豐盈經(jīng)歷 理解算理

楊武昌

培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一。計(jì)算能力強(qiáng)弱的重要標(biāo)志是對(duì)計(jì)算過程的深刻理解。理解計(jì)算過程不光要知道怎樣計(jì)算，更重要的是要明確為什么要這樣計(jì)算，這實(shí)質(zhì)上是一個(gè)算理問題?！皟晌粩?shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算乘法”這一內(nèi)容安排在人教版三年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第四單元。這部分知識(shí)是在學(xué)生已經(jīng)掌握了“乘數(shù)是一位數(shù)筆算乘法”及“用整十?dāng)?shù)乘”的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，它是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)乘數(shù)是三位數(shù)乘法的基礎(chǔ)?！俺藬?shù)是一位數(shù)筆算乘法”的算理和算法都將直接遷移到兩位數(shù)乘兩位數(shù)中來(lái)。因此，學(xué)生對(duì)算理和算法的理解和探索并不會(huì)感到困難。本節(jié)課除了讓學(xué)生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法的算理、掌握其算法以外，還承擔(dān)著計(jì)算與應(yīng)用兩個(gè)任務(wù)。那么，在本課教學(xué)中，如何使計(jì)算教學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用和諧交融，有機(jī)結(jié)合呢？

一、情境創(chuàng)設(shè)，支撐理解

小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，計(jì)算應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象數(shù)和簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，在具體的情境中理解，并應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決問題的過程，避免將運(yùn)算與應(yīng)用割裂開來(lái)。教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，選擇學(xué)生感興趣的事物、活動(dòng)，用蘊(yùn)含數(shù)學(xué)信息的故事、游戲、圖片，創(chuàng)設(shè)各種生動(dòng)形象的、與教材內(nèi)容有關(guān)的教學(xué)情境，拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)他們積極主動(dòng)地參與到學(xué)習(xí)中去。

如，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算乘法”的教學(xué)伊始，充分利用課本資源，借助多媒體課件創(chuàng)設(shè)這樣一個(gè)學(xué)生熟知的情境：媽媽帶小紅去書店買課外書，每本14元，一共買了12本。一共要付多少錢？從而引導(dǎo)學(xué)生得出14×12的數(shù)學(xué)算式。通過這樣創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)單、有效的情境不僅讓學(xué)生從具體的生活問題中自然引出數(shù)的計(jì)算，改變枯燥的呈現(xiàn)方式，而且豐富了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，從而使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值。然而，計(jì)算教學(xué)的情境不是隨便亂用，只有創(chuàng)設(shè)相當(dāng)合適的教學(xué)情境，才會(huì)起到相得益彰的作用。如果創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境與學(xué)生的生活實(shí)際太遠(yuǎn)，或者情境的數(shù)學(xué)價(jià)值不大，學(xué)生便有可能毫無(wú)目的地發(fā)散出去。

二、數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)理解

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從形對(duì)于數(shù)的直觀性、數(shù)對(duì)于形的深刻性這兩方面，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用。由此，數(shù)形結(jié)合既是研究、探索數(shù)學(xué)的一種思想方法，又是幫助學(xué)生理解、解釋數(shù)學(xué)的一種教學(xué)方式與教學(xué)手段。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算乘法”的教學(xué)中可以借助數(shù)形結(jié)合，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生更好理解知識(shí)，架起算理與算法之間的橋梁，使抽象思維和形象思維有效地結(jié)合起來(lái)，從而幫助學(xué)生深刻地理解算理。

如，在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算乘法”的教學(xué)中可結(jié)合上述情境創(chuàng)設(shè)的基礎(chǔ)上，充分利用“點(diǎn)子圖”幫助學(xué)生理解筆算過程中每一步的意義，使算理和算法達(dá)到有機(jī)融合。

1.把上下分成三個(gè)部分，每個(gè)部分都是14×4，再把三個(gè)部分相加得168（如圖1）。

2.把上下分成四個(gè)部分，每個(gè)部分都是14×3，再把四個(gè)部分相加得168（如圖2）。

14×4×3=168 14×3×4=168

3.把左右分成三個(gè)部分，前兩部分都是12×5，第三部分是12×4，再把它們相加得168（如圖3）。

4.把上下分成兩個(gè)部分，上部分是14×2，下部分是14×10，兩個(gè)部分相加得168。（如下圖4）。

12×5×2+12×4=168 14×2+14×10=168

當(dāng)然，在交流14×12計(jì)算問題時(shí)，由于學(xué)生的認(rèn)知建構(gòu)和解決問題的視覺不同，常常會(huì)出現(xiàn)不同的算法，教師要尊重學(xué)生的個(gè)性化算法，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)同一個(gè)計(jì)算問題進(jìn)行不同的算法思考，通過交流，體驗(yàn)算法的多樣化。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)不同計(jì)算方法和點(diǎn)子圖的分析比較、歸納和分類，多中選優(yōu)、擇優(yōu)而用，掌握解題的策略。與此同時(shí)，教師可提出如下問題：“你的方法與他的方法不同在哪里？”“你認(rèn)為他的方法怎么樣？”“誰(shuí)的方法更好些？”“用他的方法去做一做，你有什么想法？”提倡在算法多樣化的基礎(chǔ)上關(guān)注算法的優(yōu)化。上述教學(xué)中，通過運(yùn)用點(diǎn)子圖將學(xué)生的思考從直觀的分一分、算一算，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)的思考。這樣既尊重算法的多樣，呵護(hù)個(gè)性算法，又在尊重算法多樣的前提下幫助學(xué)生完成對(duì)多樣算法的優(yōu)化，構(gòu)建共性算法——“先分后合”，進(jìn)而達(dá)到對(duì)算理的深層理解和對(duì)算法的切實(shí)把握。

三、理法通融，強(qiáng)化理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生獲得知識(shí)，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，學(xué)生應(yīng)用知識(shí)形成技能，離不開自己的實(shí)踐；學(xué)生只有在獲得知識(shí)技能的活動(dòng)過程中，才能在數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展。”理解“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算乘法”是本課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。眾所周知，算理是運(yùn)算正確的前提和依據(jù)。算理和算法是計(jì)算教學(xué)中不可分割的兩個(gè)方面，算理解決“為什么這樣算”的問題，算法是算理的具體化，解決“怎樣算”的問題。因此，計(jì)算教學(xué)中，教師要著力引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)技能去體驗(yàn)，讓他們?cè)诰唧w的思考和探究中理解算理、掌握算法，從而實(shí)現(xiàn)算理與算法的有機(jī)融合，促進(jìn)計(jì)算能力的不斷提高。

如，教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）筆算乘法”例1時(shí)，首先，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合點(diǎn)子圖，讓學(xué)生自主探究“14×12”怎樣算？學(xué)生出現(xiàn)多種方法：（1）先算4套要多少錢，再算12套要多少錢；（2）先算3套要多少錢，再算12套要多少錢；（3）先算10套和2套各多少錢，在合起來(lái)；（4）用豎式計(jì)算。交流時(shí)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)（3）的理解，讓學(xué)生有意識(shí)地先說2套是14×2=28，再交流10套是14×10=140，最后合起來(lái)是28+140=168。接著引導(dǎo)學(xué)生交流用豎式計(jì)算，努力架設(shè)算理直觀與算法抽象之間的橋梁，可先引導(dǎo)學(xué)生思考第一層算的是什么？表示什么？第二層呢？表示什么？接下來(lái)的呢？（逐步板書如下）

14

×12

28 ……14×2→282個(gè)14是28（2套的錢）

140 ……14×10→14040個(gè)14是140（10套的錢）

168 ……28+140→16812套的錢

然后，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：剛才先算什么？第一個(gè)乘數(shù)與第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘，算出了2套的錢。再算什么？與第二個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)相乘，算出了10套的錢，最后相加，算出12套的錢。

接著再讓學(xué)生計(jì)算13×52，24×23。并引導(dǎo)學(xué)生觀察，這些算式有什么共同的地方？通過觀察比較，發(fā)現(xiàn)并規(guī)范豎式計(jì)算的簡(jiǎn)便寫法。

最后，再引導(dǎo)學(xué)生交流：為什么新的算法第二個(gè)積的末尾要與十位對(duì)齊？為什么新的算法要把兩次乘得的積分上下兩層來(lái)寫？

由此看出，教學(xué)中為學(xué)生架設(shè)了三座橋梁。第一，通過有意識(shí)交流第（3）種解法，為筆算算法的算理做好鋪墊；第二，通過問題“算的是什么？表示什么”，引導(dǎo)學(xué)生把視角投向豎式計(jì)算的實(shí)際情境中，數(shù)形對(duì)應(yīng)，使學(xué)生直觀地理解算理，并在直觀算理的支撐下，逐步抽象出算法。第三，安排學(xué)生嘗試計(jì)算，并引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較“這些算式有什么共同的地方？”進(jìn)而簡(jiǎn)化豎式。這樣，學(xué)生充分體驗(yàn)了從算理到算法的演變過程，學(xué)生學(xué)得輕松、理解得更加深刻。

縱觀這一內(nèi)容的教學(xué)，對(duì)于學(xué)生而言，理解算理、建構(gòu)算法往往是一個(gè)艱難的過程。因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生理解算理和算法時(shí)，要注意溝通具體直觀和抽象概括之間的聯(lián)系；在引導(dǎo)學(xué)生感悟算理和算法時(shí)，要提供充分的時(shí)間和空間，讓學(xué)生豐富體驗(yàn)、加深認(rèn)識(shí)；在鏈接算理與算法時(shí)，要尊重學(xué)生的理解和選擇，因勢(shì)利導(dǎo)，有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析比較、反思交流等。只有這樣，才能真正使學(xué)生達(dá)到算理、算法和技能的有機(jī)融合，學(xué)生也才能知算理、曉算法；以算理、釋算法；依算理、用算法。從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)為學(xué)生以后學(xué)習(xí)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）筆算乘法”“三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”等提供有益的思維支持。

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