基于有限元的天平校準系統(tǒng)基座結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

趙永豐+王均濤

摘要： 在Solidworks環(huán)境下建立三維模型，運用有限元軟件對基座結(jié)構(gòu)進行動、靜態(tài)性能分析，得到初始模型的性能參數(shù).以最小質(zhì)量為目標函數(shù)，以剛度、應力和頻率為約束條件，建立數(shù)學模型.提出一種基于漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法的拓撲優(yōu)化方法，引入過濾函數(shù)來解決拓撲優(yōu)化過程中容易出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定、數(shù)值分布呈棋盤模式的現(xiàn)象，保證計算結(jié)果的準確性.對拓撲優(yōu)化后的模型重新分析計算后發(fā)現(xiàn)，其性能依然優(yōu)異，基頻提升26.7%，質(zhì)量減少5.8%.

關(guān)鍵詞： 基座； 靜力分析； 模態(tài)分析； 拓撲優(yōu)化； 漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化

中圖分類號： TH 715文獻標志碼： A

Optimization Design of Pedestal Structure of Balance

Calibration System Based on Finite Element Method

ZHAO Yongfeng1，WANG Juntao2

（1.School of Mechanical Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China；

2.Shanghai Machine Tool Works Ltd.， Shanghai 200093， China）

Abstract： The threedimensional model is established in Solidworks，and the static and dynamic performance of the pedestal structure is analyzed by finite element software，which can help to get the performance parameters of the initial model.Based on the minimummass as the objective function，the mathematical model for topology optimization is established with the stiffness，stress and frequency as the constraint condition.For ensuring the accuracy of the calculation results，a method based on evolution structure optimization for topology optimization is presented and a filtering function is introduced in order to solve the numerical instability and checkerboard phenomenon in the topology optimization process.After analyzing the calculation of the topological optimized model，the structure performance is still excellent.As a result，the fundamental frequency increased by 27.6%，and the mass reduced by 5.8%.

Keywords： pedestal； static analysis； modal analysis； topology optimization； evolution structure optimization

風洞天平校準系統(tǒng)是目前世界各國在各類型氣動力測量試驗中廣泛采用的測量裝置，其性能指標直接影響天平校準系統(tǒng)的試驗測量數(shù)據(jù)精度.風洞天平校準裝置主要由龍門架、基座和四自由度機械臺體組成，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.基座支撐龍門架、加載機構(gòu)和四自由度機械臺等部件，在整個系統(tǒng)中占總質(zhì)量的44.6%.因此，在保證剛度和強度的情況下，合理設(shè)計基座結(jié)構(gòu)，進行拓撲優(yōu)化，以使基座質(zhì)量減小，同時降低工藝難度與生產(chǎn)成本，獲得良好的經(jīng)濟效益.基座內(nèi)部的筋板結(jié)構(gòu)和布局在很大程度上決定了基座的動、靜態(tài)性能[1]，而基座靜態(tài)特性與動態(tài)特性又影響著天平校準系統(tǒng)的測量性能與精度穩(wěn)定性.低階模態(tài)特性基本決定了產(chǎn)品的動態(tài)性能，因此，在基座結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中也要考慮頻率方面的約束[2].對天平校準系統(tǒng)的基座進行靜力分析與模態(tài)分析，利用漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，以最小質(zhì)量為目標函數(shù)，以剛度、應力和頻率為約束條件，引入過濾函數(shù)來解決拓撲優(yōu)化過程中容易出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象.最后對基座進行拓撲分析，從滿足約束的結(jié)構(gòu)中刪除多余的材料，以此來獲得最小的基座質(zhì)量.

1.1模型建立

基座由灰鑄鐵鑄造而成，結(jié)構(gòu)復雜多變，主要由厚度不一、形狀各異的筋板，以及鑄造岀砂孔構(gòu)成，根據(jù)實際使用情況需要，整體結(jié)構(gòu)形狀設(shè)計為T型.Solidworks環(huán)境下建立的三維模型是有限元分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化的前提和基礎(chǔ).為了便于有限元分析計算，必須對三維模型進行結(jié)構(gòu)簡化，省去倒角、圓角、螺紋孔等細微特征.簡化后的模型及有限元模型如圖2、圖3所示.基座長3 100 mm，兩翼寬2 990 mm，中間寬1 260 mm，高520 mm，設(shè)定中間筋板厚度25 mm，兩翼筋板厚度20 mm，壁厚25 mm.

1.2靜力分析

靜力分析用于計算在固定不變的載荷作用下結(jié)構(gòu)的效應，它不考慮慣性和阻尼的影響，如結(jié)構(gòu)隨時間變化的載荷的情況.其靜力學方程為：

[K]{u}={F}（1）

式中：[K]為剛度矩陣；{u}為各節(jié)點位移；{F}為靜力載荷.

在靜態(tài)工作環(huán)境下，基座主要受到3個相同的側(cè)力加載機構(gòu)的重力，其值均為9 000 N，四自由度機械臺重力約為30 000 N，龍門架及其上的測量架與升力加載機構(gòu)的重力約為20 000 N.在ANSYS軟件中設(shè)置材料、劃分網(wǎng)格、施加約束和作用力，得到變形與應力分布圖，如圖4、圖5所示.

由圖4可知，最大變形為0.015 mm，最大應力為1.47 MPa.最大變形發(fā)生于基座兩翼部分，此處正是側(cè)力加載機構(gòu)所處的位置，而這個系統(tǒng)最關(guān)鍵的部分就是此處的側(cè)力加載機構(gòu)，其精度直接影響測量的準確度.應力范圍為0.16～1.47 MPa，遠遠小于鑄鐵的極限強度，基座可以進一步減輕質(zhì)量.

1.3模態(tài)分析

模態(tài)是結(jié)構(gòu)的一種固有振動特性，是一種研究結(jié)構(gòu)動力特性的方法.每個結(jié)構(gòu)都具有各自的模態(tài)參數(shù)，而模態(tài)參數(shù)的識別大致分為兩種方法：一是通過計算機的有限元軟件進行計算獲得；另一種是模態(tài)試驗的方法，通過試驗設(shè)備采集到輸出信號，經(jīng)過參數(shù)識別從而獲得模態(tài)參數(shù).本文采用有限元軟件進行計算獲取模態(tài)參數(shù).

自由度的振動系統(tǒng)可表示為[3]：

[M]{x··}+[ξ]{x·}+[K]{x}={f}（2）

式中：[M]，[K]分別為質(zhì)量和剛度矩陣；{f}為外激勵矩陣；{x··}、{x}分別為物理坐標下的位移和加速度矩陣.

當{f}=0時，阻尼ξ=0，式（2）為自由振動方程，其特征方程為：

[K]-ω2[M]=0（3）

解方程式（3）得ω的m個互異正根ω0i（i=1，2，…，m），并按升序排序，0<ω01<ω02<…<ω0m，第i階固有圓頻率

ω0i=kimi或固有頻率f0i=12πkimi（4）

各階固有頻率f0i均與kimi成正比，f0i越大，說明單位質(zhì)量的剛度越高，可作為結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計的一個優(yōu)化約束條件.在進行動態(tài)結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，盡量提高各階固有頻率，避免固有頻率與外界激勵頻率一致引起共振.利用ANSYS軟件對基座進行模態(tài)分析，分析時采用靜力分析模型，對基座底面進行固定約束，不施加任何載荷，由于低階模態(tài)對振動系統(tǒng)影響較大，求得基座的前四階頻率，如表1所示.各階振型如圖5所示.

通過對基座進行自由模態(tài)分析，得到了基座的固有頻率和固有振型，真實地反映出基座的動態(tài)特性.表1和圖6表明基座具有良好的振動性能，同時也為后續(xù)基座結(jié)構(gòu)優(yōu)化分析設(shè)計做了準備.

2基座的拓撲優(yōu)化

靜力學方面的拓撲優(yōu)化問題一般可以按兩種方式建立優(yōu)化模型：一是在體積或質(zhì)量約束下求最小柔度，即最大剛度；二是在剛度（或其他條件）約束下求最小體積或質(zhì)量[4].本文是在頻率、剛度及應力約束下采用漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（evolutionary structural optimization，簡稱ESO法[5-6]）求解最輕的質(zhì)量.

所謂ESO法就是預先選取結(jié)構(gòu)設(shè)計域和初始域，給定結(jié)構(gòu)所需滿足的目標函數(shù)和約束條件的貢獻度.根據(jù)其貢獻度大小刪除無效的材料，循環(huán)該過程，達到終止條件，最終得到最佳拓撲結(jié)構(gòu).在優(yōu)化迭代過程中，采用固定的有限元網(wǎng)格，對存在的材料單元，其材料數(shù)編號為非零的數(shù)，而對不存在的材料單元，其材料數(shù)編號為零，通過這種零和非零模式實現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化.該方法具有良好的通用性，能夠采用已有的有限元分析軟件，通過迭代，在計算機上實現(xiàn).

2.1靜力優(yōu)化準則

2.1.1應力準則

在某一結(jié)構(gòu)中，如果某一部分的材料沒有得到充分的利用，應將其刪除或改進，如此反復進行，直至得到最優(yōu)應力分布[7].基于此原理，通過對基座進行應力分析，確定單元的Von Mises應力σvme與整個結(jié)構(gòu)的最大Von Mises應力σvmmax，然后刪除不滿足條件的單元，減小基座質(zhì)量.對于各項同性的材料，其Von Mises應力定義為：

σvm=σ2x+σ2y-σxσy+3τ2xy（5）

式中：σx和σy分別為x和y方向的正應力；τxy為剪應力.

將單元的Von Mises應力σvme與整個結(jié)構(gòu)的最大Von Mises應力σvmmax進行比較，便可確定每個單元的應力水平.在每一次有限元分析后，從模型中刪除滿足下列條件的所有單元：

σvmeσvmmax

式中，RRi為當前的拒絕率.

采用相同的拒絕率，反復迭代有限元分析和單元刪除循環(huán)，直至達到穩(wěn)態(tài)，然后引進一個進化率ER，并附加到拒絕率中，即：

RRi+1=RRi+ER， i=0，1，2，…（7）

用這個增加的拒絕率再一次進行有限元分析和單元刪除，直至達到一個新的穩(wěn)態(tài).

2.1.2剛度準則

對基座而言，在改變其結(jié)構(gòu)時，必須保證其剛度，但是部分材料的剛度不會對結(jié)構(gòu)整體產(chǎn)生很大的影響，因此類比于應力準則將沒有得到充分利用的材料刪除，以此減小基座的質(zhì)量.根據(jù)式（1），結(jié)構(gòu)的平均柔順度，即剛度的對立量：

C=12[F]T[K]-1[F]（8）

在載荷向量不變的情況下，整體剛度的最大化也就是結(jié)構(gòu)柔順度的最小化.從結(jié)構(gòu)中刪除第i號單元時，式（1）就變?yōu)椋?/p>

（[K]-[Ki1]）·（[u]+Δ[u]）=[F]（9）

式中：[Ki1]為對第i號單元擴維了的剛度矩陣；Δ[u]為位移向量的變化.

用式（1）減去式（9），并忽略式（9）中的高階量，得到位移的變化量：

Δ[u]=[K]-1[Ki1][u]（10）

將式（10）帶入式（8）得：

ΔC=12[F]TΔ[u]=12[F]T[K]-1[Ki1][u]=

12[u]T[Ki1][u]=12[ui]T[Ki][ui]（11）

式中：[Ki]為第i號單元的剛度；[ui]為第i號單元的位移向量.

由此得到第i號單元的靈敏度：

αi=[ui]T[Ki][ui]（12）

式中：αi表示刪除第i號單元時的結(jié)構(gòu)柔順度的變化情況.

優(yōu)化目標就是尋找剛度約束的最輕結(jié)構(gòu)，給出如下的約束：

C≤C*（13）

式中：C*為C的上限.

為了達到優(yōu)化結(jié)果，在優(yōu)化過程中刪除αi值最小的單元，以使得C的增加量最小.

2.2建立數(shù)學模型

根據(jù)上述分析，基座具有良好的動態(tài)性能，其一階頻率遠高于基座上電機的頻率（25 Hz），因此限定某一固定頻率，以頻率、剛度、應力作為約束，最小質(zhì)量作為目標函數(shù)建立如下數(shù)學模型：

findMinM

s.t.f=fd

C≤C*

σvmeσvmmax≤1%（14）

式中：M為基座的質(zhì)量；fd為基座的某一固有頻率.

在優(yōu)化拓撲過程中容易出現(xiàn)數(shù)值計算不穩(wěn)定的情況，產(chǎn)生類似棋盤格的模式.可以通過引入過濾函數(shù)[8-11]來抑制棋盤格，對單元的靈敏度進行松弛調(diào)整，避免相鄰單元靈敏度相差懸殊.將編號為1到j(luò)-1的單元靈敏度通過權(quán)系數(shù)μij加到第j個單元上，即：

u′j=∑i

定義加權(quán)系數(shù)：

μij=d（i，j）∑Nj=1d（i，j）

定義單元靈敏度：

u′i=∑ji=1d（i，j）ui∑ji=1d（i，j）（15）

式中：d（i，j）=R-D（Ni-Nj）；D（Ni-Nj）為單元i到單元j的距離；R為過濾半徑，其值為2倍的網(wǎng)格單元邊長.

2.3優(yōu)化結(jié)果分析

依據(jù)上述數(shù)學模型，設(shè)定基座質(zhì)量下降20%，對基座進行拓撲優(yōu)化，優(yōu)化后的拓撲圖如圖7所示.圖7中深黑色材料部分表示應該切除，但是出于實際制造、加工和使用等方面考慮，不是所有的部分都應該完全切除，也可以采取減小厚度的辦法，降低基座的質(zhì)量.另外，圖7中認為要保留的部分，出于實際考慮有些部分也應該刪除.例如，在鑄造時，需要設(shè)置鑄造出砂孔，就應在內(nèi)部筋板上合理布置一些岀砂孔，優(yōu)化后的基座結(jié)構(gòu)如圖8所示.

對優(yōu)化后的基座結(jié)構(gòu)進行有限元分析，優(yōu)化前后性能參數(shù)如表2所示.基座最大應力由原來的1.47 MPa變?yōu)?.16 MPa，但仍滿足強度要求，最大變形基本無變化，說明整體剛性良好，基頻增加了47.8 Hz，質(zhì)量由原來的5 970 kg減小到5 620 kg，減小了5.8%.

3結(jié)論

在正確建立模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對模型做了靜力、模態(tài)分析，得到了初始模型的靜、動態(tài)性能參數(shù)，分析了各參數(shù)對基座性能的影響.運用ESO法對基座進行拓撲優(yōu)化，減小了基座質(zhì)量，且整體剛性良好，基頻得到了提升，達到了預期的目標.

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文章編號：2096-2983（2017）03-0172-05DOI：10.13258/j.cnki.nmme.2017.03.009