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    帶有奇異項(xiàng)Kirchhoff型方程正解的存在性

    2017-07-24 16:09:38宋朝霞
    關(guān)鍵詞:極小值極大值朝霞

    宋朝霞,張 琦

    (山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

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    帶有奇異項(xiàng)Kirchhoff型方程正解的存在性

    宋朝霞,張 琦

    (山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

    考慮帶有奇異項(xiàng)的Kirchhoff型方程,以獲得該方程正解的存在性。首先,利用嵌入定理與范數(shù)的弱下半連續(xù)性,證明能量泛函可以達(dá)到全局極小值。其次,利用單調(diào)收斂定理,證明全局極小值為正。最后,利用極小極大值方法,得到該方程正解的存在性結(jié)果。

    Kirchhoff型方程;奇異性;極小極大值方法;存在性

    0 引言

    考慮如下帶有奇異項(xiàng)的Kirchhoff型方程:

    (1)

    其中:Ω?3為一個(gè)光滑的有界區(qū)域;γ∈(0,1);λ,μ≥0;p∈(0,5];q∈(0,3)且a,b≥0,a+b>0是參數(shù)。此外,系數(shù)h∈L6/(5+γ)(Ω)且對(duì)于幾乎每個(gè)x∈Ω有h(x)>0。

    Kirchhoff型方程在有界區(qū)域或無界區(qū)域已經(jīng)被廣泛研究,并得到了許多經(jīng)典的結(jié)果[1-5]。特別是文獻(xiàn)[2]通過變分方法和Pohozaev恒等式,得到?jīng)]有緊性條件Kirchhoff型方程正的基態(tài)解的結(jié)果。然而對(duì)于奇異的Kirchhoff型方程的研究[6-10]較少。文獻(xiàn)[6-7]主要考慮在λ=0,μ≥0的情況下,利用變分方法和Nehari流形研究方程(1)解的存在性和多解性。文獻(xiàn)[8]利用極小極大值方法得到方程(1)在λ≥0,μ=0時(shí)解的存在性和唯一性。本文主要考慮在λ,μ≥0時(shí)方程(1)正解的存在性。

    1 預(yù)備知識(shí)

    在研究方程(1)的主要結(jié)果之前,引入一些基本定義[11]。

    Lp(Ω)的范數(shù)表示為:

    方程(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函為:

    由于奇異項(xiàng)的存在,泛函J不滿足Fréchet可微,因此不能直接利用臨界點(diǎn)理論得到解的存在性。

    (2)

    定理1 假設(shè)a,b≥0,a+b>0,γ∈(0,1),λ,μ≥0,p∈(0,5],q∈(0,3),h∈L6/(5+γ)(Ω)且對(duì)于幾乎每個(gè)x∈Ω有h(x)>0,則方程(1)存在正解,并且這個(gè)解是全局極小解。

    證明 由柯西(Cauchy)中值定理[12]可知,對(duì)任意的s∈(0,∞),存在ξ∈(0,s)使得:

    故F/G在(0,∞)是遞減的,這個(gè)結(jié)論改善了文獻(xiàn)[13]中的引理A.1。

    假設(shè)a0,b0≥0,γ∈(0,1)。定義函數(shù)F:(0,∞)→(0,∞),

    證明 當(dāng)a0=b0=0時(shí),F(xiàn)=0,結(jié)論顯然成立。下面假設(shè)a0,b0≥0,a0+b0>0,則:

    f(t):=F′(t)=(a0+b0t)-γb0,t∈(0,∞),

    易知,f在(0,∞)上是遞減的,由引理1可知,F(xiàn)(t)/t在(0,∞)上也是遞減的。

    此外,由洛必達(dá)法則可得:

    當(dāng)a0=0,b0>0時(shí),該式等于∞。

    由于γ∈(0,1),p∈(0,5],q∈(0,3)且對(duì)于幾乎每個(gè)x∈Ω有h(x)>0,則可以得到當(dāng)正數(shù)t充分小時(shí),J(tu)<0,因此m<0。

    (3)

    (4)

    此外,由式(3)可知:

    (5)

    利用范數(shù)的弱下半連續(xù)性、式(4)和式(5)可得:

    則J(u0)=m。

    2 主要結(jié)果的證明

    (6)

    對(duì)于幾乎每個(gè)x∈Ω,定義

    (7)

    (8)

    對(duì)幾乎每個(gè)x∈Ω有u0(x)>0。若假設(shè)結(jié)論不成立,則存在E?Ω使得m(E)>0且對(duì)所有的x∈E有u0(x)=0,則:

    該式與式(8)矛盾。

    事實(shí)上,定義函數(shù)φ:→為φ(t)=J(tu0),則φ在t=1時(shí)達(dá)到極小值,即

    (9)

    Ω+={x∈Ω:u0(x)+εv(x)≥0},Ω-={x∈Ω:u0(x)+εv(x)<0},

    則:

    l0∫Ω-u0·。

    (10)

    選取ε=1/n,則Ω-?{x∈Ω:u0(x)≤0}∪{x∈Ω:v(x)=-∞}∪En且當(dāng)n→∞有m(Ω-)=m(En)→0。在式(10)中令ε=1/n→0,有:

    由v的任意性可知:此不等式對(duì)-v也成立,因此,u0是方程(1)的解。此外,由引理3可知:u0是全局極小解。證畢。

    [1] CHEN C,KUO Y,WU T.The Nehari manifold for a Kirchhoff type problem involving sign-changing weight functions[J].Journal of differential equations,2011,252:1876-1908.

    [2] GUO Z J.Ground states for Kirchhoff equations without compact condition[J].Journal of differential equations,2015,259:2884-2902.

    [3] HE X,ZOU W M.Existence and concentration behavior of positive solutions for a Kirchhoff equation in3[J].Journal of differential equations,2012,252:1813-1834.

    [4] LI G,YE H.Existence of positive ground state solutions for the nonlinear Kirchhoff type equations in3[J].Journal of differential equations,2014,257:566-600.

    [5] LI Y,LI F,SHI J.Existence of a positive solution to Kirchhoff type problems without compactness conditions[J].Journal of differential equations,2012,253:2285-2294.

    [6] LEI C Y,LIAO J F,TANG C L.Multiple positive solutions for Kirchhoff type of problems with singularity and critical exponents[J].Journal of mathematical analysis and applications,2015,421(1):521-538.

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    [8] LIAO J F,KE X F,LEI C Y,et al.A uniqueness result for Kirchhoff type problems with singularity[J].Applied mathematics letters,2016,59:24-30.

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    [10] LIU X,SUN Y J.Multiple positive solutions for Kirchhoff type problems with singularity[J].Communications on pure and applied analysis,2013,12(2):721-733.

    [11] 張恭慶,林源渠.泛函分析講義[M].北京:北京大學(xué)出版社,2011.

    [12] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)[M].3版.北京:高等教育出版社,2008.

    [13] LI F Y,ZHU X L,LIANG Z P.Multiple solutions to a class of generalized quasilinear Schr?dinger equations with a Kirchhoff-type perturbation[J].Journal of mathematical analysis and applications,2016,443(1):11-38.

    國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301313,11571209);山西省高等學(xué)??萍紕?chuàng)新基金項(xiàng)目(2015101,2016106)

    宋朝霞(1989-),女,山西大同人,碩士生;張琦(1980-),女,山西臨猗人,講師,博士,碩士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析.

    2016-09-01

    1672-6871(2017)03-0091-04

    10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.03.019

    O177.91;O175.2

    A

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