關(guān)于非緊性測度的一個注記

陳曉玲

摘 要：非緊性測度是非緊集合喪失緊性程度的一種數(shù)值刻畫。文章利用非緊性測度討論了有界線性算子的本性譜，并指出了文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[6]中的相關(guān)證明錯誤。

關(guān)鍵詞：非緊性測度；本性譜；譜半徑公式

中圖分類號：O177.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）20-0033-02

1 概述

非緊性測度是非緊集合喪失緊性程度的一種數(shù)值刻畫。目前有多種非緊性測度的定義，其中Hausdorff球-非緊性測？茁是由Goldenstein，Gohberg和Markus在文獻(xiàn)[1]中引入的，定義如下：設(shè)X為實Banach空間，Q為X中非空有界集，則Q的非緊性測度為？茁（Q）：=inf{r>0：Q可被有限個半徑？燮r的開球所覆蓋}。

此定義等價于？茁（Q）=inf{r>0：Q在X中有有限r(nóng)-網(wǎng)}，也等價于？茁（Q）=inf{r>0：Q？奐K+rBX}，其中K為X中緊集，BX為X中閉單位球。顯然，當(dāng)Q為緊集時，？茁（Q）=0。由等價定義知非緊性測度？茁可用來度量非空有界集Q和緊集之間“相距”多遠(yuǎn)，這里的“距”是Hausdorff距離。非空有界集A與B的非對稱Hausdorff距離定義為：d（A，B）=inf{r>0：A？奐B+rBX}。同樣地，可用非緊性測度來衡量Banach空間中一個有界線性算子與緊算子之間的“偏差”。設(shè)X為無窮維Banach空間，B（X）為X上有界線性算子全體，T∈B（X），算子T的非緊性測度定義為[2]：？茁（T）：=？茁（TBX）。顯然，？茁（T）=0等價于T是緊算子。

2 主要結(jié)果

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