基于向量夾角余弦與IGOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測模型

朱帥帥，袁宏俊

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030）

基于向量夾角余弦與IGOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測模型

朱帥帥，袁宏俊

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠233030）

針對(duì)區(qū)間數(shù)的組合預(yù)測問題，利用連續(xù)有序加權(quán)平均算子，構(gòu)造每一期單項(xiàng)預(yù)測區(qū)間值的預(yù)測精度，并以每期預(yù)測精度為誘導(dǎo)值，引入廣義的誘導(dǎo)有序加權(quán)平均（IGOWA）算子，分別對(duì)區(qū)間數(shù)的左右端點(diǎn)，以向量夾角余弦為準(zhǔn)則，建立基于廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子的多目標(biāo)區(qū)間組合預(yù)測模型，然后將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題進(jìn)而求出權(quán)重.最后，通過實(shí)例表明所構(gòu)建模型能夠有效降低預(yù)測誤差.

連續(xù)有序加權(quán)平均算子；向量夾角余弦；誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)平均算子；區(qū)間組合預(yù)測

0 引言

自Bates和Granger開創(chuàng)組合預(yù)測[1]以來，組合預(yù)測的理論與方法得到了飛速的發(fā)展.陳華友（2006）以向量夾角余弦為準(zhǔn)則，建立了加權(quán)算術(shù)平均組合預(yù)測模型，其研究在理論上說明了基于向量夾角余弦的線性組合預(yù)測的有效性[2].楊蕾（2013）將誘導(dǎo)廣義OWA算子運(yùn)用到組合預(yù)測模型中，以最大-最小貼近度為準(zhǔn)則建立最優(yōu)組合預(yù)測模型[3].繼數(shù)值型組合預(yù)測模型之后，區(qū)間組合預(yù)測模型成了研究的熱點(diǎn).王曉等（2010）建立了基于誘導(dǎo)有序加權(quán)平均（IOWA）算子的區(qū)間組合預(yù)測模型[4].陶志富等（2010）在向量夾角余弦準(zhǔn)則下，對(duì)區(qū)間組合預(yù)測建立了多目標(biāo)組合預(yù)測模型[5].胡凌云等（2013）從區(qū)間數(shù)的左右端點(diǎn)出發(fā)建立區(qū)間組合預(yù)測模型，引入誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均（IOWGA）算子，在對(duì)數(shù)誤差平方和的準(zhǔn)則下，對(duì)區(qū)間數(shù)的左、右端點(diǎn)分別構(gòu)造基于IOWGA算子的變權(quán)系數(shù)最優(yōu)組合預(yù)測模型，把多目標(biāo)最優(yōu)化模型通過引入偏好系數(shù)處理，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)最優(yōu)化模型[6].金飛飛等（2013）將連續(xù)有序加權(quán)平均算子（COWA）與誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子結(jié)合，把COWA算子下的預(yù)測精度看成區(qū)間預(yù)測值的誘導(dǎo)值，并在COWA算子基礎(chǔ)上以區(qū)間組合預(yù)測誤差平方和為準(zhǔn)則建立區(qū)間組合最優(yōu)模型[7].江立輝（2014）對(duì)連續(xù)區(qū)間數(shù)廣義有序加權(quán)平均算子作出了定義，并將誘導(dǎo)有序加權(quán)平均（IOWA）算子和連續(xù)區(qū)間數(shù)廣義有序加權(quán)平均（C-GOWA）算子相結(jié)合，提出誘導(dǎo)有序加權(quán)連續(xù)區(qū)間廣義有序加權(quán)平均（IOWC-GOWA）算子的概念[8].胡紀(jì)綱（2016）利用誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均（IOWGA）算子，將區(qū)間視作整體，以灰色區(qū)間關(guān)聯(lián)度作為誘導(dǎo)準(zhǔn)則，建立左右端點(diǎn)權(quán)重不相等的常規(guī)的區(qū)間組合預(yù)測模型[9].本文借鑒前人的研究成果，引入COWA算子，建立預(yù)測精度以及廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子（IGOWA），以向量夾角余弦為準(zhǔn)則建立多目標(biāo)的區(qū)間組合預(yù)測模型，進(jìn)一步，引入平衡系數(shù)將其轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)的區(qū)間組合預(yù)測模型并實(shí)現(xiàn)計(jì)算.最后，通過實(shí)例分析結(jié)果顯示所構(gòu)建的模型是合理和有效的.

1 基本概念

記X=[x-，x+]，其中x-，x+∈R，x-燮x+，則X為一區(qū)間，當(dāng)x-=x+時(shí)，區(qū)間X退化為普通實(shí)數(shù).

對(duì)于區(qū)間數(shù)X=[x-，x+]，令，分別稱c，r為區(qū)間數(shù)X的中點(diǎn)與半徑.故區(qū)間數(shù)X可以表示為（c，r）.

令區(qū)間數(shù)為Xt，t=1，2…n，ct，rt分別表示為區(qū)間數(shù)Xt的中點(diǎn)和半徑，預(yù)測區(qū)間值為X贊t，t=1，2…n，c贊t，r贊t為X贊t的中點(diǎn)和半徑.

定義1[10]分別記，θ=rt-r贊t準(zhǔn)=ct-c贊t為Xt，X贊t的長度誤差和位置誤差，從而可定義平均區(qū)間長度誤差平方和MSEL與平均區(qū)間位置誤差平方和MSEP分別為：

稱MSEI=MSEL+MSEP為平均區(qū)間誤差平方和，n代表樣本數(shù).

定義3[11]設(shè)[a，b]為區(qū)間數(shù)，稱

為連續(xù)區(qū)間數(shù)有序加權(quán)平（COWA）算子，其中Q（z）：[0，1]→[0，1]稱之為基本的單位區(qū)間單調(diào)（BUM）函數(shù)，滿足Q（0）=0；Q（1）=1；當(dāng)z1＞z2時(shí)，Q（z1）＞Q（z2）.

令

稱eit為第i單項(xiàng)預(yù)測方法第t時(shí)刻COWA算子下的區(qū)間預(yù)測相對(duì)誤差.

為廣義誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子，其中參數(shù)λ∈（-∞，0）∩（0，∞），u-index（i），是u1，u2，…，un，從大到小排列，第i大的數(shù)的下標(biāo).ui為ai的誘導(dǎo)值.

設(shè)

稱ait為第i種單項(xiàng)預(yù)測方法t時(shí)刻在COWA算子下的預(yù)測精度.顯然ait∈[0，1]，i=1，2，…m，t=1，2，…n.把在COWA算子下的預(yù)測精度作為誘導(dǎo)值，由此可以構(gòu)造m個(gè)二維數(shù)組：＜a1t，x1t＞，＜a2t，x2t＞，…＜amt，xmt＞，其中xit表示第i種單項(xiàng)預(yù)測方法在第t時(shí)刻的預(yù)測值.設(shè)a-index（it）為在COWA算子下第i大的預(yù)測精度的下標(biāo).

1，2，…，m，稱X贊t為t時(shí)刻在COWA算子下，區(qū)間預(yù)測精度序列a1t，a2t，…amt所產(chǎn)生的IGOWA的區(qū)間組合預(yù)測值.有：

2 基于向量夾角余弦與IGOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測模型

i，j=1，2，…，m.稱m×m的方陣E-ij為基于向量夾角余弦IGOWA算子組合預(yù)測的λ次冪左信息矩陣.又

所以有

令

稱m×m的方陣E+ij為基于向量夾角余弦IGOWA算子組合預(yù)測的λ次冪右信息矩陣.則有

可以看出η-，η+均與權(quán)向量有關(guān)，我們希望夾角余弦的值越大越好，因此構(gòu)造如下多目標(biāo)最優(yōu)模型：

上式中，約束條件式子為權(quán)重向量滿足歸一化條件.

其中參數(shù)α，滿足0燮α燮1，作為平衡系數(shù)用于權(quán)衡多目標(biāo)規(guī)劃問題各目標(biāo)值的重要性，因此，在實(shí)際問題中可根據(jù)預(yù)測區(qū)間數(shù)的左右端點(diǎn)的重要程度給出.

定理1單目標(biāo)規(guī)劃（18）的最優(yōu)解，在多目標(biāo)規(guī)劃式（17）中必定是其有效解.

證明：（反證法）η-，η+均為ω=（ω1，ω2，…ωm）的函數(shù)，設(shè)單目標(biāo)規(guī)劃（18）的最優(yōu)解為ω*，但其不是式（18）的有效解，則存在ω′使得：

由于假定實(shí)際值預(yù)測序列為正，則存在：

αη（-ω′）+（1-α）η（+ω′）＞αη（-ω*）+αη（+ω*）故ω*矛盾于其為單目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

定理1表明，在處理多目標(biāo)規(guī)劃問題時(shí)，可將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)進(jìn)行求解.

定義7對(duì)于給定λ與α的值：若η＞max ηi，則此權(quán)重決定的組合預(yù)測模型稱為優(yōu)性組合預(yù)測；若min ηi燮η燮max ηi，則將該組權(quán)重決定的組合預(yù)測模型稱為非劣性組合預(yù)測；若η＜min ηi，則該組權(quán)重決定的組合預(yù)測模型稱為劣性組合預(yù)測.

3 實(shí)例分析

表1中已經(jīng)給出了實(shí)際區(qū)間以及三種單項(xiàng)預(yù)測方法的預(yù)測區(qū)間.

令Q（y）=y3，則有μ=0.25，利用式子（5）（6）（8）計(jì)算出預(yù)測區(qū)間的預(yù)測精度a1t，a2t，a3t，t=1，2…，6，以區(qū)間數(shù)的預(yù)測精度作為誘導(dǎo)值產(chǎn)生xa-index（1t），xa-index（2t），xa-index（3t），t=1，2…，6，如表2.

表2與式（16）結(jié)合，分別令λ=1,2,3，α=0. 1,0.5,0.9，結(jié)合表1的數(shù)據(jù)，得到不同的最優(yōu)權(quán)重，如表3.

利用以上結(jié)果可得到單項(xiàng)預(yù)測與區(qū)間組合預(yù)測方法的誤差如表4.

從表4的計(jì)算結(jié)果可以看出，在取態(tài)度參數(shù)μ= 0.25時(shí)，區(qū)間組合預(yù)測方法相對(duì)于其他三種單線預(yù)測方法的結(jié)果更優(yōu)，同時(shí)預(yù)測可隨著λ與α取值的調(diào)整以降低預(yù)測誤差，因此認(rèn)為該預(yù)測方法是有效的預(yù)測方法.

結(jié)合式（10）（11）可以算出實(shí)際區(qū)間數(shù)與各單項(xiàng)預(yù)測區(qū)間數(shù)的左右端的夾角余弦值，利用式（19）進(jìn)行加權(quán).在不同λ與α值下有表5.

表1 實(shí)際區(qū)間與不同單項(xiàng)預(yù)測方法的預(yù)測區(qū)間

表2 區(qū)間預(yù)測精度及其作為誘導(dǎo)值產(chǎn)生的區(qū)間數(shù)

表3 在λ與α不同組合值下的最優(yōu)權(quán)重

表4 單項(xiàng)預(yù)測與區(qū)間組合預(yù)測方法的誤差

表5 不同λ與α組合值下左右端夾角余弦的加權(quán)值

由表5可以看出，對(duì)于給定的與值，均有.由定義7可知，本文的組合預(yù)測模型為優(yōu)性組合預(yù)測模型.

4 結(jié)束語

本文利用算子構(gòu)造預(yù)測區(qū)間的精度，以此為誘導(dǎo)值，以夾角余弦為準(zhǔn)則，建立多目標(biāo)GIOWA組合預(yù)測模型，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)的規(guī)劃問題，對(duì)模型的求解進(jìn)行了討論，給出了優(yōu)性組合預(yù)測模型的定義.最后，在給定態(tài)度參數(shù)μ下，通過實(shí)例驗(yàn)證了廣義加權(quán)系數(shù)λ與平衡系數(shù)α取不同值時(shí)模型的有效性，并說明了本文的組合預(yù)測模型為優(yōu)性組合預(yù)測模型.然而，本文缺乏在態(tài)度參數(shù)取不同值下組合預(yù)測誤差如何變動(dòng)的討論，這些問題有待深入研究.

[1]Bates，Granger.The Combination of Forecasts[J].Operational Research Quarterly，1969，20（4）：451-468.

[2]陳華友，盛昭瀚，劉春林.基于向量夾角余弦的組合預(yù)測模型的性質(zhì)研究[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，9（2）：1-8.

[3]楊蕾，陳華友，王寧.基于貼近度的誘導(dǎo)廣義OWA算子最優(yōu)組合預(yù)測模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013（5）：24-26.

[4]王曉，劉兮，陳華友，江立輝.基于IOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測方法[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)（信息與管理工程版），2010，（02）：221-225.

[5]陶志富，張進(jìn)，陳華友.基于向量夾角余弦的區(qū)間組合預(yù)測多目標(biāo)規(guī)劃方法[J].西華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，29（3）：35-41.

[6]胡凌云，袁宏俊.基于左右端點(diǎn)的IOWGA算子的區(qū)間型組合預(yù)測模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013（11）：22-25.

[7]金飛飛，李捷，陳華友，等.基于連續(xù)有序加權(quán)平均算子的區(qū)間組合預(yù)測[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：信息與管理工程版，2013，35（5）：668-672.

[8]江立輝，陳華友，丁芳清，程玲華.基于IOWC-GOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測模型[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2015（3）：50-54.

[9]胡紀(jì)綱，芮源，袁宏俊.基于區(qū)間關(guān)聯(lián)度的IOWGA算子的區(qū)間組合預(yù)測[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2016（12）：19-22.

[10]徐惠莉，吳柏林，講韶珊.區(qū)間時(shí)間序列預(yù)測精準(zhǔn)度探討[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2008，12（1）：133-140.

[11]Li-Gang Zhou，Hua-You Chen.Continuous generalized OWA operator and its application todecision making[J].FuzzySets and Systems，2011，168（10）：18-34.

Interval Combination Forecasting Model Based on Vector Angle Cosine And IGOWA Operator

ZHU Shuai-shuai，YUAN hong-jun
（Anhui Finance and Economics University，BengBu，Anhui 233030）

Aim at the interval number prediction problem，using continuous ordered weighted averaging operator，construct prediction accuracy of each single prediction interval value，and take the prediction accuracy as induced value，introducing generalized induced ordered weighted averaging（IGOWA）operator，based on the vector angle cosine criterion and induced generalized ordered weighted averaging operator，respectively establish multi-objective interval combination forecasting models on left and right end points of interval number，and then transformed into a single objective programming problem to calculate the weight.Finally，an example is given to show that the model can effectively reduce the prediction error.

continuous ordered weighted averaging operator；vector angle cosine；induced generalized ordered weighted averaging operator；interval combination forecasting models

O221

A

1671－9743（2017）05－0032－05

2017-03-02

國家社科基金青年項(xiàng)目（13CTJ006）；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金項(xiàng)目（ACYC2015094）.

朱帥帥，1990年生，男，安徽宿州人，碩士生，研究方向：經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)；袁宏俊，1978年生，男，安徽廬江人，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：預(yù)測理論和方法、決策分析等研究.