關(guān)于用初等變換求向量組的極大無關(guān)組的方法

摘 要：根據(jù)向量的線性相關(guān)性的原理，得到求極大無關(guān)組的幾種常用方法，特別是在用初等變換求向量組的極大無關(guān)組的教學中經(jīng)常出現(xiàn)的問題進行討論，并給出了相應(yīng)解決辦法。

關(guān)鍵詞：向量組 ；初等變換； 極大線性無關(guān)組

求向量組的極大線性無關(guān)組（簡稱極大無關(guān)組）是學習高等代數(shù)或線性代數(shù)中必然面對的一個問題。目前，各種版本的本、專科教材分別都有介紹，最常見是按列形成列向量組矩陣A，如果是按行就對行向量組轉(zhuǎn)置，然后對矩陣A進行一系列的初等行變換?；蛘呤菍π邢蛄拷M進行初等行變換，但是，該方法在變換過程中，由于其附帶的內(nèi)容比較多，因此，其變換過程就顯得比較煩瑣，雖然理論上有一定的意義，但不利于在實踐中推廣與應(yīng)用。但有的教材在做法上還很不完善 ，存在一些問題 ，一不小心就會得出錯誤的結(jié)論。為了方便大家的學習，現(xiàn)將目前的一些做法歸納起來，供大家參考。

一、有關(guān)初等變換的相關(guān)定義

1.在線性代數(shù)中，矩陣的初等變換時指以下三種變換

①交換矩陣的任意兩行（列）；或

②用一個非零常數(shù)k乘矩陣的某一行（列）的所有元素；或

③把矩陣的某一行（列）的所有元素的k倍加到另外一行（列）的對應(yīng)元素上去；

或

若對矩陣的行（列）施行上述三種初等變換則叫初等行（列）變換。

2.用矩陣初等變換求逆矩陣、解矩陣方程

（1）求逆矩陣：設(shè)A是n階可逆矩陣，

例1 求矩陣 的逆矩陣.

解：

所以

（2）求矩陣的方程

若A可逆，

若A可逆，

例2 設(shè)有矩陣方程，求X，

其中

解：由，得

可見A-2E～E，因此A-2E可逆且

二、用初等變換求向量組的極大無關(guān)組

對矩陣施以初等變換法求極大無關(guān)組，常用方法主要有下列三種模式 ：

模式一：組成列向量組進行行變換

把向量組按列排成矩陣 A ， 對 A 施行初等行變換， 使之化簡為容易判斷各列向量之間線性關(guān)系的階梯形新矩陣B ， 由B中列向量的極大無關(guān)組對應(yīng)可得A 中列向量的極大無關(guān)組， 同時可相應(yīng)求得其余向量用極大無關(guān)組線性表示的式子 。這是因為初等行變換不改變矩陣列向量之間的線性關(guān)系，是目前最常用的方法。

例3 求下列向量組的一個極大無關(guān)組：

解：

顯然，r（A）=r（B）=3，向量組的極大無關(guān)組含有3個向量，新矩陣B的三個非零行的首非零元所在列對應(yīng)的向量構(gòu)成一個極大無關(guān)組。當然，

也是向量組的一個極大無關(guān)組。若需將向量用極大無關(guān)組線性表示，需要對矩陣B再從下往上作初等行變換，化成最簡形矩陣，求得：

故有

模式二：組成行向量組進行列變換

把向量組按行排成矩陣 A 并施行初等列變換， 使之化簡為階梯形矩陣或一個至多再作若干次行交換后就是階梯形的矩陣 B， 然后再作判斷。

設(shè)為一組已知的n維非零向量，

其中B是階梯形或再作若干次初等變換將是階梯形矩陣。

例 4求下列向量組的一個極大無關(guān)組：

顯然，r（A）=r（B）=2，向量組的極大無關(guān)組含有2個向量，新矩陣B的兩個非零行的首非零元所在行對應(yīng)的向量構(gòu)成一個極大無關(guān)組。

模式三：組成行向量組進行行變換

把向量組按行向量構(gòu)成矩陣A，再進行初等行變換，使之化簡成階梯形矩陣。但這種方法的可行性、嚴密性還需進一步探討，有時結(jié)果會產(chǎn)生錯誤。雖然矩陣的行變換不會改變矩陣的秩，但是交換行會改變向量間的線性關(guān)系，比如下面的例子。

例5 求下列向量組的一個極大無關(guān)組

由矩陣B可知r（A）=r（B）=3，向量組的極大無關(guān)組含3個向量，矩陣B的三個非零行所對應(yīng)的向量構(gòu)成向量組的一個極大無關(guān)組。但實際上，向量 構(gòu)成向量組卻是線性相關(guān)的，因為

顯然，故是線性相關(guān)的，出現(xiàn)錯誤的原因，是在解題過程的最后一步，是交換了后兩行，才造成了上面的錯誤。解決辦法是不作行交換。因為進行了行交換，就改變了向量的位置，進行多次交換后，很難確定非零行對應(yīng)的向量。那么，在對行向量組作初等行變換的時不作行交換變換，就不會出現(xiàn)錯誤了嗎？ 再看下面的例子：

例6 求下列向量組的一個極大無關(guān)組

顯然，r（A）=r（B）=3，向量組的極大無關(guān)組含3個向量，矩陣B的三個非零行對應(yīng)的向量構(gòu)成向量組的一個極大無關(guān)組。在解題過程中雖然沒作行交換變換，但還是產(chǎn)生錯誤，這是因為行交換變換可由多次倍加變換和倍乘變換得到。因此解決方法是，只需要限定倍加變換的方向即可避免行交換變換的發(fā)生，要么只能從上到下作行倍加變換，要么只能從下到上作行倍加變換。

重新求解例6

顯然，構(gòu)成一個極大無關(guān)組。

綜上所述，將向量組以行向量構(gòu)成矩陣，再用初等行變換將其化成階梯形矩陣。即可以進行初等行變換，還可以進行初等列變換，作初等行變換時不能進行行交換變換，倍加變換只能按一個方向進行，由于初等列變換不會改變行向量問線性關(guān)系，所以在作行變換過程中可以任意做列變換，二者結(jié)合起來可以使計算量減小，更加快捷一些。

例7求下列向量組的一個極大無關(guān)組

顯然，構(gòu)成一個極大無關(guān)組。在解題過程就是先作列交換變換，后作行變換變換，這樣可以減少運算量。

參考文獻：

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作者簡介：

張媛（1971—），女，遼寧省遼陽市人，大學本科，副研究員，研究方向：計算數(shù)學。endprint