高中數(shù)學(xué)求離心率e值的解法初探

王曉云

高中常見(jiàn)的離心率問(wèn)題無(wú)非三種。題型一：求離心率的值；題型二：求離心率的取值范圍；題型三：與離心率有關(guān)的其他問(wèn)題。本文僅處理第一類(lèi)問(wèn)題，下面就通過(guò)一些具體題目總結(jié)常見(jiàn)的解法。

一、定義法

根據(jù)新課標(biāo)課本對(duì)于離心率的定義e=■，單解c，單解a，求出e值。

例.1l：x-2y+2=0直線(xiàn)過(guò)橢圓■+■=1（a>b>c）的左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，則該橢圓的離心率為 。

解：由直線(xiàn)的截距可得c=2，b=1，則a=■，即e=■。

反思：在標(biāo)準(zhǔn)方程的背景下，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)及兩個(gè)焦點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，由此與直線(xiàn)的截距具有了對(duì)應(yīng)關(guān)系，解題時(shí)注意其聯(lián)系。

二、齊次式法

根據(jù)題設(shè)條件，建立基本量a、b、c之間的關(guān)系式，利用a2=b2+c2（橢圓）c2=a2+b2或（雙曲線(xiàn)）轉(zhuǎn)化構(gòu)造a、c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解出離心率e。

例2：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2過(guò)F3作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 。

解：在等腰直角三角形中，PF2=F1F2即2c=■，

∴c2+2ac-a2=0即e2+2e-1=0

故所求e=■-1。

例3：設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓■+■=1（a>b>c）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為直線(xiàn)x=■上的一點(diǎn)，若△F1PF2是底角為30°的等腰三角形，則橢圓的離心率是 。

解：設(shè)直線(xiàn)x=■與x軸的交點(diǎn)為M，在Rt△PF2M中，PF2=2C，F(xiàn)2M=■-c，由cos60°=■=■解得e=■。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線(xiàn)的離心率的值，若在直角三角形中，常常利用兩邊一角建立三角函數(shù)關(guān)系式求解。

例4：已知B1，B2為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若四邊形B1F1B2F2為正方形，則橢圓的離心率為 。

解：如圖，在Rt△B2OF2中得b=c=■a解得e=■。

例5：已知F1、F2是雙曲線(xiàn)■+■=1（a>0，b>c）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)A、B，連接AF1和BF1，若△ABF1為正三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為 。

解：在Rt△AF1F2中，tan30°=■=■=■

即■c2-2ac-■a2=0。

解得e=■。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線(xiàn)的離心率的值，若三角形具有對(duì)稱(chēng)性常常割其半，在直角三角形中求解。

例6：已知F1、F2是雙曲線(xiàn)■+■=1（a>0，b>c）的兩焦點(diǎn)，以線(xiàn)段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的離心率為 。

解：如圖，設(shè)MF1的中點(diǎn)為P，連接PF2

在Rt△PF1F2中，F(xiàn)1F2=2c，∠PF1F2=60°

則PF1=c，PF2=■c由雙曲線(xiàn)的定義知■c-c=2a

解得e=■=1+■。

反思：以三角形為依托求圓錐曲線(xiàn)的離心率的值，若三角形是焦點(diǎn)三角形，常常利用定義建立基本量a、b、c之間的關(guān)系式。

例7：已知拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，恰好是橢圓■+■=1（a>b>c）的右焦點(diǎn)F，且兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)連線(xiàn)也過(guò)焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為 。

解：依題意得■=c，P=■即b2=2ac=a2-c2

故所求e=■-1。

反思：兩種曲線(xiàn)同現(xiàn)求離心率e，要注意利用公有量建立方程組，消元得到基本量a、b、c之間的關(guān)系式。

在求解圓錐曲線(xiàn)離心率的值時(shí)，建立a、c之間的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵。一定要認(rèn)真分析題設(shè)條件，合理選擇解題方法，把握好圓錐曲線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見(jiàn)結(jié)論，在做題時(shí)不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題。同時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化化歸等思想在其中的應(yīng)用。■

（作者單位：甘肅金昌市金川集團(tuán)有限公司第二高級(jí)中學(xué)）