數(shù)形結(jié)合，活躍思維

顧利群

[摘 要] 作為數(shù)學(xué)學(xué)科中最基礎(chǔ)且最古老的研究對(duì)象，數(shù)與形兩者之間存在一定聯(lián)系，故而可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化?？紤]到這一特點(diǎn)，教師可巧妙導(dǎo)入數(shù)形結(jié)合法開(kāi)展具體教學(xué)，將學(xué)生帶入到探究活動(dòng)中，以“數(shù)形轉(zhuǎn)換”活躍思維、發(fā)展思維，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)思辨及運(yùn)用能力。

[關(guān)鍵詞] 初中 數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)形結(jié)合法 思維 策略 效果

傳統(tǒng)初中教學(xué)課堂中，數(shù)學(xué)教師將教學(xué)重點(diǎn)聚焦到提高學(xué)生應(yīng)試成績(jī)上，認(rèn)為提高成績(jī)就是學(xué)生進(jìn)步發(fā)展的表現(xiàn)，并未關(guān)注到學(xué)生數(shù)學(xué)思辨能力發(fā)展、情感意志提升等高階層面發(fā)展。自新課改以來(lái)，教師對(duì)學(xué)生思維能力發(fā)展的認(rèn)識(shí)及關(guān)注度有所提升，也在致力于創(chuàng)新教學(xué)方式，以更好地活躍及發(fā)展學(xué)生思辨能力。數(shù)形結(jié)合法是構(gòu)建在“數(shù)”與“形”兩者可相互轉(zhuǎn)化的體系上[1]，以因材施教、循序漸進(jìn)原則實(shí)施教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生善于找出并掌握知識(shí)之間的通法與通性，從不同維度、不同形式思考，以最終掌握知識(shí)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)教師可在授課中可引入數(shù)形結(jié)合法，以數(shù)形結(jié)合，活躍思維，提升教學(xué)成效。

一、數(shù)形結(jié)合法的基本定義及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)調(diào)在一定前提下，“數(shù)”與“形”兩者之間可互相轉(zhuǎn)換。數(shù)學(xué)家華羅庚是這樣表述，“數(shù)形結(jié)合萬(wàn)般好，隔裂分家萬(wàn)事非”[2]，道出兩者不可分割的關(guān)系。通過(guò)“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”將抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)語(yǔ)言與形象的位置關(guān)系與幾何圖形有機(jī)整合在一起，化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體，以優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)理解及難題解答。具體而言，數(shù)形結(jié)合可大致上分為以下兩種情形：其一，以幾何圖形的直觀性闡明數(shù)量關(guān)系，即“以形助數(shù)”；其二，以精準(zhǔn)的數(shù)量闡明形的屬性，即“以數(shù)解形”。一般情況下，數(shù)學(xué)中某些圖形過(guò)于簡(jiǎn)化，通過(guò)肉眼無(wú)法觀察出規(guī)律，需引入角度、邊長(zhǎng)等圖形賦值，以更好地了解并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)課程內(nèi)容比較抽象，尤其是幾何圖形，大部分學(xué)生很難自行在腦海中形成生動(dòng)且直觀的圖形形象，自然也不能有效理解幾何知識(shí)，無(wú)法掌握一定的解題思路。換種角度進(jìn)行闡述，即便是應(yīng)對(duì)比較簡(jiǎn)單的幾何平面知識(shí)，初中生也很難著手進(jìn)行操作。比如在《勾股定理》一課授課中，傳統(tǒng)教學(xué)中，教師多一遍帶過(guò)“勾股定理”的概念及其意思，然后即刻讓學(xué)生運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題解答。此時(shí)，學(xué)生尚未對(duì)“勾股定理”形成較為全面的認(rèn)知，很難通過(guò)簡(jiǎn)單圖形聯(lián)系其勾股定理。若教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在圖形中標(biāo)準(zhǔn)出賦值“邊長(zhǎng)”，可降低思維難度，通過(guò)數(shù)形結(jié)合將抽象圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字化信息，隨即進(jìn)行運(yùn)算、判斷即可。總之，數(shù)形結(jié)合可將抽象思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫呦笄抑庇^形象，大大降低理解難度，便于學(xué)生進(jìn)行理解、解答。

二、數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用策略

由前文可知，數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，是幫助學(xué)生理解、內(nèi)化以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的思想手段。為此，初中數(shù)學(xué)教師可在全面掌握本班學(xué)生實(shí)際學(xué)情前提下，深入探究教學(xué)內(nèi)容，巧妙導(dǎo)入數(shù)形結(jié)合教學(xué)，以數(shù)形結(jié)合，活躍學(xué)生思維以及思辨意識(shí)，以提升其綜合能力。

1.滲透“數(shù)形結(jié)合”理念，化生為熟

經(jīng)由一段時(shí)間的學(xué)習(xí)及發(fā)展，初中生的信念、興趣、動(dòng)機(jī)等個(gè)體傾向性以及性格、能力以及氣質(zhì)等心理特征都漸趨于成熟。然而，受知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知及感知能力不足的限制，初中生在階段性接受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)仍無(wú)法根據(jù)個(gè)人能力進(jìn)行直觀想象及思考，尤其是在應(yīng)對(duì)幾何圖形時(shí)。由此可見(jiàn)，導(dǎo)入數(shù)形結(jié)合教學(xué)至關(guān)重要[3]。授課設(shè)計(jì)中，教師應(yīng)考慮整個(gè)教學(xué)內(nèi)容的安排對(duì)學(xué)生的意義，分清不同環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生的不同作用，站在學(xué)生角度進(jìn)行分析，探索出學(xué)生知識(shí)習(xí)得的過(guò)程，體現(xiàn)其情感及數(shù)感意志，巧妙滲透數(shù)形結(jié)合理念，提升教學(xué)成效。具體實(shí)踐中，教師應(yīng)就最近發(fā)展區(qū)為切入點(diǎn)，在數(shù)學(xué)思想與方法教學(xué)中導(dǎo)入數(shù)形結(jié)合理念，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，化生為熟。

以蘇教版初中數(shù)學(xué)教材為例進(jìn)行說(shuō)明，首先在七年級(jí)（上）《余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角》一課中，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)明確“余角”“補(bǔ)角”“對(duì)頂角”的概念及性質(zhì)，讓學(xué)生深刻掌握基礎(chǔ)知識(shí)，然后引入具體圖形讓學(xué)生帶動(dòng)原有知識(shí)進(jìn)行觀察、思考、分析及推理，以加深對(duì)知識(shí)的理解。授課實(shí)踐中，教師可首先引出意大利比薩斜塔相關(guān)知識(shí)，以比薩斜塔導(dǎo)入教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)能動(dòng)性及積極性，讓學(xué)生對(duì)“角”有進(jìn)一步的認(rèn)知及了解。

A

OA為斜塔，B表示影子，∠AOB=80°

O B

（圖一）

視頻播放后，教師可具體運(yùn)用圖形、符號(hào)以及文字符號(hào)講解“余角”與“補(bǔ)角”的定義及性質(zhì)，圖形文字如圖（一）。教師將斜塔相關(guān)特性轉(zhuǎn)化為具體、直觀的圖形及數(shù)字信息，以直觀形象刺激學(xué)生大腦神經(jīng)，便于學(xué)生更好地理解并內(nèi)化知識(shí)。為更好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)思考狀態(tài)，教師可引出“就圖示得，比薩斜塔傾斜的角度是多少？”“邊OA與AB成的角是多少度？”等提問(wèn)，自然引出本文的主題“余角”“補(bǔ)角”，并強(qiáng)化余角與補(bǔ)角的性質(zhì)。通過(guò)直觀的圖形與數(shù)字，學(xué)生對(duì)“余角”“補(bǔ)角”的認(rèn)知就不局限于教師以往的“照本宣科”講解，而是經(jīng)由數(shù)形結(jié)合，自主投入更多時(shí)間進(jìn)行探究、思考、交流，帶著“余角是什么概念，那具體表現(xiàn)在哪里呢？”這樣的疑問(wèn)對(duì)圖形信息進(jìn)行整合、分析，而最終理解知識(shí)概念。

2.引導(dǎo)“數(shù)形結(jié)合”操作，化繁為簡(jiǎn)

所謂“授人以魚(yú)不如授人以漁”，同樣道理運(yùn)用到初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)中亦如此。“數(shù)形結(jié)合”是一種數(shù)學(xué)思想，而只有將思想投入實(shí)踐，才可真正體現(xiàn)其價(jià)值及意義，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效也自然隨之上升。具體實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于調(diào)動(dòng)原有知識(shí)求解新知識(shí)、利用熟知問(wèn)題解決陌生問(wèn)題，以真切掌握“數(shù)形結(jié)合法”，逐步養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)真理、認(rèn)識(shí)世界的科學(xué)素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合操作，對(duì)培養(yǎng)其思維能力、促進(jìn)其終身發(fā)展至關(guān)重要。建構(gòu)在富于創(chuàng)意與動(dòng)感的圖形上，加上簡(jiǎn)潔清晰的數(shù)字語(yǔ)言，學(xué)生可更加深切體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合的價(jià)值所在，養(yǎng)成善于觀察、善于動(dòng)手操作的習(xí)慣，在短時(shí)間篩選關(guān)鍵信息，并作出聯(lián)想反應(yīng)。

比如在《探索三角形全等的條件》章節(jié)授課中，教師應(yīng)組織學(xué)生自主進(jìn)行操練、推理、總結(jié)，以數(shù)形結(jié)合深化知識(shí)。在上一下節(jié)課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生已學(xué)習(xí)到全等圖形、全等三角形的知識(shí)，自然對(duì)圖形全等大體上有一個(gè)概念。全等三角形這一知識(shí)點(diǎn)密切關(guān)系到直角三角形、等腰三角形、角平分線，通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行操作，可培養(yǎng)其邏輯思維、推理論證的能力。因而在本章教學(xué)中，教師可按照“提問(wèn)——操練——思考——總結(jié)”程序進(jìn)行教學(xué)，首先以“什么條件下可實(shí)現(xiàn)三角形全等？”為題讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行描圖推理，以數(shù)形結(jié)合進(jìn)行觀察分析。傳統(tǒng)教學(xué)上，教師多直接引出“邊邊邊”判定標(biāo)準(zhǔn)，然后直接拿出習(xí)題進(jìn)行練習(xí)。在此，教師可引導(dǎo)學(xué)生描出三角形，并分別給邊或角賦值，以具體數(shù)據(jù)進(jìn)行判定，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中練習(xí)、在練習(xí)中犯錯(cuò)、在錯(cuò)誤中更正，以最終對(duì)知識(shí)形成自我思維框架。隨后，教師可根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行評(píng)價(jià)分析，并引出“按要求作圖：三個(gè)角均為60°；以90°、60°、30°為內(nèi)角”習(xí)題操作，讓學(xué)生自主完成，并在數(shù)形結(jié)合中得出全面認(rèn)知?？傊?，教師與其“滔滔不絕”“苦口婆心”進(jìn)行講解，倒不及讓學(xué)生自主參與到數(shù)形結(jié)合練習(xí)中，養(yǎng)成以數(shù)形結(jié)合進(jìn)行學(xué)習(xí)及解答的意識(shí)，掌握適合自己的學(xué)習(xí)方法，才可真正提升教學(xué)成效。

3.把握“數(shù)形結(jié)合”精髓，解難答疑

數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯性、系統(tǒng)性更強(qiáng)，數(shù)學(xué)概念及定律是經(jīng)前人在大量實(shí)驗(yàn)探究基礎(chǔ)上，運(yùn)用簡(jiǎn)練語(yǔ)言進(jìn)行表述而來(lái)?？此坪?jiǎn)單的一言概之，實(shí)際上數(shù)學(xué)概念蘊(yùn)藏豐富的知識(shí)及內(nèi)涵，僅憑字面意思是無(wú)法真正體會(huì)其價(jià)值。另外，數(shù)學(xué)習(xí)題或考試中，題干設(shè)計(jì)的語(yǔ)言也比較簡(jiǎn)練，“三言兩語(yǔ)”下實(shí)際考查的內(nèi)容比較多?！皵?shù)形結(jié)合”，顧名思義就是“數(shù)”與“形”的結(jié)合，只要找出一定的數(shù)量關(guān)系，然后就具體數(shù)量進(jìn)行描圖分析，大體上就可掌握知識(shí)或題干的關(guān)鍵信息。為此，教師在教學(xué)中不可籠統(tǒng)性講解概念，而應(yīng)讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法深入到知識(shí)理解中，透過(guò)現(xiàn)象抓住本質(zhì)，以解難答疑。

比如在《弧長(zhǎng)及扇形的面積》一節(jié)教學(xué)中，教師需以數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生一同參與到“弧長(zhǎng)與扇形面積公式推導(dǎo)及運(yùn)用”學(xué)習(xí)活動(dòng)中，以強(qiáng)化其知識(shí)認(rèn)知。面積公式運(yùn)算是適合數(shù)形結(jié)合法的典型問(wèn)題，學(xué)生首先明確具體的圖形，然后標(biāo)識(shí)出相關(guān)的參數(shù)或指標(biāo)，并考量不同參數(shù)之間的關(guān)系，最后將具體數(shù)值代入分析，如此便可更好地解難答疑，準(zhǔn)確且快速計(jì)算出答案。數(shù)學(xué)是“數(shù)”與“形”的綜合體，抓好這兩個(gè)點(diǎn)就可找到問(wèn)題解決的突破口[4]。引出例題：已知弧長(zhǎng)為8，弧半徑為9，求弧所對(duì)圓心角=（ ）。學(xué)生第一反應(yīng)應(yīng)該是“這類(lèi)型題目應(yīng)該使用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行解答”，然后鎖定關(guān)鍵信息“弧長(zhǎng)”“半徑”，確定求值是“圓心角”，描出“圓”，并一一將相關(guān)參數(shù)標(biāo)識(shí)在圖形上，即可一目了然地掌握題干信息，最后引出公式進(jìn)行運(yùn)算即可。圓中，圓心角、弧長(zhǎng)與半徑三者關(guān)系并非一成不變的，任一參數(shù)發(fā)生變化，其余兩者也會(huì)隨著發(fā)生改變。只有通過(guò)描圖，以數(shù)形結(jié)合更為直觀展示變量參數(shù)之間的關(guān)系，刺激學(xué)生大腦思維進(jìn)行思考，將所學(xué)知識(shí)真真切切運(yùn)用到問(wèn)題解答中。傳統(tǒng)教學(xué)中，教師“苦口婆心”反復(fù)講解公式運(yùn)算，反復(fù)且大量刺激可一定程度上有助于學(xué)生記憶公式，但學(xué)生一下課就忘記所學(xué)知識(shí)是普遍性存在的現(xiàn)象。引入數(shù)形結(jié)合法教學(xué)，可活躍學(xué)生思維，真切刺激其大腦神經(jīng)進(jìn)行思考、分析、推斷，如此學(xué)習(xí)狀態(tài)下，學(xué)生才是真正學(xué)習(xí)到知識(shí)。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，是培養(yǎng)及發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維的有力途徑。為此，初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)堅(jiān)持因材施教、循序漸進(jìn)原則，善于實(shí)施數(shù)形結(jié)合教學(xué)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的練習(xí)，讓其進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)，把握住精髓，抓住題干關(guān)鍵信息，以數(shù)形結(jié)合明確變量間的關(guān)系，發(fā)展思維能力，提升綜合素養(yǎng)。

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