牛頓插值法在凸輪修正設(shè)計中的應(yīng)用

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摘 要：文章利用牛頓插值法，提出了一種簡單實(shí)用的凸輪工作輪廓線的修正方法。首先對要進(jìn)行修正的的曲線附近的一些離散點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，確定插值多項(xiàng)式的階次以滿足高精度和低運(yùn)算量的要求。然后利用Matlab編程計算出插值點(diǎn)的值，并進(jìn)行誤差分析，實(shí)現(xiàn)對凸輪的局部工作廓線進(jìn)行修正。

關(guān)鍵詞：凸輪輪廓線；牛頓插值法；修正

中圖分類號：TH132.47 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）20-0094-02

1 問題的提出及分析

高速包裝機(jī)械中凸輪工作廓線的設(shè)計多采用解析法，這樣既保證了凸輪的運(yùn)動特性，又便于對凸輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析，因此在不同工況下，凸輪設(shè)計的解析方程式往往是不同的。這樣雖然能保證凸輪的精度，但同時也提高了凸輪在實(shí)際使用中的修正難度，因?yàn)橹挥薪⑿碌慕馕龇匠淌讲拍軐ν馆嗊M(jìn)行修正，尤其是只需對凸輪局部曲線進(jìn)行修正時，也要建立相應(yīng)的解析方程，這樣就增大了曲線修正的工作量，降低了工作效率[1]。本文基于提高工作效率和減小修正量的考慮，結(jié)合牛頓插值法，提出了一種簡單實(shí)用的凸輪工作廓線的修正設(shè)計方法，這種方法不必對原有的解析方程進(jìn)行修改計算，只需通過對擬進(jìn)行修正的曲線附近的一些離散點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，就能對現(xiàn)有凸輪工作廓線進(jìn)行修正，特別適合凸輪曲線在實(shí)際使用中的局部修正設(shè)計[2]。已知兩個變量X，Y之間的一個離散的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)（i）=f（xi），i=0，1，…n，即給出一部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1，找到一個與原函數(shù)近似的簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，使其在一部分離散點(diǎn)xi，x0，x1，…，xn的值分別與f（xi），f（x0），f（x1）……f（xn）相等。根據(jù)以上要求，可以使用插值多項(xiàng)式來逼近原解析函數(shù)。

Lagrange插值公式結(jié)構(gòu)緊湊，便于理論分析，利用插值基函數(shù)也容易得到插值多項(xiàng)式。缺點(diǎn)是當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加，或其位置變化時，全部插值基函數(shù)均要隨之變化，從而整個插值公式的結(jié)構(gòu)也發(fā)生變化，這在實(shí)際計算中是非常不利的。Newton插值多項(xiàng)式則可以克服上述缺點(diǎn)，可以靈活地增加插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行遞推計算。該公式形式對稱，結(jié)構(gòu)緊湊，比Lagrange插值法計算量省，且便于程序設(shè)計。

2 模型的建立

高速包裝機(jī)上有一凸輪，其工作廓線共有分A、B、C三段，在實(shí)際的使用中發(fā)現(xiàn)A段和C段的行程符合設(shè)計要求，而B段的行程須進(jìn)行修正設(shè)計。已知凸輪A段曲線數(shù)據(jù)，如表2所示。已知凸輪C段曲線數(shù)據(jù)，如表3所示。一般來說，使用的已測數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，可獲得的信息量越大，對未知點(diǎn)的估計越精確。在牛頓插值算法中，使用已測數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，會導(dǎo)致插值多項(xiàng)式的次數(shù)過高，出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，曲線也會有較多折點(diǎn)。而凸輪的工作多為翻轉(zhuǎn)，需要其工作廓線有很好的圓滑性。由于距離插值點(diǎn)越近的數(shù)據(jù)對插值點(diǎn)數(shù)值的精度影響越大，本文使用xi=242，243，249，250這4個點(diǎn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)牛頓插值的定義做差商表，如圖表4所示。

由差商表可知，二階差商的值已接近常數(shù)，故牛頓插值多項(xiàng)式近似為二階即可滿足精度要求。為保證其圓滑性，本文采用三次牛頓插值多項(xiàng)式來求B段xi=244，245...248的修正值。

3 算法實(shí)現(xiàn)及結(jié)果分析

3.1 Matlab程序代碼

function f=Newton（x，y，P）

syms t；

n=length（x）； m=length（y）；

if m～=n

error（'樣本數(shù)據(jù)中x與y的對應(yīng)個數(shù)不匹配'）；

return

end

A=zeros（n）； A（：，1）=y；

for j=2：n

for i=1：（n-j+1）

A（i，j）=（A（i+1，j-1）-A（i，j-1））/（x（i+j-1）-x（i））；

end

end

A

f=A（1，1）；

for j=2：n

T=1；

for i=1：j-1

T=T*（t-x（i））；

end

f=f+A（1，j）*T；

end

f=vpa（f，6）；

f=simplify（f）

f=subs（f，'t'，P）

plot（x，y，'*'，P，f）；

保存為Newton.m文件。

3.2 計算結(jié)果

3.3 結(jié)果分析

觀察上述插值圖像，直觀上可以滿足凸輪工作廓線的圓滑度。具體的數(shù)值精度，可以通過量化計算得到。在上述程序中，對x0=241，244，245，246，247，248，251的值均作了插值處理。其中x0=244，245，246，247，248 對應(yīng)于所要求的進(jìn)行修正處理的B段曲線的數(shù)值點(diǎn)；而計算x0=241，251的值是為了與已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)對比，從而檢驗(yàn)牛頓插值計算的精度?？梢钥闯觯鄬φ`差都控制在5%以內(nèi)，屬于較好的插值結(jié)果。又由于用來檢驗(yàn)精度的兩個點(diǎn)均為插值數(shù)據(jù)的外點(diǎn)，誤差比內(nèi)點(diǎn)大得多，故在B段曲線上的點(diǎn)的數(shù)據(jù)精度應(yīng)該更高，插值效果更好。

由上述分析可知，B段曲線上插值點(diǎn)的數(shù)據(jù)比較精確，結(jié)果見表6。

4 結(jié)束語

用牛頓插值法對凸輪輪廓進(jìn)行修正設(shè)計是一種簡單、實(shí)用的方法。其優(yōu)點(diǎn)為：這種方法借助凸輪上一些離散的點(diǎn)的數(shù)值就能對凸輪曲線進(jìn)行修正設(shè)計，無需確切知道輪廓線的具體函數(shù)表達(dá)式及其修正曲線函數(shù)，大大節(jié)省了計算量；此外掌握的數(shù)據(jù)越多，進(jìn)行插值運(yùn)算時可獲得的信息量越大，所得結(jié)果的誤差也就越小。

參考文獻(xiàn)：

[1]賀煒，曹巨江，楊芙蓮，等.我國凸輪機(jī)構(gòu)研究的回顧與展望[J].機(jī)械工程學(xué)報，2005，4（6）：1-6.

[2]邵世權(quán)，尚久浩，曹西京.樣條函數(shù)在凸輪曲線設(shè)計中的應(yīng)用[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2003：135-136.

[3]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].華中科技大學(xué)出版社，2011.