《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)的探索與實(shí)踐

顧麗娟+張術(shù)東+董超

摘要：結(jié)合多年的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)實(shí)際，就如何根據(jù)飛行學(xué)員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程闡述自己的一些探索與實(shí)踐.

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；飛行學(xué)員；隨機(jī)現(xiàn)象

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）27-0148-02

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是海軍空間科學(xué)與工程專業(yè)飛行學(xué)員必修的課程，該課程為飛行學(xué)員傳授后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)和解決工程實(shí)際問(wèn)題所必需的基本數(shù)學(xué)工具，進(jìn)而提高飛行學(xué)員的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)員的創(chuàng)新精神、增強(qiáng)飛行學(xué)員分析和處理軍事領(lǐng)域存在著大量的隨機(jī)問(wèn)題的能力。一方面，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》不同于《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》等課程，它是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門(mén)學(xué)科，在理論和方法上有其獨(dú)特的風(fēng)格。另一方面，飛行學(xué)員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，平時(shí)需要進(jìn)行高強(qiáng)度的體能訓(xùn)練，在自習(xí)時(shí)間上相對(duì)緊張。這些都使得大部分學(xué)員們普遍反映這門(mén)課程比較難學(xué)，學(xué)員考試及格率相對(duì)偏低。針對(duì)這些實(shí)際情況，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐與理論思考，我就如何根據(jù)飛行學(xué)員的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程給出幾點(diǎn)看法。

一、掌握概率論與統(tǒng)計(jì)的思想實(shí)質(zhì)

在現(xiàn)實(shí)世界中存在兩類現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象?！陡叩葦?shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》等課程是研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支，有其鮮明的特殊性?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，這種現(xiàn)象不能用“因果關(guān)系”加以嚴(yán)格控制和準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，也不能用一些簡(jiǎn)單的定律加以概括，而需要從大量觀測(cè)中綜合分析找出規(guī)律性[1，2]。在概率論中，人們總是通過(guò)研究隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的。所以，探討隨機(jī)現(xiàn)象中隱藏的規(guī)律，實(shí)際上就是探求隨機(jī)試驗(yàn)的規(guī)律，在具體授課中，教員要引導(dǎo)學(xué)員認(rèn)識(shí)概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的對(duì)象以及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的關(guān)系：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)科學(xué)的重要分支，概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的應(yīng)用。它們都以隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性為研究?jī)?nèi)容，其理論和方法已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域。

二、系統(tǒng)分析教材與教學(xué)內(nèi)容

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程選用教材為新編的飛行學(xué)員系列教材之一，教學(xué)內(nèi)容為一至八章，可以分成五個(gè)部分。

第一部分“隨機(jī)事件及其概率”是教材的第一章，它不僅是概率論部分的基礎(chǔ)，也是整個(gè)課程的基礎(chǔ)。這一部分的主題就是計(jì)算隨機(jī)事件的概率。無(wú)論是事件的關(guān)系和運(yùn)算、古典概型、幾何概型，還是條件概率、全概率公式、貝葉斯公式，獨(dú)立性，都是圍繞事件的概率計(jì)算進(jìn)行的。在這個(gè)過(guò)程中，關(guān)鍵的因素是復(fù)雜事件的分解，事件分解的目的是通過(guò)簡(jiǎn)單事件的概率得到復(fù)雜事件的概率。加法原理、乘法原理、事件的關(guān)系和運(yùn)算正是分解復(fù)雜事件的有力工具，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是正確計(jì)算概率的前提。古典概型、幾何概型、條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式則提供了計(jì)算概率的途徑，教學(xué)中要使學(xué)員熟練掌握這些知識(shí)。不能正確地把復(fù)雜事件表示為簡(jiǎn)單事件的集合運(yùn)算，從而不能得出正確的事件概率是許多學(xué)員常犯的錯(cuò)誤。

第二部分“隨機(jī)變量及其分布”由教材中第二章和第三章組成，這是本課程核心部分。隨機(jī)變量概念的引入，使得研究隨機(jī)事件的概率問(wèn)題在數(shù)學(xué)方法上躍上了新的臺(tái)階，即從初等運(yùn)算變?yōu)槲⒎e分運(yùn)算。本部分是第一章的深入，也是第四章和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性可以通過(guò)隨機(jī)變量的概率分布反映出來(lái)，要研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，就必須研究隨機(jī)變量的概率分布。從一維到多維的變化，與高等數(shù)學(xué)中一維到多維的變化一樣，體現(xiàn)了從有限到無(wú)限的轉(zhuǎn)變過(guò)程中，有些正確的結(jié)論可能不正確了。確定隨機(jī)變量的概率分布是本部分內(nèi)容的主題，圍繞這個(gè)主題，先討論了一些常見(jiàn)的概率分布，然后介紹了利用已知分布求未知分布的分布函數(shù)法，后者是本課程的難點(diǎn)。

第三部分“隨機(jī)變量的數(shù)字特征”研究和討論隨機(jī)變量隱含在概率分布中，但不能由分布立刻觀察到的特性，在某些情形下，這些特性反映了事物的本質(zhì)。本部分的計(jì)算與數(shù)學(xué)分析密切相關(guān)，離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征計(jì)算就是級(jí)數(shù)運(yùn)算，連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征計(jì)算就是積分運(yùn)算。數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)及計(jì)算是這一章的重點(diǎn)，對(duì)相關(guān)系數(shù)概念的理解及應(yīng)用是本章的難點(diǎn)。切比雪夫不等式是大數(shù)定律證明的基礎(chǔ)，在許多場(chǎng)合有重要應(yīng)用。矩是最一般的概念，期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)都是特殊的矩。同時(shí)，矩也是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。

第四部分“大數(shù)定律及中心極限定理”從理論上解釋了頻率的穩(wěn)定性，也說(shuō)明了把正態(tài)分布作為最主要分布來(lái)研究的合理性。本章是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，整個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的三塊基石，有兩個(gè)出自這一章。因而這部分知識(shí)起承前啟后的作用。新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，第四章增加了特征函數(shù)一節(jié)，其目的就是為了給出大數(shù)定律的完整證明，使學(xué)員對(duì)這部分知識(shí)的理解有一定的深刻性。

第五部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)包括第六到八章，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門(mén)應(yīng)用性十分廣泛的學(xué)科，它研究如何以有效方式收集、整理、分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，并做出判斷和預(yù)測(cè)，為決策者決策提供依據(jù)。第六章“樣本和抽樣分布”介紹了常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量的三大分布和四個(gè)抽樣分布定理，這是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)，是學(xué)好是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的關(guān)鍵。第七、八兩章討論了統(tǒng)計(jì)推斷的兩種基本形式——參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，尋求估計(jì)量的方法和估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則，假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是本部分內(nèi)容的重點(diǎn)，而對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)中兩類錯(cuò)誤的理解和檢驗(yàn)中犯兩類錯(cuò)誤的概率計(jì)算則是難點(diǎn)。由于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的許多計(jì)算可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，所以在教學(xué)上對(duì)這部分內(nèi)容采取的策略是重在講清思想和講透原理。

在講授中，教員要抓住橫向和縱向兩條主線，縱向是指五大部分這些概念發(fā)展的主線，橫向是指隨機(jī)變量的各種特性及它們之間的關(guān)系和實(shí)際背景。在本課程眾多的知識(shí)點(diǎn)好比珠子，教員只有提煉教學(xué)內(nèi)容，掌握主線，才能有一根主線穿起這些珠子，傳授給學(xué)員。

三、改進(jìn)與優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

1.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程以數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)與空間解析幾何為基礎(chǔ)，研究隨機(jī)變量的概率分布及其應(yīng)用，這個(gè)特點(diǎn)往往誤導(dǎo)教員在授課過(guò)程中注重用純數(shù)學(xué)教學(xué)形式，對(duì)相關(guān)的理論證明和相關(guān)結(jié)論進(jìn)行詳細(xì)的推導(dǎo)，從而忽視了應(yīng)用性練習(xí)的重要性。繁復(fù)和抽象的證明不僅會(huì)使授課過(guò)程枯燥難懂，影響到飛行學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，而且會(huì)使他們的學(xué)習(xí)重點(diǎn)落在嚴(yán)密的理論證明上，弱化了理論知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，也加大了學(xué)員學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的難度。而《概率論》學(xué)科的起源也源于解決實(shí)際問(wèn)題[3]。因此，結(jié)合的教學(xué)實(shí)際，教員在課程設(shè)計(jì)上應(yīng)當(dāng)“輕理論，重應(yīng)用”，進(jìn)而改進(jìn)和優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)。“輕理論”是指教員適當(dāng)?shù)厝趸碚撏茖?dǎo)和復(fù)雜的證明，“重應(yīng)用”是指應(yīng)當(dāng)充分利用課堂教學(xué)的有限時(shí)間，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)員掌握基本公式和方法，從應(yīng)用的角度體會(huì)概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)思想和方法的美妙之處，并逐步將這些思想和方法應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。

2.適應(yīng)院校轉(zhuǎn)型需要，增加應(yīng)用性強(qiáng)，尤其是軍事素材的教學(xué)內(nèi)容，在知識(shí)的深度和廣度方面加強(qiáng)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)員“用數(shù)學(xué)”的能力。實(shí)際教學(xué)中，在例題講解、補(bǔ)充習(xí)題等方面增加許多軍事素材的內(nèi)容。例如，一艘潛艇上所有艇員的身高是一個(gè)隨機(jī)變量，潛艇艙門(mén)設(shè)計(jì)者就很關(guān)心全體艇員的平均身高，也需要了解艇員身高與平均身高的偏離程度，數(shù)學(xué)期望就是描述隨機(jī)變量取值的平均大小，方差就是度量這個(gè)偏離程度。軍事實(shí)例的引入使得學(xué)員加深了對(duì)概率統(tǒng)計(jì)思想的理解，培養(yǎng)學(xué)員“數(shù)學(xué)就在我們身邊”的思想，從而提高學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高分析和處理隨機(jī)問(wèn)題的能力，也促進(jìn)了飛行學(xué)員全面和諧發(fā)展，為勝任具體工作奠定了基礎(chǔ)。

軍事領(lǐng)域存在著大量的隨機(jī)現(xiàn)象，認(rèn)識(shí)和把握其規(guī)律性，是飛行學(xué)員在執(zhí)行飛行任務(wù)和日常工作中做出正確決策的基礎(chǔ)。在新時(shí)代軍事環(huán)境下，軍校教員更應(yīng)該認(rèn)真思考如何上好《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門(mén)應(yīng)用性課程。教員一方面要把握概率與統(tǒng)計(jì)的思想實(shí)質(zhì)，另一方面要結(jié)合學(xué)員實(shí)際情況，一定要因時(shí)、因景、因反饋及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果的最優(yōu)化，保證教學(xué)目標(biāo)的順利完成。

參考文獻(xiàn)：

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008：1-10.

[2]梁之舜，鄧集賢，楊維權(quán)，等.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2005：1-5.

[3]朱家生.數(shù)學(xué)史[M].北京：高等教育出版社，2004：121-127.

Abstract：With our teaching practice for many years on the curriculum of "Probability Theory and Mathematical Statistics"，we give some advance and teaching method to solve the actual problem that student pilot in mathematic have weak foundation.

Key words：probability theory and mathematical statistics；student pilot；random phenomenon