帶有補(bǔ)償環(huán)節(jié)的串并聯(lián)混合型飛行模擬器指令分配方法

王曉晨 陳維山

摘 要：提出了一種串并聯(lián)混合型飛行模擬器，該模擬器結(jié)合了串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，能夠?qū)崿F(xiàn)高動(dòng)態(tài)大角度機(jī)動(dòng)飛行的運(yùn)動(dòng)仿真。針對所提出模擬器的指令分配問題，首先基于偽逆和梯度投影法給出了帶有加權(quán)的速度層最優(yōu)解。然后針對各個(gè)關(guān)節(jié)的物理約束，基于二次分配的思想設(shè)計(jì)了補(bǔ)償環(huán)節(jié)，使得當(dāng)某一個(gè)關(guān)節(jié)指令的速度或加速度超限時(shí)，可以利用其它未超限的關(guān)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)償，這也使得模擬器能夠模擬更高動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)。給出的指令分配算法能保證在獲得期望位姿指令的同時(shí)，避免運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異，同時(shí)還能充分發(fā)揮系統(tǒng)各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)能力。

關(guān)鍵詞：大角度機(jī)動(dòng)；飛行運(yùn)動(dòng)仿真；運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異；指令分配；

DOI：10.15938/j.emc.2017.07.000

中圖分類號：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1007 -449X（2017）07-0000-00

Command assignment method with compensation unit for a serial-parallel hybrid flight simulator

WANG Xiao-chen1，2，CHEN Wei-shan2

（1. Department of Automation， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China

2. State Key Laboratory of Robotics and System， Harbin Institute of Technology， Harbin 150080， China）

Abstract： A serial-parallel hybrid flight simulator was proposed to implement high dynamic and large-angle maneuvering flight simulation. The simulator combines the characteristics of series manipulator and parallel manipulator. For command assignment problem of the serial-parallel hybrid flight simulator， pseudo-inverse and gradient projection methods were used to obtain optimal solution with weighted at the velocity level. Then， a compensation unit of velocity and acceleration was designed for the compensation of the joint velocity and acceleration saturation. The compensation unit based on the velocity and acceleration redistribution was designed. When some of the joint velocities or accelerations are in saturation other joints compensate for the lack of the velocity or acceleration. Thus， this simulator can implement higher dynamic flight simulation. The proposed command assignment algorithm achieved desired position and attitudes， avoid kinematics singularity， as well as drive ability of the each joint is fully utilized.

Keywords： large angle maneuvering； flight motion simulation； kinematic singularity； command assignment

0 引 言

隨著航空航天技術(shù)的發(fā)展，高動(dòng)態(tài)、大角度機(jī)動(dòng)飛行動(dòng)作開始在飛行器的使用中出現(xiàn)，例如戰(zhàn)斗機(jī)做快速大角度的翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)彈做快速大角度機(jī)動(dòng)。另外，現(xiàn)代艦載防空導(dǎo)彈的垂直發(fā)射系統(tǒng)，以及航天器在外太空的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)等等，均要求飛行器姿態(tài)在整個(gè)空間內(nèi)快速變化[1-2]。因此，實(shí)現(xiàn)高動(dòng)態(tài)大角度機(jī)動(dòng)飛行的半實(shí)物仿真具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

在飛行器的運(yùn)動(dòng)仿真中，三軸轉(zhuǎn)臺是最常用的仿真設(shè)備，但是三軸轉(zhuǎn)臺的兩個(gè)軸重合時(shí)會(huì)發(fā)生運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異。比如當(dāng)臥式三軸轉(zhuǎn)臺的中框處于 時(shí)，內(nèi)框軸與外框軸重合，此時(shí)負(fù)載無法做俯仰運(yùn)動(dòng)，因此三軸轉(zhuǎn)臺無法應(yīng)用于大角度機(jī)動(dòng)飛行的運(yùn)動(dòng)仿真。四軸轉(zhuǎn)臺能利用冗余機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，避免運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異，從而能夠模擬大角度機(jī)動(dòng)飛行[3]，但是由于四軸轉(zhuǎn)臺同樣屬于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，尤其是外框的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量非常大，這使得對負(fù)載的驅(qū)動(dòng)能力非常有限，因此對于一些高動(dòng)態(tài)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)則很難實(shí)現(xiàn)。

與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊、剛度高、承載能力大，因此動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力好。但是與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間非常小[4-8]。本文提出一種串并聯(lián)混合型飛行運(yùn)動(dòng)模擬器，發(fā)揮串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)各自的特點(diǎn)，利用并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高動(dòng)態(tài)的六自由度運(yùn)動(dòng)，通過串聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)大范圍低動(dòng)態(tài)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)由于該飛行模擬器屬于冗余自由度機(jī)構(gòu)，因此能避免運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異。

本文針對該串并聯(lián)混合型飛行模擬器的指令分配問題，首先基于偽逆和梯度投影法給出了帶有加權(quán)的速度層最優(yōu)解。然后針對各個(gè)關(guān)節(jié)的物理約束，基于二次分配的思想設(shè)計(jì)了補(bǔ)償環(huán)節(jié)，使得當(dāng)某一個(gè)關(guān)節(jié)指令的速度或加速度超限時(shí)，可以利用其它未超限的關(guān)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)償，這也使得模擬器能夠模擬更高動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)。提出的算法能保證在獲得期望位姿指令的同時(shí)，避免運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異，同時(shí)還能充分發(fā)揮系統(tǒng)各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)能力。

1.1 相關(guān)定義

本文提出的飛行模擬器由一個(gè)臥式三軸轉(zhuǎn)臺和一個(gè)6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成，如圖1所示。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的固定平臺與三軸轉(zhuǎn)臺的內(nèi)框軸固聯(lián)。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的固定平臺與動(dòng)平臺之間通過6個(gè)可以伸縮的連桿連接，如圖2所示。動(dòng)平臺與連桿通過球鉸連接，固定平臺與連桿通過胡克鉸連接。如圖3所示，固定平臺和動(dòng)平臺的鉸鏈點(diǎn)分布位于半徑Ra和Rb的圓周上，對稱分布，每相鄰兩個(gè)鉸鏈夾角之和為120°。飛行模擬器的負(fù)載安裝在動(dòng)平臺上。由于飛行模擬器共有9個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)，可以實(shí)現(xiàn)6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，因此屬于冗余自由度機(jī)構(gòu)。

圖1 串并聯(lián)混合型飛行模擬器

Fig. 1 Serial-parallel hybrid flight simulator

圖2 6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)

Fig. 2 6-UPS parallel manipulator

圖3 6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺和固定平臺的關(guān)節(jié)分布

Fig. 3 Arrangements of the joints on the fixed platform and moving platform of 6-UPS parallel manipulator

三軸轉(zhuǎn)臺的初始位置如圖1所示，建立參考坐標(biāo)系 ，原點(diǎn)O在轉(zhuǎn)臺三個(gè)回轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)， 軸沿水平方向與滾轉(zhuǎn)軸重合， 軸沿垂直向上與偏航軸重合， 軸與俯仰軸重合，三軸相互垂直成右手坐標(biāo)系。

建立與并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺固聯(lián)的動(dòng)坐標(biāo)系 ，原點(diǎn) 在動(dòng)平臺中心， 軸是角a1Oaa6的角平分線， 軸垂直于平臺，坐標(biāo)軸相互垂直成右手坐標(biāo)系。初始位置狀態(tài)下，坐標(biāo)系 與坐標(biāo)系 重合，方向一致。

建立與并聯(lián)機(jī)構(gòu)固定平臺固聯(lián)的坐標(biāo)系 ，坐標(biāo)系原點(diǎn) 在固定平臺中心， 軸與角b1Obb6的角平分線重合， 軸垂直于固定平臺，三軸相互垂直成右手坐標(biāo)系。初始位置狀態(tài)下，坐標(biāo)系 與參考坐標(biāo)系 平行且方向一致。

建立與坐標(biāo)系 平行的坐標(biāo)系 ，原點(diǎn) 與參考坐標(biāo)系原點(diǎn)O重合。初始位置狀態(tài)下，坐標(biāo)系 與參考坐標(biāo)系 重合。

定義向量 ，表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺中心點(diǎn) 在參考坐標(biāo)系下坐標(biāo)。動(dòng)平臺在參考坐標(biāo)系下的姿態(tài)由坐標(biāo)系 相對于參考坐標(biāo)系OXYZ的歐拉角來表示，坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)順序依次為繞 、 、 ，相應(yīng)的歐拉角為 、 、 。定義動(dòng)平臺位姿向量 ，用以描述并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺在參考坐標(biāo)系下的位置和姿態(tài)。對應(yīng)的方向余弦矩陣如下：

， ， 。

定義矩陣

（1）

定義向量 ，表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺中心點(diǎn) 在坐標(biāo)系 下坐標(biāo)。動(dòng)平臺在坐標(biāo)系 下的姿態(tài)，由坐標(biāo)系 相對于坐標(biāo)系 的歐拉角來表示。坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)順序依次為繞 、 、 ，相應(yīng)旋轉(zhuǎn)的歐拉角為 、 、 。定義位姿向量 ，用以描述動(dòng)平臺在坐標(biāo)系 下的的位姿。

對應(yīng)的方向余弦矩陣如下

， ， 。

。 （2）

三軸轉(zhuǎn)臺外框、中框、內(nèi)框軸旋轉(zhuǎn)的角度分別為 、 、 ，對應(yīng)的方向余弦矩陣如下

， ， 。

。 （3）

根據(jù)前面的相關(guān)定義以及各坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，有下面表達(dá)式成立

， （4）

。 （5）

通過矩陣 可得到相應(yīng)的歐拉角為 、 、 。定義關(guān)節(jié)空間坐標(biāo) 。

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

通過矩陣 可得到相應(yīng)的歐拉角為 、 、 ，即

（6）

當(dāng) 時(shí)，

。 （7）

很顯然上面的方程（7）出現(xiàn)奇異，這個(gè)問題可以通過下面的雙歐拉法解決。

由文獻(xiàn)[9]可知，當(dāng)坐標(biāo)系 相繼繞 、 、 順序旋轉(zhuǎn)，可以得到相對應(yīng)的反歐拉角，即 、 、 。反歐拉角的奇異點(diǎn)為 （即在 和 位置），所以正、反歐拉角的奇異性呈互補(bǔ)關(guān)系。利用正、反歐拉角的這一性質(zhì)，如圖4所示，在 范圍內(nèi)劃分不同的區(qū)域，圖中陰影區(qū)域，即當(dāng) 和 時(shí)，為反歐拉角應(yīng)用區(qū)域，其它區(qū)域?yàn)檎龤W拉角應(yīng)用區(qū)域。通過以上區(qū)域的劃分，避開了正、反歐拉角的奇異點(diǎn)，從而解決了歐拉角計(jì)算的奇異問題。反歐拉角的計(jì)算表達(dá)式如下

（8）

圖4 正歐拉角與反歐拉角的區(qū)域

Fig. 4 Area distribution for the ordinary and the reversed Euler angles

目前6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解沒有解析解，只能通過數(shù)值方法求解[10]。

2 串并聯(lián)混合機(jī)構(gòu)的指令分配

2.1 指令分配問題

當(dāng)飛行模擬器關(guān)節(jié)空間的坐標(biāo) 確定時(shí)，其任務(wù)空間的坐標(biāo) 存在且唯一。由于該飛行模擬器是一個(gè)冗余機(jī)構(gòu)，因此當(dāng)給定任務(wù)空間坐標(biāo) 時(shí)，關(guān)節(jié)空間坐標(biāo) 則有無窮多組解與之對應(yīng)。

在應(yīng)用該飛行模擬器進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，對于給定的6個(gè)自由度位姿運(yùn)動(dòng)指令 ，如何將其合理地分配到轉(zhuǎn)臺和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的9個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)，同時(shí)還要考慮各個(gè)關(guān)節(jié)的物理約束（如位置、速度和加速度的限制），這屬于冗余機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解問題。

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的六個(gè)位姿與六個(gè)桿長是一一對應(yīng)的，因此為了簡化問題，這里定義向量 ，即向量 中的每個(gè)元素分別對應(yīng)了三軸轉(zhuǎn)臺的外、中、內(nèi)框的轉(zhuǎn)角和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的六個(gè)位姿。當(dāng)向量 確定時(shí)，飛行模擬器的9個(gè)關(guān)節(jié)也唯一確定。由式（4）（5），可以建立任務(wù)空間坐標(biāo) 與向量 之間的關(guān)系式，簡寫成以下形式

。 （9）

將等式兩邊分別對時(shí)間求導(dǎo)，可得

。 （10）

這里 是雅克比矩陣， 。

2.2 規(guī)避奇異

對于冗余機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解問題，為了避免接近奇異位置，通常是以其速度雅克比矩陣條件數(shù)為性能指標(biāo)，即通過使其最小來實(shí)現(xiàn)避免接近奇異位置[11-12]。但是獲得雅克比矩陣條件數(shù)的梯度函數(shù)，計(jì)算量很大。對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過合理的設(shè)計(jì)，可以保證其工作空間內(nèi)沒有奇異位置。而對于三軸轉(zhuǎn)臺，當(dāng) 時(shí)，即俯仰軸和滾轉(zhuǎn)軸重合時(shí)，三軸轉(zhuǎn)臺運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異。所以只要 不發(fā)生，機(jī)構(gòu)就能避免發(fā)生奇異。針對這一特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù) 如下

。 （11）

容易得出，當(dāng)處于奇異位置時(shí)，函數(shù) 取最大值1，而機(jī)構(gòu)距離奇異位置最遠(yuǎn)時(shí)，函數(shù) 取最小值0。所以為避免接近奇異位置，應(yīng)使函數(shù) 最小。

2.3規(guī)避極限位置

運(yùn)動(dòng)模擬器每個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)范圍為

， 。 （12）

為了便于處理，這里把各個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)范圍的中心視為一個(gè)引力場的源，從而構(gòu)造勢函數(shù) ，其具體形式如下

。 （13）

這里 為各自由度運(yùn)動(dòng)范圍的中間值， 。可以看出，函數(shù) 的值越大，則距離極限位置越近，為了使各自由度避免接近極限位置，所以應(yīng)對各自由度運(yùn)動(dòng)范圍進(jìn)行優(yōu)化，也就是使函數(shù) 最小。

2.4基于偽逆的優(yōu)化求解

如果能同時(shí)減小飛行模擬器各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度，則驅(qū)動(dòng)電機(jī)的瞬時(shí)功率必然降低，或者可以理解為同樣功率的驅(qū)動(dòng)電機(jī)，可以實(shí)現(xiàn)更高動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)。綜合以上的分析，將系統(tǒng)指令分配問題歸結(jié)為一個(gè)優(yōu)化問題，其指標(biāo)函數(shù)如下

。 （14）

是加權(quán)因子，用于調(diào)節(jié)對速度和加速度加權(quán)的比重。矩陣 和 是對角速度和角加速度的加權(quán)陣，其中 ， ，由于每個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)能力不相同，所以引入矩陣 和 可以充分發(fā)揮系統(tǒng)各個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)能力。

將 代入（14）式中，經(jīng)整理后可得

。 （15）

這里 ， ， 為微小的時(shí)間變化量，實(shí)際計(jì)算時(shí)可用系統(tǒng)的采樣周期代替。

對于優(yōu)化問題（15），利用偽逆可以得到其最優(yōu)解[13]，如下式所示

。 （16）

這里 ， ， 是矩陣 帶有加權(quán)的偽逆?？紤]到要規(guī)避奇異和極限位置，可得到如下優(yōu)化結(jié)果

。 （17）

這里 是標(biāo)量系數(shù)， ， 。式（17）右邊的 是方程（10）的特解， 為齊次解。從物理意義上來說，特解確定了工作空間的位姿運(yùn)動(dòng)，齊次解確定了零空間的關(guān)節(jié)自運(yùn)動(dòng)。q的軌跡是沿著 梯度下降的方向，因此可以規(guī)避奇異和極限位置[14-15]。

定義 ，可將式（17）簡寫成如下形式

。 （18）

2.5速度和加速度的補(bǔ)償

飛行模擬器每個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)能力都有限，這包括關(guān)節(jié)的速度和加速度，用不等式表示如下

， （19）

。 （20）

這里 、 分別表示各關(guān)節(jié)速度正向和負(fù)向的最大值， 和 分別表示加速度正向和負(fù)向的最大值。式（20）可以改寫為如下形式

。 （21）

進(jìn)一步可以得到如下不等式

。 （22）

定義 和

， （23）

。 （24）

定義 和

， （25）

。 （26）

定義各關(guān)節(jié)速度的超限量 如下

（27）

帶有補(bǔ)償環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解表達(dá)式如下所示

。 （28）

其中 ，這里行向量 表示矩陣 的第i行，補(bǔ)償環(huán)節(jié)只改變零空間的軌跡，不會(huì)改變工作空間軌跡。

定義 的矩陣 ，這里k表示發(fā)生速度或者加速度超限的關(guān)節(jié)數(shù)量。矩陣 的每一行與超限的關(guān)節(jié)相對應(yīng)，并且在矩陣的每一行中，除了與相應(yīng)關(guān)節(jié)對應(yīng)的元素為1外，其它的元素均為0。例如，當(dāng)飛行模擬器中三軸轉(zhuǎn)臺的偏航軸、滾轉(zhuǎn)軸超限，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的俯仰軸超限時(shí)，矩陣 如下所示

。 （29）

如前所述，補(bǔ)償量 必須要能夠抵消掉 ，因此有下式成立

。 （30）

矩陣 與向量 相乘的結(jié)果即為向量 中超限的那一部分。同樣，矩陣 是矩陣 的子矩陣，矩陣 的每一行都與超限的關(guān)節(jié)相對應(yīng)。因此可以求得 的最小二范數(shù)解如下

。 （31）

這里 。由于矩陣 是行滿秩，因此矩陣 是可逆的。

3 仿真分析

飛行模擬器的6-UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

速度極限 加速度極限

如圖5所示，給定模擬器工作空間期望的六個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)指令。根據(jù)本文給出的指令分配方法進(jìn)行計(jì)算，其中參數(shù)的選取如下：

， ， ， ， 。

圖6和圖7分別給出了沒有補(bǔ)償環(huán)節(jié)情況下（即 ）各關(guān)節(jié)指令的速度和加速度?？梢钥闯?超出了其極限值，如果以這個(gè)結(jié)果作為關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的指令，則在工作空間會(huì)導(dǎo)致很大的誤差。圖8-圖12給出了帶有補(bǔ)償環(huán)節(jié)情況下的指令分配結(jié)果（即 ）。其中圖8和圖9給出了各關(guān)節(jié)指令的速度和加速度。由于使用了補(bǔ)償環(huán)節(jié)，各個(gè)關(guān)節(jié)的速度和加速度都沒有超出其極限值，同時(shí)由于引入了加權(quán)陣 和 ，使得轉(zhuǎn)臺三個(gè)軸的速度和加速度降低。圖10為并聯(lián)機(jī)構(gòu)各連桿的桿長，圖11是模擬器各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)指令，圖12是該指令分配算法在工作空間的誤差。通過仿真驗(yàn)證可以看出，本文提出的指令分配方法是有效的。

4 結(jié) 論

為了能實(shí)現(xiàn)高動(dòng)態(tài)、大角度機(jī)動(dòng)飛行的運(yùn)動(dòng)仿真，本文提出了一種串并聯(lián)混合型的飛行運(yùn)動(dòng)模擬器，并且針對該模擬器的指令分配問題，基于二次分配思想給出了帶有速度和加速度補(bǔ)償環(huán)節(jié)的指令分配方法。本文給出的指令分配方法，能夠在某一個(gè)關(guān)節(jié)指令的速度或加速度超限時(shí)，利用其它未超限的關(guān)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)償，這也使得模擬器能夠模擬更高動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)，保證在獲得期望位姿指令的同時(shí)，避免運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異，同時(shí)還能充分發(fā)揮系統(tǒng)各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)能力。本文提出的指令分配方法也可以應(yīng)用到其它種類冗余機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Larry Moody. The history and future of flight control simulation[C]// Proceedings of AIAA Modeling and Simulation Technologies Conference and Exhibit， Providence， 2004： 5149-5159.

[2] Dickes Edward， John Ralston. Application of large-Angle data for flight simulation[C]// Proceedings of AIAA Modeling and Simulation Technologies Conference and Exhibit. Denver， 2000： 4584-4598.

[3] WANG Xiaochen， ZHAO Hui， MA Kemao， et al. Kinematics analysis of a novel all-attitude flight simulator[J]. Science in China Series F： Information Sciences， 2009，52（9）： 110-122.

[4] Staicu Stefan. Dynamics of the 6-6 Stewart parallel manipulator[J]. Robotics and Computer Integrated Manufacturing， 2011， 27（1）： 212- 220.

[5] WU Jun， LI Tiemin M， WANG Jinsong， et al. Stiffness and natural frequency of a 3-DOF parallel manipulator with consideration of additional leg candidates [J]. Robotics and Autonomous Systems， 2013， 61（8）： 868-875.

[6] 高巖， 劉彥武， 尤波. 新型串并聯(lián)機(jī)器人機(jī)械避障研究 [J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2001， 6（1）： 71-76.

GAO Yan， LIU Yanwu YOU Bo. A Study on Avoiding Obstacle for a New Type of Series-Parallel Mechanism [J]， Journal Of Harbin University Of Science And Technology， 2001， 6（1）： 71-76.

[7] 張錫清. 水輪機(jī)葉片表面修補(bǔ)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)求解及仿真[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2000， 5（4）： 29-32.

ZHANG Xiqing. Simulation of Hydro Turbine-Blade Repair Robot [J]， Journal Of Harbin University Of Science And Technology， 2000， 5（4）： 29-32.

[8] 王沫楠， 朱立偉， 張永軍. 一種新型便攜式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2000， 5（3）： 51-54.

WANG Monan， ZHU Liwei， ZHANG Yongjun. Stupid of Kinematics of a New Kind of Portable Robot [J]. Journal Of Harbin University Of Science And Technology， 2000， 5（3）： 51-54.

[9] HUANG Xueqiao. A dual-euler method for solving all-attitude angles of the aircraft？// Proceedings of AIAA Flight Simulation Technologies Conference， Monterey， 1993： 257-262

[10] Sciavicco Lorenzo， Siciliano Bruno. Modeling and control of robot manipulators[M]， Springer， London UK， 2000：134-151.

[11] Shibata Tsuyoshi， Murakami Toshiyuki. Null space motion control by PID control considering passivity in redundant manipulator[J]. IEEE Transactions on Industrial Informatics， 2008， 4（4）： 261-270.

[12] Shimizu Masayuki， Kakuya Hiromu， Yoon WooKeun. Analytical inverse kinematic computation for 7-DOF redundant manipulators with joint limits and its application to redundancy resolution[J]. IEEE Transactions on Robotics， 2008， 24（5）： 1131-1142.

[13] Fletcher R. Practical Methods of Optimization： 2th ed. John Wiley & Sons， Ltd， 1981，229-258

[14] Danko Todd W， Oh Paul Y. Design and control of a hyper redundant manipulator for mobile manipulating unmanned aerial vehicles [J]. Journal of Intelligent & Robotic Systems， 2014， 73（4）： 709-723.

[15] Patel Rajni V， Shadpey F. Control of redundant robot manipulators： theory and experiments [M]， Springer， Berlin， 2005：61-72