區(qū)間值分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程解的存在性與唯一性

杜思嘉

(廣西民族大學(xué) 理學(xué)院，廣西 南寧 530006)

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區(qū)間值分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程解的存在性與唯一性

杜思嘉

(廣西民族大學(xué) 理學(xué)院，廣西 南寧 530006)

通過分析分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微積分方程理論與區(qū)間值函數(shù)，研究了區(qū)間值一階分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微積分方程的性質(zhì)及其應(yīng)用。通過運(yùn)用Banach不動點(diǎn)定理，探究在特定條件下區(qū)間值分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微積分方程的關(guān)系，證得區(qū)間值Caputo一階分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程解的存在性與唯一性。

區(qū)間值函數(shù)；存在性與唯一性；分?jǐn)?shù)階運(yùn)算；時(shí)滯

0 引言

區(qū)間值微積分方程是區(qū)間分析理論中的重要部分，受到廣泛關(guān)注，并取得了重要研究成果[1-3]。分?jǐn)?shù)階運(yùn)算作為數(shù)學(xué)工具越來越多地用于解決實(shí)際問題，分?jǐn)?shù)階微分方程的探究也得出了許多結(jié)論。通過把時(shí)滯現(xiàn)象與分?jǐn)?shù)階微分方程結(jié)合進(jìn)行研究，得到了許多有實(shí)際意義的結(jié)論[4-6]。分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程和區(qū)間值微分方程都是解決區(qū)間分析實(shí)際問題的重要工具。但是，區(qū)間值一階分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程這個(gè)問題并未解決，并且對區(qū)間值函數(shù)的分?jǐn)?shù)階運(yùn)算理論研究也非常少。所以，分析區(qū)間值一階分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程解的存在性與唯一性所得出的結(jié)論，將對應(yīng)用區(qū)間值分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程理論來解決實(shí)際問題非常有益。

本文主要研究了以下方程解的存在性與唯一性：

(1)

通過對區(qū)間值函數(shù)的概念性質(zhì)、區(qū)間值分?jǐn)?shù)階運(yùn)算理論的總結(jié)分析，運(yùn)用Banach 壓縮不動點(diǎn)定理，論證了區(qū)間值Caputo分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程解的存在性與唯一性。

1 預(yù)備知識

即

即

定義9 任取x(t)∈L1([0,H],Kc)且0<α≤1，對x(t)做區(qū)間α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在 t∈[0,H]上處處存在，則對x(t)∈L1([0,H],Kc)在t∈[0,H]上做區(qū)間α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[11-12]，0<α≤1，有：

引理1 根據(jù)Gronwall不等式定理[13]，假設(shè)存在α>0，y(t)是非負(fù)的且在t∈[0,H)上局部可積的函數(shù)，h(t)是定義在t∈[0,H)上非負(fù)的不減的連續(xù)函數(shù)且h(t)≤M(常數(shù))，并且假設(shè)f(t)是在t∈[0,H)上非負(fù)的局部可積的，且滿足

則可得:

引理2 設(shè)y(t)是定義在t∈[0,H)上不減的函數(shù)，在引理1的前提下，則:

其中：Eα為Mittag-Leffler函數(shù)。

假設(shè)1 設(shè)存在K>0,使得

(5)

假設(shè)2 設(shè)f:[0,H]→Kc滿足Lipschitz條件，即存在L>0,使得

(6)

2 主要結(jié)論

(7)

證明 當(dāng)t∈[-τ,0]時(shí)，x(t)=φ(t),那么φ(t)就是方程(1)的解。

一方面，

另一方面，

定理2 在假設(shè)1的前提下，當(dāng)x(t)在t∈[0,H]時(shí)滿足方程(7)并且f∈C([0,H],Kc),則存在常數(shù)M>0,使得x(t)滿足

且

證明 當(dāng)t∈[0,H]時(shí),

由此可得：

綜上所述，可得：

定理3 在定理1與假設(shè)1的前提下，設(shè)x(t)∈C([-τ,H],Kc),f:[0,H]→Kc滿足Lipschitz條件(6),當(dāng)

且

則方程(7)存在唯一的解x′或x″。

證明 根據(jù)定義2可知，更廣義的區(qū)間值減法(gH-減法)存在的兩種情況，表明方程(7)可以劃成以下兩種方程形式之一：

(8)

與

(9)

根據(jù)方程(8)與方程(9)的形式，在CM([0,H],Kc)上定義映射B1和B2，即

顯然，(B1x)(t)∈C([0,H],Kc)且(B2x)(t)∈C([0,H],Kc)。對于任意的x,y∈CM([0,H],Kc),可以得到：

當(dāng)t∈[0,τ]時(shí)，

H((B1x)(t),(B1y)(t))≤

則

當(dāng)t∈[τ,H]時(shí)，

由此可得：

因此，

同時(shí)可以推出，當(dāng)t∈[-τ,0]，如果z1(t)和z2(t)是方程的兩個(gè)不同的解，則z1(t)和z2(t)均滿足方程(7)，那么z1(t)=z2(t)=φ(t)，t∈[-τ,0]。因此，z1(t)?gz2(t)={0}，在t∈[-τ,0]時(shí)，方程存在唯一的解。

同理可得：

因此，應(yīng)用Banach壓縮不動點(diǎn)定理表明方程(8)存在唯一的解x′，方程(9)存在唯一的解x″。

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國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271087,61263006)

杜思嘉(1991-),女,河南新鄉(xiāng)人,碩士生,主要研究方向?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微積分方程與區(qū)間值函數(shù)應(yīng)用.

2016-10-02

1672-6871(2017)03-0086-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.03.018

O175.1

A