矩形截面簡(jiǎn)支梁側(cè)向屈曲特性研究

張應(yīng)遷，吳佳曄，付 磊(.四川理工學(xué)院 土木工程學(xué)院，四川 自貢 643000； .四川理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，四川 自貢 643000)

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矩形截面簡(jiǎn)支梁側(cè)向屈曲特性研究

張應(yīng)遷1，吳佳曄1，付 磊2
(1.四川理工學(xué)院 土木工程學(xué)院，四川 自貢 643000； 2.四川理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，四川 自貢 643000)

針對(duì)矩形截面簡(jiǎn)支梁(包括線性錐形梁)的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲問(wèn)題，利用平衡法和貝塞爾函數(shù)得到不同載荷情況下臨界載荷的精確解。通過(guò)數(shù)值驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)：BEAM189單元分析結(jié)果與理論解吻合，不管是等截面還是線性錐形梁，最大誤差不超過(guò)1.74%。因此可以在實(shí)際設(shè)計(jì)中采用BEAM189單元確定復(fù)雜工況的臨界載荷。

矩形截面；簡(jiǎn)支梁；側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲；貝塞爾函數(shù)

0 引 言

橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是關(guān)系其安全的主要問(wèn)題之一，與強(qiáng)度、剛度有著同等重要的意義?，F(xiàn)代橋梁跨度越來(lái)越大，如杭瑞高速北盤江大橋全長(zhǎng)1 341.4 m，以720 m的主跨成為世界上主跨最長(zhǎng)的連續(xù)鋼桁梁斜拉橋。大跨度橋梁采用高強(qiáng)度材料和薄壁結(jié)構(gòu)，因此穩(wěn)定問(wèn)題更為重要。

橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)可分為下列幾類：部分結(jié)構(gòu)或整個(gè)結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)，例如橋門架或整個(gè)拱橋的失穩(wěn)；構(gòu)件的局部失穩(wěn)，例如組成壓桿的板和板梁腹板的翹曲等，局部失穩(wěn)常導(dǎo)致整個(gè)體系的失穩(wěn)[1]；個(gè)別構(gòu)件的失穩(wěn)，例如壓桿的失穩(wěn)和梁的側(cè)傾。因此，對(duì)梁截面最常見(jiàn)也是最簡(jiǎn)單的形式——矩形截面的側(cè)向穩(wěn)定性的研究就顯得非常迫切和重要。梁的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲(Lateral Torsional Bucking，記為L(zhǎng)TB)簡(jiǎn)稱為側(cè)向屈曲、側(cè)傾[2]。使梁發(fā)生臨界狀態(tài)的最小載荷稱為梁的臨界載荷。

關(guān)于梁的側(cè)向屈曲，Prandtl最早在1899進(jìn)行過(guò)深矩形梁的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲研究，A.G.M.Michell于同一年進(jìn)行類似的研究；1963年S.Timoshenko在他們二人的基礎(chǔ)上研究了不同載荷形式以及不同的約束類型，大大豐富了梁的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲分析，拓展了側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲分析的領(lǐng)域；2005年C.M.Wang等人詳細(xì)地研究了梁的屈曲問(wèn)題，使得結(jié)構(gòu)的屈曲研究又向前邁出了一大步。本文結(jié)合平衡法、貝塞爾函數(shù)以及有限單元法，針對(duì)矩形截面梁常見(jiàn)的載荷形式，包括末端彎矩、跨中集中載荷等進(jìn)行分類歸納，采用平衡法得出不同載荷情況下側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲的解析解；另外對(duì)線性錐形梁也進(jìn)行研究，得到在末端彎矩作用下的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲的解析解；最后通過(guò)有限單元法與理論解的對(duì)比，印證有限單元法數(shù)值解的準(zhǔn)確性，為采用數(shù)值法研究復(fù)雜截面、復(fù)雜工況下梁的屈曲問(wèn)題提供依據(jù)，為橋梁的安全施工以及安全使用提供保障。

1 平衡法確定矩形截面梁側(cè)向臨界載荷

對(duì)矩形截面梁作一些假設(shè)：梁的高寬比(h/b)

不小于1；處于靜止?fàn)顟B(tài)；在側(cè)向失穩(wěn)前處于彈性階段；軸線為理想直線；平面內(nèi)的變形可以忽略不計(jì)。圖1為矩形截面梁側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲示意圖。由于梁的側(cè)向扭轉(zhuǎn)角φ很小，因此有 sinφ≈φ，cosφ≈1。矩形截面受扭矩作用，抗扭剛度GJ=Gβhb3，其中G為剪切彈性模量，h為矩形截面梁的高度，b為矩形截面梁的厚度，系數(shù)β是關(guān)于h/b的函數(shù)，是無(wú)量綱的量，β與h/b的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。從表1可以看出，只有當(dāng)h/b>10時(shí)，系數(shù)β≈1/3，而很多文獻(xiàn)中的β直接取1/3，勢(shì)必導(dǎo)致計(jì)算的理論值偏大，這點(diǎn)需要特別注意。

圖1 矩形截面梁側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲

表1 β與h/b的對(duì)應(yīng)關(guān)系

為了研究簡(jiǎn)支梁在受載時(shí)的側(cè)向屈曲特性，選取具有代表性的簡(jiǎn)支梁受末端彎矩、線性錐形梁受末端彎矩、簡(jiǎn)支梁受跨中集中載荷3種情況進(jìn)行研究。主要研究思路為：利用平衡法列出微分方程，然后結(jié)合邊界條件對(duì)微分方程求解，從而達(dá)到研究矩形截面簡(jiǎn)支梁側(cè)向屈曲特性的目的[3-6]。

1.1 簡(jiǎn)支梁受末端彎矩

簡(jiǎn)支梁受末端彎矩的示意圖如圖2所示。Chen和Lui于1987年通過(guò)平衡法提出的微分方程為

式中：抗彎剛度EI=Ehb3/12；抗扭剛度GJ=Gβhb3；E為彈性模量；u為截面?zhèn)认驌隙龋沪諡閭?cè)向扭轉(zhuǎn)角；Mx為x方向所受的彎矩，Mz為z方向所受的扭矩[7]。

從圖2可以看出：彎矩Mx=0，扭矩Mz=0，因此式(1)、(2)又可以簡(jiǎn)化成式(3)、(4)。式(3)、(4)通過(guò)消去變量u，得到式(5)。

式(5)的通解為

圖2 簡(jiǎn)支梁受末端彎矩

1.2 線性錐形梁受末端彎矩

線性錐形梁受末端彎矩的示意圖如圖3所示。該梁和等截面梁的主要區(qū)別在于高度h是變化的，式(6)描述了高度h隨坐標(biāo)z的變化規(guī)律。

(6)

圖3 線性錐形梁受末端彎矩

線性錐形梁的截面抗彎剛度和抗扭剛度不再是一個(gè)常數(shù)，均為坐標(biāo)z的函數(shù)，EI=EI0η，GJ=GJ0η，其中I0=h0b3/12，J0=βh0b3,η=1+zδ/L。采用和等截面梁類似的研究方法，通過(guò)消去變量u，得到式(7)，其中k2=M2L2/EI0GJ0δ2。

(7)

式(7)的通解為

根據(jù)隨州市高職院校招生計(jì)劃公布的數(shù)據(jù)顯示，在2016年隨州市招生總?cè)藬?shù)中只有1.98%學(xué)生學(xué)習(xí)服務(wù)第一產(chǎn)業(yè)的專業(yè)。而招生總?cè)藬?shù)中的13.5%學(xué)生學(xué)習(xí)服務(wù)第二產(chǎn)業(yè)的專業(yè)，其中建筑工程技術(shù)、模具設(shè)計(jì)與制造、機(jī)電一體化技術(shù)等專業(yè)的招生人數(shù)較多。招生總?cè)藬?shù)中84.52%的學(xué)生學(xué)習(xí)服務(wù)第三產(chǎn)業(yè)的專業(yè)，其中應(yīng)用英語(yǔ)、會(huì)計(jì)、護(hù)理等專業(yè)的學(xué)生人數(shù)較多，國(guó)際商務(wù)和國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易這兩個(gè)專業(yè)的學(xué)生數(shù)量也不少。2016年計(jì)算機(jī)、軟件技術(shù)等專業(yè)的招生人數(shù)相較于2015年有所增加。

φ=Asin(klnη)+Bcos(klnη)

1.3 簡(jiǎn)支梁受跨中集中載荷

簡(jiǎn)支梁受跨中集中載荷的示意圖如圖4所示。Timoshenko和Gere于1961年提出簡(jiǎn)支梁受跨中集中載荷P在x、z兩個(gè)方向的扭矩分別為Mx=Pz/2，Mz=P(u*-u)/2，其中u*為中間截面的側(cè)向撓度。

圖4 簡(jiǎn)支梁受跨中集中載荷

將Mx和Mz的表達(dá)式代入式(1)、(2)，消去變量u，并注意du*/dz=0，最終得到

(8)

+ζ2η2φ=0

(9)

式(9)的通解為

式中：J1/4和J-1/4分別為貝塞爾第一類1/4階和第一類-1/4階函數(shù)。

2 有限單元法

有限單元法是在當(dāng)今工程分析中獲得最廣泛應(yīng)用的數(shù)值計(jì)算方法，已成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)和計(jì)算機(jī)輔助制造(CAM)的重要組成部分。其基本思想可歸納為：將表示結(jié)構(gòu)或連續(xù)體的求解區(qū)域離散為若干個(gè)單元，并通過(guò)它們邊界上的結(jié)點(diǎn)相互聯(lián)結(jié)成為組合體，一般簡(jiǎn)稱為結(jié)構(gòu)離散或單元網(wǎng)格劃分；用每個(gè)單元內(nèi)所假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片表示全求解域內(nèi)待求的未知場(chǎng)變量；通過(guò)和原問(wèn)題數(shù)學(xué)模型(基本方程、邊界條件)等效的變分原理或加權(quán)余量法，建立求解未知量(場(chǎng)函數(shù)的結(jié)點(diǎn)值)的代數(shù)方程組或常微分方程組[7-8]。

3 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證無(wú)鉸圓拱在徑向載荷下的屈曲問(wèn)題，分別采用ANSYS中常用的3種單元(即BEAM188、SHELL181、SHELL63)進(jìn)行研究。BEAM189、SHELL181以及SHELL63單元均有6個(gè)自由度，包括3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。其中BEAM189單元可以自定義各種類型的截面，包括常見(jiàn)的矩形、圓形、工字型、槽鋼、角鋼等工程上常用的梁截面[9-12]。

為了驗(yàn)證ANSYS的3種單元對(duì)矩形截面梁側(cè)向屈曲模擬的準(zhǔn)確度，選用工程中常用的矩形截面(h/b=6)，材料為Q235鋼，彈性模量E=2×1011Pa，梁長(zhǎng)度l=1 m。3種單元計(jì)算值與理論值的對(duì)比結(jié)果如表2所示。從表2可以看出，BEAM189更適合用于屈曲載荷模擬，因此數(shù)值模擬采用BEAM189來(lái)進(jìn)行。

表2 不同單元數(shù)值結(jié)果與理論解的比較

表3比較了不同高寬比下簡(jiǎn)支梁受末端彎矩側(cè)向屈曲的理論解與數(shù)值解；表4比較了不同δ值下線性錐形梁受末端彎矩側(cè)向屈曲的理論解與數(shù)值解；表5比較了不同高寬比下簡(jiǎn)支梁受跨中集中載荷側(cè)向屈曲的理論解與數(shù)值解。

表3 不同高寬比下簡(jiǎn)支梁臨界彎矩

表4 不同δ值下線性錐形梁臨界彎矩

表5 不同高寬比下簡(jiǎn)支梁臨界載荷

圖5為受末端彎矩的簡(jiǎn)支梁臨界載荷隨高寬比的變化情況；圖6為受末端彎矩的線性錐形梁臨界載荷隨高寬比的變化情況；圖7為受跨中集中載荷的簡(jiǎn)支梁臨界載荷隨高寬比的變化情況；圖8為等截面簡(jiǎn)支梁側(cè)向屈曲；圖9為線性錐形簡(jiǎn)支梁側(cè)向屈曲。

4 結(jié) 語(yǔ)

采用平衡法，利用Timoshenko、Gere、Chen以及Lui等人提出的微分方程，結(jié)合簡(jiǎn)支梁邊界條件，運(yùn)用貝塞爾函數(shù)等，解決了簡(jiǎn)支梁在常見(jiàn)載荷作用下的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲臨界問(wèn)題。通過(guò)對(duì)微分方程的求解，得到了簡(jiǎn)支梁在常見(jiàn)載荷作用下側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲的理論解，為研究、設(shè)計(jì)鋼梁結(jié)構(gòu)提供了理論參考。在計(jì)算矩形截面抗扭剛度時(shí)考慮高寬比的影響，沒(méi)有采用常用的系數(shù)β=1/3(該系數(shù)只適合高寬比不小于10的情形)，使得矩形截面梁側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲臨界載荷計(jì)算更精確。

從表3～5可以看出，只要是等截面梁，不管是受末端彎矩還是跨中集中載荷，數(shù)值解與理論解的誤差均不超過(guò)0.26%，而線性錐形梁的最大誤差為1.74%，都滿足工程誤差不超過(guò)5%的要求。這說(shuō)明采用BEAM189作為數(shù)值模擬的單元是合適的，也說(shuō)明采用數(shù)值模擬能夠有效解決矩形截面簡(jiǎn)支梁的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲問(wèn)題。從圖5～7可以看出：對(duì)于簡(jiǎn)支梁及線性錐形梁，無(wú)論是末端彎矩還是跨中集中載荷，理論解與數(shù)值解的變化趨勢(shì)是一致的；特別是等截面梁，理論解與數(shù)值解幾乎完全重合。這也說(shuō)明了數(shù)值模擬完全可以用到結(jié)構(gòu)的屈曲分析中。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中遇到復(fù)雜截面、復(fù)雜載荷工況，理論解的尋找比較困難時(shí)，可以考慮采用數(shù)值模擬確定屈曲臨界載荷。

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[責(zé)任編輯:杜敏浩]

Study on Lateral Buckling Behavior of Simply Supported Beam with Rectangular Cross-section

ZHANG Ying-qian1, WU Jia-ye1, FU Lei2
(1. School of Civil Engineering, Sichuan University of Science and Engineering, Zigong 643000, Sichuan, China； 2. School of Mechanical Engineering, Sichuan University of Science and Engineering, Zigong 643000, Sichuan, China)

Aiming at the problem of lateral torsional buckling of simply supported beam (including linear conical beam), the exact solution of critical load under different loads was obtained by using the equilibrium method and Bessel function. The numerical verification shows that the BEAM189 element analysis results are consistent with the theoretical solution, and the maximum error is not more than 1.74%, whether it is beam with uniform cross-section or linear conical beam. Therefore, the BEAM189 element can be used in the design process to determine the critical load of complex conditions.

rectangular cross-section; simply supported beam; lateral torsional buckling; Bessel fuaction

1000-033X(2017)06-0053-05

2016-11-30

牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目(2012TPL_T03)；過(guò)程裝備與控制工程四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目(GK201501)

張應(yīng)遷(1979-)，男，四川彭州人，副教授，工學(xué)碩士，研究方向?yàn)橛?jì)算力學(xué)、CAE。

U411.2

B