一種可重復使用再入飛行器的覆蓋區(qū)求解方法

曾夕娟，鐘范俊，丁學良，李惠峰?，程曉明

（1.北京航空航天大學宇航學院，北京100191；2.成都飛機設(shè)計研究所，成都610041）

一種可重復使用再入飛行器的覆蓋區(qū)求解方法

曾夕娟1，鐘范俊2，丁學良2，李惠峰1?，程曉明1

（1.北京航空航天大學宇航學院，北京100191；2.成都飛機設(shè)計研究所，成都610041）

針對覆蓋區(qū)的三個子問題——最大縱程問題、固定縱程下最大橫程問題和內(nèi)邊界問題，設(shè)計了求解方法。在“r?V”空間內(nèi)引入約束的對數(shù)表達形式簡化了再入走廊的表達，提出了將再入軌跡分為“初始下降段、邊界跟蹤段和終端調(diào)整段”三段設(shè)計的軌跡規(guī)劃方法，通過終端調(diào)整段的設(shè)計滿足了再入終點的高度要求。為了跟蹤所規(guī)劃軌跡，引入了準平衡滑翔條件獲取解析制導律。沿走廊上邊界飛行獲得最大縱程點；通過平移“邊界跟蹤段”軌跡使其布滿再入走廊，解決固定縱程下的最大橫程問題，獲得外邊界；而沿走廊下邊界飛行獲得覆蓋區(qū)內(nèi)邊界。仿真結(jié)果表明方法快速、可行，在再入飛行器性能評估、再入任務設(shè)計和再入制導律評估等環(huán)節(jié)中具有工程應用價值。

可重復使用再入飛行器；覆蓋區(qū)；準平衡滑翔；“r?V”空間；軌跡規(guī)劃

1 引言

升阻比大于0.7的可重復使用飛行器（Reus? able Launch Vehicle，RLV）可以通過主動控制攻角和傾側(cè)角調(diào)節(jié)升力和阻力，獲得橫向數(shù)百公里，縱向數(shù)千公里機動的能力，在未來空天系統(tǒng)的計劃中將扮演重要的角色［1］。再入飛行器覆蓋區(qū)指的是飛行器終點高度、速度滿足要求時所抵達的全部坐標集合。研究覆蓋區(qū)的生成方法，有助于衡量飛行器的機動能力，確定軌道再入制動點和評估不同制導律的性能表現(xiàn)［2］。

近年來，國內(nèi)外很多學者對再入覆蓋區(qū)的研究做了有效的工作。文獻［3］最早通過坐標系旋轉(zhuǎn)將覆蓋區(qū)求解問題轉(zhuǎn)化為在固定縱程下的參數(shù)搜索問題；SarafA等人［4］將最大縱程問題轉(zhuǎn)換為軌跡優(yōu)化問題，并且用直接法進行求解；Hale等人［5］提出用最大和最小阻力包線近似判定覆蓋區(qū)的外邊界和內(nèi)邊界；Shen Z和Lu P［6］巧妙應用準平衡滑翔條件，提出一種在線生成可飛三維軌跡的方法，為后續(xù)覆蓋區(qū)的研究提供了啟發(fā)；雍恩米［7］在文獻［6］基礎(chǔ)上引入哥氏加速度項并引入航向誤差走廊控制，改進了再入軌跡生成方法；Lu P和Xue S［8］將覆蓋區(qū)問題轉(zhuǎn)化為單一參數(shù)搜索問題；李惠峰等人［8］提出一種混合優(yōu)化算法，有效解決了覆蓋區(qū)轉(zhuǎn)化而成的參數(shù)優(yōu)化問題，在文獻［10］中，又推導了再入過程約束的統(tǒng)一形式，并且成功將簡化的軌跡規(guī)劃方法應用于覆蓋區(qū)的內(nèi)邊界問題。但是，上述研究中幾乎沒有考慮對于再入終端的高度和速度精度要求，并且大多沒有完整地考慮覆蓋區(qū)的內(nèi)邊界和外邊界問題。

本文將再入軌跡分成初始下降段、邊界跟蹤段和末端調(diào)整段，設(shè)計了一種考慮終點高度要求的完整再入覆蓋區(qū)近似、快速的求解方法。

2 問題建模

2.1 無動力再入模型

2.1.1 再入動力學

對于可重復使用再入飛行器，考慮旋轉(zhuǎn)球形地球模型，在極坐標下歸一化質(zhì)點運動方程為式（1）～（6）［11］：

其中，r、θ、?、V、γ、ψ分別表示飛行器的地心距、經(jīng)度、緯度、對地速度、速度傾角和速度方位角，r和V分別采用地球半徑R0和為歸一化系數(shù)，其中g(shù)0是地表重力加速度模值。Ω為地球自轉(zhuǎn)角速度，歸一化系數(shù)為。時間t采用進行歸一化。氣動升力L＝ CLρV2S／2和阻力D＝CDρV2S／2，歸一化系數(shù)為mg0，其中S為飛行器的參考面積，m為飛行器質(zhì)量。CL(α，M)和CD(α，M)分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)，是攻角α和馬赫數(shù)M的函數(shù)。ρ為大氣密度，表示為式（7）所示指數(shù)關(guān)系：

其中，ρ0為海平面大氣密度，H為高度常數(shù)。

2.1.2 再入約束

再入過程需要在保證飛行器結(jié)構(gòu)完整、人員安全以及機載設(shè)備正常工作的前提下將飛行器導引至規(guī)定的終端狀態(tài)，因此除了滿足再入起始點和再入終點的狀態(tài)約束條件外，還要求再入軌跡滿足熱流率、動壓以及過載的過程約束如式（8）～（11）［1］：

端點約束：

過程約束：

另外，引入平衡滑翔條件的概念。本文所研究的具有高升阻比的再入飛行器，由于其所受法向加速度較小，從而導致航跡傾角以及航跡傾角變化率很小。令γ＝γ·＝0，當σ為常值時代入式（5），并且忽略地球自轉(zhuǎn)加速度，可得平衡滑翔條件如式（12）：

在實際飛行中，σ不是常值，稱公式（12）為準平衡滑翔條件（QEGC）。由式（12）可知，對于軌跡上的一點（r，V），可以對應一個傾側(cè)角取值，所以準平衡滑翔條件可以用于為“r?V”空間的軌跡生成制導律［11］。而由傾側(cè)角的下界σmin可以確定“r?V”空間軌跡剖面的上界，稱之為準平衡滑翔約束［6］。

為滿足最大熱流率約束，由（9）和式（7）可得式（13）：

為滿足最大動壓約束，由式（10）和式（7）可得（14）：

類似地，由式（11）和式（7）聯(lián)立，可得過載約束對應在“r?V”空間的范圍為式（15）：

如果RLV的再入軌跡所對應的熱流率、動壓和總過載為常值，那么在“r?V”空間中，公式（13）～（15）可以統(tǒng)一表示為式（16）所示形式［10］：

式中，k為常數(shù)，熱流率、動壓、總過載分別為6.3H／R0、2H／R0和2H／R0。C為積分常數(shù)，由不同的過程約束上限值計算得到。下面給出熱流率約束的系數(shù)推導過程，而動壓和過載約束的系數(shù)推導方法類似。

式（9）兩端同時對速度V求導數(shù)得式（17）：

而由式（7）對V求導可得式（18）：

當熱流率為給定常值時存在式（19）：

將式（18）和（19）代入式（17），得式（20）：

對方程（20）積分，可得式（21）：

由于動壓和過載的擬合系數(shù)k相等，所以由式（16）可知，動壓約束和過載約束不會同時起到約束作用。而準平衡滑翔約束作為軟約束，在“r?V”空間并無解析式，可通過式（12）的迭代求解而得。

熱流率約束、動壓約束和過載約束，共同組成再入走廊的下邊界，而平衡滑翔約束作為走廊的上邊界。至此，在“r?V”空間，各個約束對應一個可飛集合，所有可飛集合的交集則構(gòu)成再入走廊。

2.2 覆蓋區(qū)求解模型

覆蓋區(qū)有不同的表述形式，在本文中，如圖1所示，EI為再入點，無動力再入飛行器的覆蓋區(qū)近似一個封閉多邊形ACD：D點為飛行器最大縱程點，邊AD與邊CD是由不同縱程點（B1，B2，…，BN）所對應的最大橫程點組成的，邊AC是由最小軌跡長度所對應的終點組成的覆蓋區(qū)內(nèi)邊界。

覆蓋區(qū)求解分為兩大部分：邊AD與邊CD組成的覆蓋區(qū)外邊界求解；覆蓋區(qū)內(nèi)邊界AC的求解。為求解覆蓋區(qū)，建立以下三個最優(yōu)控制問題：

1）為求得最大縱程點D，設(shè)SD為停機時的縱程，則性能泛函為式（22）：

2）為求得邊AD和CD，遍歷（B1，B2，…，BN），求各點固定縱程下的最大橫程。對任意一點Bn（θBn，?Bn），已固定縱程SBn，求所能飛到的最大橫程SF（對應點F（θF，?F）），性能泛函為式（23）：

式中，0≤Sf≤π。

3）再入最小軌跡長度終點組成的覆蓋區(qū)內(nèi)邊界邊AC的性能泛函為式（24）：

式中，S為再入軌跡長度。

3 分段軌跡規(guī)劃

快速規(guī)劃可飛的再入軌跡是覆蓋區(qū)求解的子問題，因為在求解覆蓋區(qū)時，需要根據(jù)縱程要求規(guī)劃簡單、可行的軌跡并進行跟蹤。根據(jù)文獻［5］，再入軌跡規(guī)劃問題定義為：給定再入條件和再入終點條件，即末端能量管理（Terminal Area Energy Management，TAEM）段的起始條件，設(shè)計控制量（攻角、側(cè)滑角），使得再入過程中各點狀態(tài)滿足條件，包括式（1）～（6）的運動方程約束、式（8）的端點約束，以及過程約束（包括式（9）～（11）的硬約束和準平衡滑翔約束的軟約束）。

在求取覆蓋區(qū)時，以不同的攻角剖面再入導致飛行器的飛行范圍不同。本文暫不做攻角剖面的研究，而以一固定的攻角剖面飛行。在此基礎(chǔ)上，設(shè)計傾側(cè)角的大小和方向來滿足過程約束。在這里，采用標稱的攻角剖面飛行，然后通過確定“r?V”平面內(nèi)的飛行剖面來獲取傾側(cè)角大小，再通過傾側(cè)角的翻轉(zhuǎn)序列來分配縱程和橫程。

以往的研究［6?7，12］一般將彈道分為初始下降段和準平衡滑翔段。這里，為了通過跟蹤走廊內(nèi)不同“r?V”曲線獲得不同縱程，并且更好地滿足再入終點的高度要求，設(shè)計了分“初始下降段、邊界跟蹤段和終端調(diào)整段”三段的軌跡規(guī)劃方法。

結(jié)合第一章中對再入走廊的說明，可畫出圖2。圖中E點為初始再入點，A為初始下降段與熱流約束段交接點，B點為熱流率約束曲線和平移后準平衡滑翔曲線的交點，C點為平移后準平衡滑翔曲線和另一過程約束（動壓或過載）曲線的交點，D點為邊界跟蹤段與終端調(diào)整段交點（本文設(shè)定速度VD為分界依據(jù)），F(xiàn)點為再入終點。

3.1 初始下降段EA

初始下降段的高度約在80～100 km范圍。由于空氣密度非常小，可以不用考慮過程約束；同時，因為動壓比較小、升力小，飛行器質(zhì)心將迅速下落。隨著高度的降低，根據(jù)式（7）大氣密度將以指數(shù)增加，動壓也隨著快速建立，飛行器將獲得足夠的升力改出快速下落的狀態(tài)。也就是初始下降段結(jié)束時，飛行器進入“r?V”的走廊內(nèi)，為改出進入邊界跟蹤段做準備，在達到熱流率約束曲線時，記為A點。

需補充的是，對于初始再入高度比較高、而初始速度較小時的情況，飛行器在還未建立足夠的動壓獲取大升力時就超過了再入走廊的下邊界，會出現(xiàn)飛行器無法從初始下降段進入邊界跟蹤段的問題。因此，在“r?V”空間中對初始速度和高度存在要求，這里假設(shè)所給的初始再入條件經(jīng)過初始下降段總能找到一個A點進入邊界跟蹤段。

3.2 邊界跟蹤段AD

邊界跟蹤段的設(shè)計是為了方便調(diào)整軌跡在“r?V”空間的高度從而獲得不同縱程的軌跡。這里采用“跟蹤＋平移走廊下邊界”的方法。

首先，為簡化軌跡規(guī)劃問題，將準平衡滑翔約束需用段擬合成式（16）的形式。并且將其下移，與熱流率約束交于點B，與另一個有效約束（動壓／過載）交于點C。以“熱流率段AB，準平衡滑翔段BC和動壓／過載段CD”作為約束走廊新的下邊界。設(shè)計軌跡跟蹤走廊下邊界可以得到一條軌跡，然后每次通過在約束走廊內(nèi)向上平移走廊下邊界來遍歷整個走廊可以得到不同縱程的軌跡。直到到達D點的切換速度時，進入終端調(diào)節(jié)段。從而邊界跟蹤段被設(shè)計為三段形狀為式（16）的軌跡，其中各段的系數(shù)由約束常值確定。

需補充的是將準平衡滑翔約束往下平移與下邊界相交，形成新的下邊界，有三點好處：各段軌跡平滑過渡；統(tǒng)一采用式（16）形式使問題簡化；可以通過向上平移走廊下邊界獲得不同縱程軌跡。

為了跟蹤邊界跟蹤段的軌跡，基于準平衡滑翔條件（12），引用文獻［10］的結(jié)論，跟蹤式（16）軌跡的傾側(cè)角控制律為式（25）～（27）：

其中，

式中k即為按照式（16）規(guī)劃的軌跡的參數(shù)。

3.3 末端調(diào)整段DF

軌跡以速度達到末端要求作為再入終止條件，即式（8）。為了滿足再入末端的高度條件，設(shè)定一個合適的速度VD作為邊界跟蹤段和末端調(diào)整段的分界，在“r?V”空間設(shè)計一個線性段，連接分界點和末端要求點，即所謂末端調(diào)整段。

末端調(diào)整段在“r?V”空間的關(guān)系表示為式（28）：

與文獻［10］中的制導律推導類似，式（28）對V求導可得式（29）：

由方程（1）比除以方程（4），并且忽略掉旋轉(zhuǎn)角速度項，可得式（30）：

由式（29）和式（30）可得沿設(shè)定在“r?V”空間的直線調(diào)整段的速度傾角為式（31）：

式（31）兩邊關(guān)于無量綱時間τ微分得式（32）：

其中涉及的變量定義如式（33）～（35）：

忽略哥氏加速度和向心力，并且假設(shè)r≈1（由于再入飛行過程中的飛行高度與地球半徑相比小得多）。方程（5）可以簡化為式（36）：

需要說明的是，由于末端的調(diào)整段速度較低，而且所占時間并不長，所以對于航程的影響不明顯，可以采用這種簡單的“r?V”線性設(shè)計，這是在覆蓋區(qū)求解的允許范圍內(nèi)的。

4 覆蓋區(qū)求解流程

覆蓋區(qū)問題分為外邊界和內(nèi)邊界兩個問題，其中外邊界包括最大縱程問題和固定縱程下的最大橫程問題。為了求取完整的覆蓋區(qū)，下面應用提出的軌跡規(guī)劃方法，分別對三個最優(yōu)控制子問題（22）、（23）和（24）進行近似求解。覆蓋區(qū)求解流程如圖3。

在終端和過程約束設(shè)定之后，進入覆蓋區(qū)求解程序。本文中所有問題的求解基于飛行器的經(jīng)驗標稱攻角，并沒有對攻角進行優(yōu)化。初始下降段由于飛行器氣動力不足，采用預先設(shè)定的常值傾角飛行。

邊界跟蹤段是三個子問題中軌跡的主要區(qū)分之處：

1）內(nèi)邊界求解沿著走廊下邊界飛行，在速度VA、VD之間依次選擇不同速度點Vset作為傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)點。初始傾側(cè)角σ分為正（向右）和負（向左）兩種情況，得到兩條由軌跡終點組成的邊，兩條邊的組成公共內(nèi)邊界即為覆蓋區(qū)內(nèi)邊界AC。

2）固定縱程下的最大橫程問題，以給定的熱流率、動壓和過載約束的值為約束最大值，分別設(shè)定一個約束最小值，這三個過程約束的最大值和最小值分別對應再入走廊的最低和最高下邊界。在最高和最低邊界之間以縱程的平均分布來插入中間軌跡，讓飛行器沿著中間軌跡飛行獲得覆蓋區(qū)外邊界不同縱程點；通過控制傾側(cè)角的正負來確定最大橫程的方向是向右還是向左，規(guī)定傾側(cè)角σ的符號為正（向右），得到一系列軌跡終點組成的邊CD；規(guī)定傾側(cè)角σ的符號為負（向左），得到一系列軌跡終點組成的邊DA。

3）最大縱程問題采用零度傾側(cè)角控制律對軌跡進行積分。

在終端和過程約束設(shè)定之后，進入覆蓋區(qū)求解程序。本文中所有問題的求解基于飛行器的經(jīng)驗標稱攻角，并沒有對攻角進行優(yōu)化。初始下降段由于飛行器氣動力不足，采用預先設(shè)定的常值傾角飛行。

達到設(shè)定的分界速度VD之后，進入末端調(diào)整段DF。各條軌跡分別在“r?V”空間設(shè)計一個線性段，連接邊界跟蹤段改出點和末端要求點，并按照上一小節(jié)推導制導律跟蹤，直到再入結(jié)束。至此，設(shè)計了完整覆蓋區(qū)問題的求解方法。

5 仿真驗證

5.1 仿真條件

為了驗證所提出的覆蓋區(qū)求解方法，針對某飛行任務進行仿真。

飛行器基本參數(shù)包括：質(zhì)量2000 kg，參考面積9 m2，鼻頭半徑0.5 m。作為運動方程中的六個狀態(tài)量，給出初始狀態(tài)為：高度為120 km，經(jīng)度、緯度分別為13.3°和8.5°，速度為7500 m／s，速度傾角和速度偏角分別為－1.2°和48°。再入過程中，考慮熱流率、動壓和過載的過程約束，并在再入末端考慮速度和高度的約束，以方便作為TEAM段的起始點，如表1所列。

表1 過程約束及軌跡終端停機條件Table 1 Values of constraint parameters and final con?ditions

仿真中采用式（37）所示類似于航天飛機早期試飛時的分段標稱攻角剖面［13］：

5.2 仿真結(jié)果和分析

5.2.1 外邊界

首先，沿著再入走廊上邊界飛行得到最大縱程點，同樣為了滿足末端要求，在VD＝2000 m／s點進入末端調(diào)整段。

然后按照圖3所述，通過沿著平移的走廊下邊界飛行，得到固定縱程下最大橫程點。

圖4和圖5中的長虛線代表過程約束，短虛線代表平衡滑翔約束，而實線代表實際飛行軌跡。通過初始下降段快速到達飛行走廊內(nèi)，進入邊界跟蹤段。圖4中通過跟蹤走廊上邊界獲得最大縱程點，圖5中在初始下降段結(jié)束后，軌跡接上平移過后的走廊下邊界，切入到沿著熱流率曲線飛行；到了熱流率曲線和QEGC曲線交點時，沿著QEGC曲線飛行；到了QEGC和過載的曲線飛行，此算例中動壓曲線并沒有起到約束作用。另外，可以清晰地看到各條軌跡在走廊內(nèi)移動，基本遍歷了整個走廊，并且都在速度達到2000 m／s時切換到終端調(diào)整段，在再入末端滿足了速度和高度的要求，可見末端調(diào)整段發(fā)揮了很好的作用。

在計算機上仿真時，求最大縱程用時13 s；取10個縱程點遍歷共21條軌跡，求固定縱程下的最大橫程，共用時212 s。在實際應用中，可以通過減少遍歷點數(shù)有效地減少所需時間。

5.2.2 內(nèi)邊界

內(nèi)邊界表示受到飛行器機動能力限制而形成的邊界，是沿著走廊的下邊界飛行得到的，即各條軌跡所跟蹤的“r?V”曲線相同，所以控制量傾側(cè)角的大小相同，軌跡長度相同。然后，根據(jù)分配傾側(cè)角的方向來獲取內(nèi)邊界上的點，達到分配縱程和橫程的效果。

仿真中，每條軌跡有一次傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)。為了遍歷所有翻轉(zhuǎn)情況得到完整內(nèi)邊界，分為初始傾側(cè)角為正和為負兩種情況進行求解，兩種情況分別獲得一條內(nèi)邊界曲線，兩條曲線取靠近再入點的部分則可得到內(nèi)邊界，如圖6中的虛線部分。每一種情況在速度（900～7000）m／s區(qū)間內(nèi)，以每500 m／s為一個間隔，選取一個傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)速度得到一條軌跡。兩種情況共生成28條軌跡，計算機仿真共用時35.7 s。

為了表示飛行器機動能力的真正極限，并沒有像求外邊界一樣加入末端調(diào)整段來保證末端高度要求。

由于外邊界和內(nèi)邊界的仿真條件一致，將內(nèi)邊界和外邊界的圖形組合、連接起來，則可得到完整的覆蓋區(qū)。如圖7所示，虛線為求覆蓋區(qū)外邊界時的各條軌跡，將軌跡終點相連得到外邊界，和圖6中的內(nèi)邊界端點共同組成閉合覆蓋區(qū)，即圖7中實線內(nèi)部。外邊界和內(nèi)邊界端點之間的距離是由于外邊界求解中引入了末端調(diào)整段。因為外邊界求解問題中，固定縱程求解最大橫程的軌跡并沒有覆蓋到最小縱程（即內(nèi)邊界）的情況。

6 結(jié)論

算例仿真結(jié)果表明所提出的軌跡規(guī)劃方法簡單、可靠，很適合應用到覆蓋區(qū)求解問題，可用于再入飛行器性能評估、再入任務設(shè)計和再入制導律評估等工作，具有較高的工程應用價值。

需要補充的是，標稱攻角剖面決定了傾側(cè)角控制量的可用空間，對覆蓋區(qū)影響很大，下一步工作可以研究攻角對覆蓋區(qū)的影響并進行優(yōu)化設(shè)計。

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Method for Landing Footprint Generation in Reusable Vehicles

ZENG Xijuan1，ZHONG Fanjun2，DING Xueliang2，LIHuifeng1?，CHENG Xiaoming1
（1.School of Astronautics，Beihang University，Beijing 100191，China；2.Chengdu Aircraft Design and Research Institute，Chengdu 610041，China）

Detailed processing procedure was developed to solve three footprint problems including themaximum downrange，themaximum cross－rangewith respect to a certain downrange and the in?ner footprint.Logarithmic form of constraints in“r－V”profile were introduced to simplify the ex?pression of the entry corridor.The reentry trajectory was divided into three phases：the initial de?scent phase，the boundary tracking phase and the final adjusting phase，in which the design of the final adjusting phase could satisfy the final altitude constraint.The known quasi－equilibrium glide condition（QEGC）was introduced to obtain the analytic guidance law.The maximum downrange was given by tracking the upper boundary of the entry corridor.The maximum cross－range with a certain downrangewas solved by translating the boundary tracking phase trajectory to cover the space of the entry corridor.The inner footprintwas generated by following the lower boundary.The simula?tion results suggested that the proposed method could generate the closed landing footprint efficient?ly，and itwas possible to apply themethod to engineering practice，such as performance evaluation of the reentry vehicle，the objective point selection，and the evaluation of reentry guidancemethods.

reusable reentryvehicle；landing footprint；quasi?equilibrium glide；r?V plane；trajecto?ry planner

V448.235

A

1674?5825（2017）01?0014?07

2015?12?04；

2016?12?26

國家自然科學基金（61174221，11272062）

曾夕娟，女，碩士研究生，研究方向為再入制導。E?mail：zengxijuan＠buaa.edu.cn

?通訊作者：李惠峰，女，博士，教授，研究方向為高速飛行器制導與控制。E?mail：lihuifeng＠buaa.edu.cn