MATLAB在矩陣與微分方程教學(xué)中的應(yīng)用

涂金基+譚宇柱

【摘要】利用MATLAB開(kāi)展高職數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)揮其在矩陣生成和微分方程數(shù)值計(jì)算中的優(yōu)勢(shì)，依托其圖形可視化的功能，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高職數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生直觀體驗(yàn)高等數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】MATLAB；矩陣；微分方程

【基金項(xiàng)目】本文受江門(mén)職業(yè)技術(shù)學(xué)院2015級(jí)校級(jí)教改項(xiàng)目——MATLAB在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究資助.

高職數(shù)學(xué)是高職教育不可分割的一部分，教學(xué)質(zhì)量的好壞與學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成，對(duì)他們后期專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)有著非常重要的影響.停留在直觀教學(xué)階段的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方法、教學(xué)手段，利用黑板、粉筆、板書(shū)教學(xué)，已經(jīng)難以滿(mǎn)足現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展和要求，又或者即使使用了多媒體技術(shù)，但并沒(méi)有真正地發(fā)揮電子教學(xué)媒體交互式的功能，依舊是數(shù)學(xué)教師一人唱獨(dú)角戲，導(dǎo)致的結(jié)果就是學(xué)生在高職數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)了厭學(xué)、畏學(xué)情緒，教學(xué)質(zhì)量受到了較為嚴(yán)重的影響.如何提高高職數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，特別是如何使學(xué)生在教育媒介大變革下喜歡高職數(shù)學(xué)，MATLAB可以發(fā)揮良好的切入作用，依靠其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)計(jì)算和圖形可視化的功能，在目前強(qiáng)交互和云平臺(tái)這種迅猛發(fā)展的教育媒體背景下，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率.

一、MATLAB在矩陣教學(xué)中的應(yīng)用

矩陣教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于行列較少的矩陣的建立、分塊都能夠處理，并可以開(kāi)展逆運(yùn)算，但對(duì)于對(duì)角矩陣和行列較多的矩陣，特別是大型矩陣的學(xué)習(xí)，在傳統(tǒng)教學(xué)中由于教學(xué)條件的限制，沒(méi)有辦法迅速地生成大型矩陣.利用MATLAB，可以建立大型矩陣、特殊矩陣.

（一）MATLAB中矩陣建立的方法

1.直接輸入法：將矩陣的元素用方括號(hào)括起來(lái)，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號(hào)分隔，不同行的元素之間用分號(hào)分隔.

2.M文件法：對(duì)于大矩陣或者復(fù)雜矩陣，可以為它專(zhuān)門(mén)建立一個(gè)M文件.下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明如何利用M文件創(chuàng)建矩陣.

利用M文件建立mymathe矩陣.

（1）啟動(dòng)MATLAB文本編輯器，并輸入待建矩陣.

（2）以純文本方式存盤(pán)（設(shè)文件名為mymathe.m）.

（3）在MATLAB命令窗口中輸入mymathe，即運(yùn)行該M文件，就會(huì)自動(dòng)建立一個(gè)名為mymathe的矩陣，可供以后使用.

3.利用冒號(hào)表達(dá)式建立一個(gè)向量，冒號(hào)表達(dá)式可以產(chǎn)生一個(gè)行向量，一般格式是e1：e2：e3，其中e1為初始值，e2為步長(zhǎng)，e3為終止值.還可以用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量.其調(diào)用格式為linspace（a，b，n），其中a和b是生成向量的第一個(gè)和最后一個(gè)元素，n是元素總數(shù).

（二）MATLAB中矩陣拆分的方法

1.矩陣元素法：通過(guò)下標(biāo)引用矩陣的元素，例如，A（3，2）=200，采用矩陣元素的序號(hào)來(lái)引用矩陣元素.矩陣元素的序號(hào)就是相應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序.在MATLAB中，矩陣元素按列存儲(chǔ)，先第一列，再第二列，依次類(lèi)推.例如，

A=[1，2，3；4，5，6]；

A（3）

ans=

2

顯然，序號(hào)（Index）與下標(biāo)（Subscript）是一一對(duì)應(yīng)的，以m×n矩陣A為例，矩陣元素A（i，j）的序號(hào)為（j-1）*m+i.其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得.

2.矩陣拆分

（1）利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣

① A（：，j）表示取A矩陣的第j列全部元素；A（i，：）表示A矩陣第i行的全部元素；A（i，j）表示取A矩陣第i行、第j列的元素.

② A（i：i+m，：）表示取A矩陣第i～i+m行的全部元素；A（：，k：k+m）表示取A矩陣第k～k+m列的全部元素，A（i：i+m，k：k+m）表示取A矩陣第i～i+m行內(nèi)，并在第k～k+m列中的所有元素.

（2）利用空矩陣刪除矩陣的元素

在MATLAB中，定義[ ]為空矩陣.給變量X賦空矩陣的語(yǔ)句為X=[ ].注意，X=[ ]與clear X不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間中，只是維數(shù)為0.

（三）MATLAB中特殊矩陣的建立方法

1.通用的特殊矩陣

zeros：產(chǎn)生全0矩陣（零矩陣）.

ones：產(chǎn)生全1矩陣（幺矩陣）.

eye：產(chǎn)生單位矩陣.

rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣.

randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣.

1.1分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣.

（1）建立一個(gè)3×3零矩陣.

zeros（3）

（2）建立一個(gè)3×2零矩陣.

zeros（3，2）

（3）設(shè)A為2×3矩陣，則可以用zeros（size（A））建立一個(gè)與矩陣A同樣大小零矩陣.

A=[1 2 3；4 5 6]；%產(chǎn)生一個(gè)2×3階矩陣A.

zeros（size（A）） %產(chǎn)生一個(gè)與矩陣A同樣大小的零矩陣.

1.2建立隨機(jī)矩陣，例如，建立均值為0.5、方差為0.1的11階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣.

命令如下：

y=0.5+sqrt（0.1）*randn（11）

此外，常用的函數(shù)還有reshape（A，m，n），它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣.

二、MATLAB在微分方程教學(xué)中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于復(fù)雜的微分方程往往覺(jué)得較難處理，因?yàn)檫@類(lèi)方程較為復(fù)雜而且大多無(wú)法求出通解.而對(duì)初值問(wèn)題要有一個(gè)透徹的理解，就必須要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿(mǎn)足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿(mǎn)足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式.

因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的.

利用MATLAB將高階微分方程等價(jià)地變換成一階微分方程組的方法：

MATLAB應(yīng)用于高職數(shù)學(xué)矩陣和微分方程的教學(xué)，符合高職院校培養(yǎng)高素質(zhì)技能型人才的思路：立足高職特色，能力與應(yīng)用并重.我們要不斷探索如何突破傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論灌輸，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算借助計(jì)算機(jī)來(lái)完成，從強(qiáng)調(diào)定理的推導(dǎo)和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算提升到培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想和推理能力，真正提升學(xué)生的核心基本素質(zhì).

【參考文獻(xiàn)】：

[1]張志涌.精通MATLAB6.5版教程[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2003.

[2]薛定宇，陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的MATLAB求解[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[3]崔秋珍，王淑玉.幾何圖形在高等數(shù)學(xué)中的作用及在MATLAB的實(shí)現(xiàn)[J].洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（5）：91-93.