficients

沙質(zhì)海床滲透性是引起波長變化的直接原因。試驗結果表明，不同類型沙質(zhì)海床的滲透系數(shù)Ks約為10-2～10-4m/s[10-11]。設水深h=5 m，波浪周期分別取3和5 s(實際觀測波浪平均周期一般為3～5 s)，對應的波浪圓頻率分為ω1=2.094 4 Hz和ω2=1.256 6 Hz，利用給出的色散方程求解方法，在確定合適區(qū)間數(shù)N的前提下，可求得波長L和空間衰減系數(shù)ki。如表1所示，通過與文獻[7]中迭代法計算結果的對比，可以發(fā)現(xiàn)，采用Mendez提出的計算方法求得的復波數(shù)k，其實部kr在區(qū)間數(shù)N較小的情況下，就可達到較高的計算精度，而虛部ki的收斂速度則隨著區(qū)間數(shù)N的增大表現(xiàn)為先快后慢。因此，為了得到高精度計算結果，取區(qū)間數(shù)N=200。

圖1是相對波長L/L0隨滲透系數(shù)Ks的變化規(guī)律，其中L0為Ks=0時計算得到的波長，在本算例中分別等于13.75和30.29 m?？梢钥闯?，隨著海床滲透系數(shù)的變大，相對波長也略有增加，這說明在水深和波浪周期一定的條件下，波浪在沙質(zhì)海床上傳播時的波長略大于海底不可滲透時的情況，且組成沙質(zhì)海床的泥沙顆粒越大，即滲透系數(shù)越大，波長的增大也越大。

表1 不同區(qū)間數(shù)時計算結果的相對誤差

2.2 相對水深對波長變化的影響

圖2 相對波長L/L0和L/LI隨相對水深的變化Fig.2 Changes of wavelength ratio L/L0 and L/LI versus non-dimensional wave depth h/L

相對水深可以反映沙質(zhì)海床對波浪的影響程度。設沙質(zhì)海床上深水入射波的波長為LI，隨著波浪的向岸傳播，水深h處的波長為L，而同等水深h、海底不可滲透(即Ks=0)條件下對應的波長為L0。相對波長L/LI隨相對水深h/L的變化見圖2?？梢娚迟|(zhì)海床上的波浪，在由深海向近岸傳播過程中，波長逐漸減小，這是波浪淺水變形的結果，是引起波長變化的主要原因。從不同類型沙質(zhì)海床上的波長與不可滲透海床上波長的比值L/L0隨相對水深h/L的變化(圖2)可見，隨著水深減小，滲透海床上的波長與不可滲透海床上的波長相比越來越大。這說明，受海底滲透的影響，波浪因淺水變形引起的波長減小在數(shù)值上略小于海床不可滲透的情況，且這種差別隨著相對水深的減小而增大。

3 結 語

(1)在已知波浪周期、海床滲透系數(shù)和水深的條件下，采用Mendez提出的方法求解復波數(shù)，其實部在區(qū)間數(shù)N較小的情況就可以達到較高的計算精度，而虛部的收斂速度則隨著區(qū)間數(shù)N的增大表現(xiàn)為先快后慢。

(2)沙質(zhì)海床是由不同大小的泥沙顆粒組成的多孔介質(zhì)，具有滲透性。波浪在沙質(zhì)海床上傳播時，其波長略大于同等水深不可滲透海床上的波長，且隨滲透系數(shù)的增大而增大。

(3)沙質(zhì)海床上的波浪在向岸傳播過程中會發(fā)生淺水變形而波長減小，但相比海床不可滲透的情況，波長的減小程度相對較小，且隨著相對水深的變小，這種現(xiàn)象更加明顯。

(4)沙質(zhì)海床的滲透性對波長的影響可等效于一個“海床水深”Δh，它隨滲透系數(shù)Ks的增大和相對水深h/L的減小而增大。當波浪在水深為h的沙質(zhì)海床上傳播時，其波長在數(shù)值上等于水深為h+Δh的不可滲透海床上的波長。

[1] PUTNAM J A. Loss of wave energy due to percolation in a permeable sea bottom[J]. Eos, Transactions American Geophysical Union, 1949, 30(3)： 349- 356.

[2]SAVAGE R P, FAIRCHILD J C. Laboratory study of energy losses by bottom friction and percolation[Z]. Beach Erosion Board, Corps of Engineers, Technical Memorandum, No.31, 1953.

[3]SAWARAGI T, DEGUCHI I. Waves on permeable layers[C]∥Proc 23rdCoast Eng Conf, Venice, 1992: 1531- 1544.

[4]DEAN R G, DALRYMPLE R A. Water wave mechanics for engineers and scientists[M]. New Jersey: Prentice Hall Inc, 1984.

[5]SILVA R, SALLES P, PALACIO A. Linear waves propagating over a rapidly varying finite porous bed[J]. Coastal Engineering, 2002, 44(3): 239- 260.

[6]劉忠波, 孫昭晨, 房克照. 波浪在滲透海床上傳播的數(shù)學模型及其驗證[J]. 大連理工大學學報, 2013, 53(3): 417- 422. (LIU Zhongbo, SUN Zhaochen, FANG Kezhao. Mathematical model for wave propagation over a porous seabed and its numerical validation[J]. Journal of Dalian University of Technology, 2013, 53(3): 417- 422.(in Chinese))

[7]唐志波, 倪云林, 于姜梅, 等. 滲透海床上波浪傳播特性的研究[J]. 船舶力學, 2016, 20(1): 77- 82. (TANG Zhibo, NI Yunlin, YU Jiangmei, et al. Research of the characteristics of wave propagation over porous bottom[J]. Journal of Ship Mechanics, 2016, 20(1): 77- 82. (in Chinese))

[8]MENDEZ F J, LOSADA I J. A perturbation method to solve dispersion equations for water waves over dissipative media[J]. Coastal Engineering, 2004, 51(1): 81- 89.

[9]鄒志利, 房克照. 海岸動力地貌[M]. 大連: 大連理工大學, 2014: 93- 94. (ZOU Zhili, FANG Kezhao. Coastal dynamic geomorphology[M]. Dalian: Dalian University of Technology, 2014: 93- 94. (in Chinese))

[10]于通順, 王海軍. 循環(huán)荷載下復合筒型基礎地基孔隙水壓力變化及液化分析[J]. 巖土力學, 2014, 35(3): 820- 826. (YU Tongshun, WANG Haijun. Pore water pressure fluctuation and liquefaction analysis of subgrade for composite bucket foundation under cyclic loading[J]. Rock and Soil Mechanics, 2014, 35(3): 820- 826. (in Chinese))

[11]程永舟. 波浪與多孔介質(zhì)相互作用的水動力特征研究[D]. 大連: 大連理工大學, 2008. (CHENG Yongzhou. Hydrodynamic behaviors of waves interaction with porous medium[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 2008. (in Chinese))

[12]王忠濤, 欒茂田, 鄭東生. 多孔介質(zhì)海床對波浪傳播影響理論分析[J]. 大連理工大學學報, 2009, 49(6): 891- 896. (WANG Zhongtao, LUAN Maotian, ZHENG Dongsheng. Dynamic analysis for effects of porous seabed on wave propagation[J]. Journal of Dalian University of Technology, 2009, 49(6): 891- 896. (in Chinese))

Changes in wavelength of wave propagation over a sandy seabed

NI Yunlin1, 2， ZHANG Zhewen1， TANG Zhibo1， WANG Jinbao1， LI Detang1

(1.SchoolofPortandTransportationEngineering,ZhejiangOceanUniversity,Zhoushan316022,China; 2.StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

A sandy seabed is permeable, and it will cause the changes in wavelength. Based on the linear wave theory, a perturbation method proposed by Mendez is applied to solving the dispersion equation for waves over the porous bottom numerically, obtaining the wavelength under the given conditions of wave period, water depth and permeability coefficients. And then the changes in wavelength of the wave propagation over the sandy seabeds with different permeability coefficients and water depths are studied. The research results indicate that： ① the wavelength on the sandy seabed is longer than that on an impermeable bottom, and it will increase with the increase of the permeability coefficients; ② when waves propagate toward the shore, the decreasing degree of the wavelength by wave shoaling on the sandy seabed is smaller compared with the impermeable bottom, and the differences are more remarkable in a shallower water depth. Therefore, the effect of the permeable sandy bottom on the wavelength is equivalent to a variable Δh, namely the water depth of the seabed, which increases with the increase in the permeability coefficients and decrease in the water depth. As a result, the wavelength of the wave propagation over the sandy seabed with a water depthhequals that over the impermeable bottom with a water depthh+Δh.

sandy seabed; permeability; dispersion equation; water depth on seabed

10.16198/j.cnki.1009-640X.2017.03.007

2016-07-08

國家海洋局海洋可再生能源專項資金資助項目(ZJME201 1BL04)； 浙江海洋學院港航工程科研團隊建設基金資助項目

倪云林(1986—)， 男， 浙江舟山人， 講師，碩士， 主要從事波浪對海上建筑物作用的研究。 E-mail：nylzjou@126.com 通信作者：唐志波(E-mail：522535919@qq.com)

TV139.2

A

1009-640X(2017)03-0051-05

倪云林， 章哲文， 唐志波， 等. 波浪在沙質(zhì)海床上傳播波長變化[J]. 水利水運工程學報, 2017(3): 51-55. (NI Yunlin, ZHANG Zhewen, TANG Zhibo, et al. Changes in wavelength of wave propagation over a sandy seabed[J]. Hydro-Science and Engineering, 2017(3): 51-55. (in Chinese))