2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題分析

遼寧省招生考試辦公室 高考命題處

Ⅰ.試題評價

◇一、總體評價

2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文、理）試題是在進一步貫徹《國務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見》的背景下，參照2015年全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷命制的，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)《考試大綱》和《考試說明》的要求。試卷的整體結(jié)構(gòu)保持了2015年試卷的風(fēng)格，而整體難度較2015年有所增加。試題設(shè)計體現(xiàn)了“樸實中重基礎(chǔ)、常規(guī)中見能力、平和中透靈氣”的穩(wěn)健、成熟設(shè)計理念，體現(xiàn)了“一點四面”原則。從多視角、多維度、多層次考查數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，考查考生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解及數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能。試卷注重文、理科考生在所學(xué)內(nèi)容、能力和要求上的差異。試題布局合理，基本按照由易到難的順序進行安排，有較好區(qū)分度，無偏、難、怪試題，有利于選拔人才，促進社會公平，推進課程改革，維護社會穩(wěn)定。

◇二、主要特色

（一）執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，注重全面考查

1.指向性明確，回歸本真

如第6題考查三視圖，雖未指出主視圖、左視圖、俯視圖，但不會產(chǎn)生任何歧義，就是圓柱與圓錐組合體的計算；第8題考查程序框圖，是一道真正意義上的算法考查題目，考查學(xué)生的識圖能力。

2.選擇題簡潔平穩(wěn)，填空題難度適中，解答題層次分明。

3.注重對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本體驗的考查

試題既考查了傳統(tǒng)的“三基”，又考查了基本體驗過程，如第12題分析函數(shù)關(guān)于（0，1）對稱，然后利用圖像和性質(zhì)加以分析和解決問題。

4.選材合理，回歸教材

相當(dāng)一部分試題來自于教材，如 1、2、3、4、8、9、10、13、14，特別是第10題用隨機模擬方法近似計算原型，取材于必修三第三章幾何概型例3中撒黃豆的模擬實驗，是同一性質(zhì)的兩種體現(xiàn)形式。

5.抓住數(shù)學(xué)主干，考查通性通法

六道解答題突出考查了代數(shù)（函數(shù)與導(dǎo)數(shù)）、幾何（立體和解析）、數(shù)列、概率與統(tǒng)計、三選一的知識，解決方法常規(guī)化。

6.尊重個體差異，體現(xiàn)課改精神

試卷的考查具有一定的靈活性。第10題設(shè)計較為抽象，但考生只要能聯(lián)想教材中撒黃豆的模擬實驗，就不難解決；第17題等差數(shù)列和取整函數(shù)的結(jié)合，不少考生難以辨別，對知識的遷移和應(yīng)用知識解決問題的能力要求較高，給品質(zhì)優(yōu)秀、數(shù)學(xué)成績良好的考生留有較大的展示空間，體現(xiàn)了課改精神。

7.體現(xiàn)“一點四面”原則

第8題程序框圖與秦九韶算法思想相結(jié)合，把古代傳統(tǒng)文化固化在數(shù)學(xué)試題中，考查學(xué)生對傳統(tǒng)文化的理解和掌握情況，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值。

8.考點全面，呈現(xiàn)亮點，囊括重點、難點、熱點、易錯點

考點覆蓋全面，同時重點突出，如第7題考查三角函數(shù)的圖像變換和性質(zhì)；第9題考查了三角變換和誘導(dǎo)公式；第13題考查了正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式；第17題雖是等差數(shù)列與取整的簡單結(jié)合，但不少考生分辨不清，造成錯解；第11題解析幾何以圖為主，輔以計算的熱點問題溫度不降；第21題借助導(dǎo)數(shù)證明不等式、求函數(shù)最值等難度不減；第20題解法上顯得“任性”，也是答案的一個亮點，直接通過方程思想解出M、N的坐標(biāo)比較簡單，但很多考生由于平時練習(xí)中采用根與系數(shù)關(guān)系求解，導(dǎo)致忽略通過A的坐標(biāo)與兩根之積的關(guān)系得出M、N的坐標(biāo)，使得此題略顯繁瑣。

（二）突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，側(cè)重考查思想方法

如第21題，綜合考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、對稱、化歸與轉(zhuǎn)化等思想；第24題綜合考查了分類與整合、函數(shù)與方程思想；第12、20題考查了數(shù)形結(jié)合思想；第19題考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想。

（三）重視知識聯(lián)系，強化能力立意

1.注重在知識交匯處設(shè)計試題

在概率和統(tǒng)計知識交匯處命題是高考常見的考查方式，第18題亦是如此；第21題是在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的交匯處設(shè)計的題目。

2.以知識為載體，數(shù)學(xué)思維能力為核心

整張試卷全面考查了數(shù)學(xué)的五個能力，考查理性思維的廣度和深度。第6、14、19題考查空間想象力、運算求解、推理論證能力；第22題考查推理論證和運算求解能力；第18題考查數(shù)據(jù)和圖表的分析與處理能力；第5、10、15題考查邏輯推理、應(yīng)用和創(chuàng)新能力；第12題考查抽象概括、運算求解能力。

（四）貼近生活實際，體現(xiàn)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識

結(jié)合考生生活實際設(shè)計試題，如第5題背景是最短路徑問題，看似新穎，實則考查乘法原理；第18題是與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系的續(xù)保問題，看似設(shè)問較多，但難度不大，通過對數(shù)據(jù)的分析與處理，綜合考查統(tǒng)計問題并求解互斥事件有一個發(fā)生及條件概率問題。

◇三、對2017年高考試題的建議

在保持平穩(wěn)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加亮點和創(chuàng)新點。

◇四、試卷的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)（理科）

2016年遼寧參加考試的考生人數(shù)：134675人，總體平均分：83.9966分，最高分：149分，最低分：0分，難度系數(shù)：0.56，標(biāo)準(zhǔn)差：28.7598，區(qū)分度：0.4703，α 信度：0.8726。

Ⅰ.試題分析

第Ⅰ卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

（1）已知 z=（m+3）+（m-1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是

（A）（-3，1） （B）（-1，3）

（C）（1，+∞） （D）（-∞，-3）

【答案】A

【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義.

點（m+3，m-1）在第四象限，解得-3＜m＜1.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)1 134675 122313 12362平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度4.541 2.0841 1.4436 0.9082

（2）已知集合A=｛1，2，3｝，

【答案】C

【解析】本題主要考查集合的運算、不等式的解法.集合B由哪些整數(shù)構(gòu)成是易錯點.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)2 134675 104559 30116平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度3.8819 4.3403 2.0833 0.7764

（3）已知向量 a=（1，m），b=（3，-2），且（a+b）⊥b，則m=

（A）-8 （B）-6 （C）6 （D）8

【答案】D

【解析】本題主要考查向量垂直的充要條件、向量的坐標(biāo)運算.由（a+b）·b=0 解得 m=8.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)3 134675 124554 10121平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度4.6242 1.7376 1.3182 0.9248

（4）圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1，則a=

【答案】A

【解析】本題主要考查圓的一般方程式，圓心的坐標(biāo)公式及點到直線的距離公式.由圓心（1，4）到直線ax+y-1=0的距離

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)4 134675 114899 19776平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度4.2658 3.132 1.7697 0.8532

（5）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

【答案】B

【解析】本題主要考查計數(shù)原理及用排列、組合知識解決實際問題的能力.從E到F分四步，其中兩步向上，從F到G分三步，其中一步向上，故18.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)5 134675 93026 41649平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度3.4537 5.3404 2.3109 0.6907

（6）下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π

【答案】C

【解析】本題主要考查三視圖、幾何體的表面積.該幾何體是圓柱和圓錐的組合體，其中圓柱的底面半徑為2，高為4，圓錐的底面半徑為2，母線長為4.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)6 134675 93900 40775平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度3.4862 5.2775 2.2973 0.6972

【答案】B

【解析】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移個長度單位后，得到可得平移后函數(shù)圖像的對稱軸方程.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)7 134675 110358 24317平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度4.0972 3.699 1.9233 0.8194

（8）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，下圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的 x=2，n=2，依次輸入的 a 為 2，2，5，則輸出的s=

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

【答案】C

【解析】本題主要考查對程序框圖的理解.該程序框圖運行3次，各次s的取值依次為2，6，17.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)8 134675 129585 5090平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度4.811 0.9092 0.9535 0.9622

【答案】D

【解析】本題主要考查三角恒等變換，包括誘導(dǎo)公式、二倍角公式等.并且題目很靈活，其解法并不唯一，如

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)9 134675 103456 31219平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度3.841 4.4519 2.11 0.7682

（10）從區(qū)間[0，1]隨機抽取 2n 個數(shù) x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成 n 個數(shù)對（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為

【答案】C

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)10 134675 62796 71879平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度2.3314 6.2216 2.4943 0.4663

（11）已知 F1，F(xiàn)2是雙曲線的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=則E的離心率為

【答案】A

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)11 134675 101742 32933平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度3.7773 4.6185 2.1491 0.7555

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

【答案】B

【解析】本題主要考查函數(shù)圖像的中心對稱性及數(shù)形結(jié)合思想.由題意兩個函數(shù)的圖像都關(guān)于點（0，1）中心對稱，則圖像交點兩兩關(guān)于點（0，1）對稱，所以

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)12 134675 54809 79866平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度2.0349 6.0336 2.4563 0.407

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22～24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分。

（13）△ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)13 134675 64930 69745平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度2.4106 6.242 2.4984 0.4821

（14）α，β 是兩個平面，m，n 是兩條直線，有下列四個命題：

①如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么 α⊥β.

②如果 m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果 α∥β，m?α，那么 m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.

其中正確的命題有_____.（填寫所有正確命題的編號）

【答案】②③④

【解析】本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系.熟悉線面位置關(guān)系的性質(zhì)與判定定理是解題關(guān)鍵.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)14 134675 63439 71236平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度2.3553 6.2291 2.4958 0.4711

（15）有三張卡片，分別寫有 1 和 2，1 和 3，2 和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_____.

【答案】1 和 3

【解析】本題主要考查解決實際問題時的邏輯推理能力.按照甲、乙、丙三個人的說法將所有可能的情況列出，再排除相互矛盾的.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)15 134675 122713 11962平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度4.5559 2.0233 1.4224 0.9112

（16）若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，則b=_____.

【答案】1-ln2

【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對運算能力要求較高.由解得，2-ln2）在直線 y=kx+b 上得b=1-ln2.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)16 134675 13803 120872平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度0.5125 2.2997 1.5165 0.1025

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

（17）（本小題滿分 12 分）

Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和，且a1=1，S7=28.記bn=[lg an]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg 99]=1.

（Ⅰ）求 b1，b11，b101；

（Ⅱ）求數(shù)列｛bn｝的前1000項和.

【答案】

解：（Ⅰ）設(shè)｛an｝的公差為d，據(jù)已知有7+21d=28，解得 d=1.

所以｛an｝的通項公式為an=n.

所以數(shù)列｛bn｝的前1000項和為1×90+2×900+3×1=1893. ……12分

【解析】本題主要考查等差數(shù)列、數(shù)列求和及對取整函數(shù)的理解，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)17 134675 46261 12409平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度7.765 16.6473 4.0801 0.6471

（18）（本小題滿分 12 分）

某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：

一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05

（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；

（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

【答案】

解：（Ⅰ）設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故

P（A）=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. ……3分

（Ⅱ）設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故

P（B）=0.1+0.05=0.15

又 P（AB）=P（B），故

（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為

X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05

EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.

因此續(xù)保人本年度平均保費與基本保費的比值為1.23. ……12分

【解析】本題主要考查互斥事件的概率、條件概率及離散型隨機變量的概率分布和對實際問題建立數(shù)學(xué)模型的能力.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)18 134675 32513 26611平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度6.8507 19.8066 4.4505 0.5709

（19）（本小題滿分 12 分）

如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點 E，F(xiàn)分別在 AD，CD 上，AE=CF=，EF交BD于點H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，

（Ⅰ）證明：D′H⊥平面 ABCD；

（Ⅱ）求二面角B-D′A-C的正弦值.

【答案】

解：（Ⅰ）由已知得 AC⊥BD，AD=CD.

因此 EF⊥HD，從而 EF⊥D′H.

所以 OH=1，D′H=DH=3.

于是 D′H2+OH2=32+12=10=D′O2，故 D′H⊥OH.

又 D′H⊥EF，而 OH∩EF=H，所以 D′H⊥平面ABCD. ……6分

（Ⅱ）如圖，以H為坐標(biāo)原點，HF的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 H-xyz.則 H（0，0，0），A（-3，-1，0），B（0，-5，0），C（3，-1，0），D′（0，0，3），

設(shè) m=（x1，y1，z1）是平面 ABD′的法向量，則

所以可取 m=（4，3，-5）.

設(shè) n=（x2，y2，z2）是平面 ACD′的法向量，則

所以可取 n=（0，-3，1）. ……10 分

【解析】本題主要考查空間線面位置關(guān)系及空間向量的應(yīng)用，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)19 134675 25491 19582平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度6.5466 17.5125 4.1848 0.5456

（20）（本小題滿分 12 分）

解：（Ⅰ）設(shè) M（x1，y1），則由題意知 y1＞0.

因此直線AM的方程為y=x+2.

【解析】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想和運算能力.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)20 134675 469 89895平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度1.4122 5.4586 2.3364 0.1177

（21）（本小題滿分 12 分）

【答案】

解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（-∞，-2）∪（-2，+∞）.

且僅當(dāng) x=0 時，f′（x）=0，所以 f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）單調(diào)遞增.

因此當(dāng) x∈（0，+∞）時， f（x）＞f（0）=-1.

所以（x-2）ex＞-（x+2），（x-2）ex+x+2＞0. ……5 分

由（Ⅰ）知， f（x）+a 單調(diào)遞增.對任意 a∈[0，1），f（0）+a=a-1＜0，f（2）+a=a≥0.

因此，存在唯一xa∈0，2]（，使得f（xa）+a=0，即g′（xa）=0.

當(dāng) 0＜x＜xa時，f（x）+a＜0，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；

當(dāng) x＞xa時，f（x）+a＞0，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.

因此g（x）在x=xa處取得最小值，最小值為

綜上，當(dāng) a∈[0，1）時，g（x）有最小值 h（a），h（a）的值域是

【解析】本題主要考查分析、解決問題及邏輯推理能力，是導(dǎo)數(shù)、函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.

【數(shù)據(jù)分析】

題號 人數(shù) 滿分人數(shù) 零分人數(shù)21 134675 0 84410平均分 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 難度0.8643 1.9508 1.3967 0.072

請考生在第22～24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)題號下方的方框涂黑。

（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點重合），且DE=DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F.

（Ⅰ）證明：B，C，G，F(xiàn)四點共圓；

（Ⅱ）若AB=1，E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積.

【答案】

解：（Ⅰ）因為 DF⊥EC，所以△DEF∽△CDF，則有∠GDF=∠DEF=∠FCB，

所以△DGF∽△CBF，由此可得∠DGF=∠CBF.

因此∠CGF+∠CBF=180°，所以 B，C，G，F(xiàn) 四點共圓. ……5分

（Ⅱ）由 B，C，G，F(xiàn)四點共圓，CG⊥CB 知 FG⊥FB.連結(jié)GB.

由G為Rt△DFC斜邊CD的中點，知GF=GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四邊形BCGF的面積S是△GCB的面積S△GCB的2倍，即

【解析】本題主要考查三角形相似、全等的判定與性質(zhì)，考查邏輯推理和運算能力.

（23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25.

（Ⅰ）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；

【答案】

解：（Ⅰ）由 x=ρcosθ，y=ρsinθ可得圓 C 的極坐標(biāo)方程

（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為 θ=α（ρ∈R）.

設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2.將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得

【解析】本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

（24）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

（Ⅰ）求 M；

【答案】

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng) a，b∈M 時，-1＜a＜1，-1＜b＜1，從而

【解析】本題主要考查（絕對值）不等式的解法與證明，考查邏輯推理及運算能力.

【數(shù)據(jù)分析】

選題 22 23 24難度 22.4032% 64.6049% 43.9079%比重 12.8828% 70.7443% 16.3727%

Ⅲ.對2017年高考數(shù)學(xué)教學(xué)及備考建議

2016年高考全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷，盡管總體穩(wěn)定，但還是向廣大一線教師傳遞了幾個訊息：高考試題在降低起點的同時，強調(diào)能力立意；在立足基礎(chǔ)的同時，著力內(nèi)容創(chuàng)新；在繼承傳統(tǒng)的同時，彰顯新課程理念。預(yù)計這些特點在今后高考命題中會得到有效的保持和延續(xù)，基于此對今后的數(shù)學(xué)教學(xué)及復(fù)習(xí)備考提出以下幾點建議：

◎一、了解課程標(biāo)準(zhǔn)，熟讀《考試大綱》，緊扣《考試說明》，為高三復(fù)習(xí)指明方向

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》是教學(xué)的指揮棒，《考試大綱》是高考命題的重要依據(jù)，《考試說明》為《考試大綱》的重要解讀，在高一、高二教學(xué)中要認(rèn)真落實，為高三復(fù)習(xí)保駕護航。

◎二、充分利用教材，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，抓住數(shù)學(xué)主干，揭示數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系

題在書外，但理都在書中。2016年高考數(shù)學(xué)試卷中，許多題目都能在課本上找到“影子”，不少試題就是將課本題目進行引申、拓寬和變化。此外對支撐數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系的重點內(nèi)容保持了較大的比例。因此在教學(xué)中，應(yīng)努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，使學(xué)生體會蘊含在其中的思想方法，做到真正地用教材教而不是簡單的教教材。回歸教材并不等同于把教材重新回顧一遍，而是要將教材試題與高考試題相聯(lián)系，找到兩者的結(jié)合點。

◎三、認(rèn)真鉆研近幾年全國統(tǒng)一考試高考試題，分析試題源頭

高考試題往往來自以下幾個方面：1.試題翻新于經(jīng)典題目；2.試題取材于教材；3.試題源于競賽或自主招生題目；4.試題借鑒于往年高考試題；5.試題下放于高等數(shù)學(xué)中的重要背景。

◎四、注重思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

高考是選拔性考試，2016年高考數(shù)學(xué)全國卷有一些創(chuàng)新題型，這些試題是以知識為載體，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，獨立解決問題的能力。因此在教學(xué)中應(yīng)把數(shù)學(xué)思想貫穿于教學(xué)的始終，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和水平，進一步形成理性思考問題的習(xí)慣，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識世界。

◎五、立足基礎(chǔ)，重視通性通法，加強學(xué)生基本技能的訓(xùn)練

2016年高考數(shù)學(xué)全國卷命題把重點放在高中數(shù)學(xué)課程中最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容上，關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題過程中最為重要的、必須掌握的核心觀念、基本常用技能，淡化技巧，對推理論證能力和抽象概括能力的考查貫穿于全卷，是考查的重點，兼顧考查空間想象能力和運算求解能力。因此在高中教學(xué)中，教師要重視學(xué)生運算、作圖、推理、處理數(shù)據(jù)等基本技能的訓(xùn)練，刪減人為技巧化難題，避免過于繁雜和技巧性過強的訓(xùn)練。高考不是比誰做得快，而是比誰做得好。在日常教學(xué)中，應(yīng)注重學(xué)生使用通性通法解題能力的培養(yǎng)。

◎六、突出新課程理念，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)“學(xué)以致用”。2016年高考數(shù)學(xué)全國卷中對應(yīng)用意識的考查堅持“貼近生活、背景公平、控制難度”的原則，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科的應(yīng)用價值。因此，在教學(xué)中教師要讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和建模的過程，促進學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用、創(chuàng)新意識，提高學(xué)生實踐能力。

◎七、落實以生為本，改善教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式

1.學(xué)生能自己解決的事，教師決不要去包辦代替

書要學(xué)生去念，題要學(xué)生去做，考試要學(xué)生去考，誰也無法代替。在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中教師要切實發(fā)揮學(xué)生的主體作用，決不要去包辦代替。高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的時間是很緊的，但再緊也不能緊學(xué)生參與教學(xué)活動的時間，要正確處理好講與練的關(guān)系，切實做到寧可少講兩個題目，也要將參與教學(xué)活動的時間留給學(xué)生。最終通過教師的講達到學(xué)生的“懂”，再通過學(xué)生的練達到學(xué)生的“會”，只有通過學(xué)生自己的實踐、總結(jié)、思索、磨練才能達到“悟”的境界。

2.復(fù)習(xí)課講落實

我們在高考復(fù)習(xí)中常聽到有些教師非常氣憤地說：“與某試題相類似的題目我已講過多遍，你們怎么還是不會?”其中除了學(xué)生的原因外，與我們的復(fù)習(xí)方法有很大的關(guān)系，應(yīng)該思考。從某種程度上來說，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)成敗的關(guān)鍵在落實，教師在學(xué)生身上落實了多少，學(xué)生就考出多少。因此，要吃透學(xué)生，控制復(fù)習(xí)深度，要實事求是，把基礎(chǔ)的東西夯實，然后有針對性的拔高，因材施教，方見成效。

3.培養(yǎng)興趣，提升素養(yǎng)

對于學(xué)生來說，學(xué)數(shù)學(xué)不光是為了高考，更重要的是要培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的興趣，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師的教學(xué)尤其是高一、高二教學(xué)要重視知識生成的過程，重視學(xué)生在教學(xué)中的作用。學(xué)生如果對數(shù)學(xué)真的感興趣，學(xué)好數(shù)學(xué)也就不成問題。

4.重視錯誤，讓學(xué)生在糾錯中成長

調(diào)查考入清華、北大的學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，發(fā)現(xiàn)無一例外都具備一個錯題本，可見糾錯在學(xué)習(xí)中的重要性。教師教學(xué)中要善于抓住學(xué)生的錯誤，對癥下藥，讓學(xué)生在糾錯中成長。

5.注重細節(jié)，狠抓規(guī)范

不少考生甚至是水平較高的考生都會出現(xiàn)不能準(zhǔn)確地表達所想的數(shù)學(xué)意思，或者是對一些嚴(yán)格要求格式的問題隨心所欲作答，這都是平時疏于嚴(yán)格訓(xùn)練的結(jié)果。學(xué)生在學(xué)習(xí)中必須知道，學(xué)好數(shù)學(xué)不能僅滿足于懂，還要善于準(zhǔn)確、規(guī)范地表達。俗話說：“不怕難題不得分，就怕每題都扣分”。

執(zhí)筆人：東北育才學(xué)校 劉新風(fēng)

沈陽市第一二○中學(xué) 趙立強

葫蘆島市第一高級中學(xué) 王尚學(xué)