考慮執(zhí)行器安裝偏差的航天器姿態(tài)跟蹤控制

李冬柏，解延浩，吳寶林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150080)

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考慮執(zhí)行器安裝偏差的航天器姿態(tài)跟蹤控制

李冬柏，解延浩，吳寶林

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150080)

針對(duì)存在執(zhí)行器安裝偏差和外干擾力矩的航天器姿態(tài)跟蹤問(wèn)題，提出了一種基于滑?？刂频聂敯艨刂坡?。控制律考慮了因執(zhí)行器安裝偏差導(dǎo)致的控制力矩偏差，且抑制了其對(duì)姿態(tài)控制精度的影響。在控制律設(shè)計(jì)時(shí)，除了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性外，還進(jìn)一步給出了明確的與控制參數(shù)相關(guān)的姿態(tài)跟蹤誤差上界。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明了此控制方案的有效性。

飛行器；姿態(tài)跟蹤；執(zhí)行器安裝偏差；魯棒控制

0 引 言

在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中，由于制造公差或結(jié)構(gòu)變形，不可避免的會(huì)存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差。在姿態(tài)穩(wěn)定問(wèn)題中，較小的執(zhí)行器安裝偏差對(duì)控制性能的影響并不顯著。然而，對(duì)于姿態(tài)跟蹤，特別是快速跟蹤問(wèn)題，執(zhí)行器安裝偏差將會(huì)引起明顯的姿態(tài)角和姿態(tài)角速度跟蹤誤差。而事實(shí)上在某些特殊情況下，例如快速響應(yīng)航天器研發(fā)中，由于時(shí)間的關(guān)系，執(zhí)行器安裝甚至可能沒(méi)有經(jīng)過(guò)充分校準(zhǔn)便投入使用。因此，在高精度姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析中，必須考慮執(zhí)行器的安裝誤差問(wèn)題。

在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，在航天器的姿態(tài)控制方法的研究方面已取得了豐富的成果，如自適應(yīng)控制[1-4]，最優(yōu)控制[5-6]，滑?？刂芠6-10]，和迭代學(xué)習(xí)控制[11]等等，但涉及執(zhí)行器偏差問(wèn)題的研究并不多。文獻(xiàn)[12]提出，可用自適應(yīng)控制法來(lái)解決可變速控制力矩陀螺的安裝偏差問(wèn)題。但是，此方法中要估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù)為12n+3個(gè)，其中n為飛輪的數(shù)量。較多的自適應(yīng)參數(shù)將使控制律的實(shí)現(xiàn)過(guò)于復(fù)雜。此外，由于持續(xù)激勵(lì)不足，估計(jì)參數(shù)難以收斂至實(shí)際值。而在文獻(xiàn)[13]中，針對(duì)存在執(zhí)行器偏差的姿態(tài)穩(wěn)定問(wèn)題，作者提出了另一種自適應(yīng)控制律。但文中只推導(dǎo)出了考慮執(zhí)行器安裝偏差下的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性。在存在執(zhí)行器安裝偏差時(shí)，并不能保證最終有界穩(wěn)定。

本文研究了考慮執(zhí)行器安裝偏差的航天器姿態(tài)跟蹤控制問(wèn)題。執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差會(huì)導(dǎo)致姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型不確定，而這一模型不確定性又與控制力矩相關(guān)，這將給姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來(lái)很大困難。因此本文提出了一種魯棒控制律來(lái)解決此問(wèn)題?？梢宰C明，通過(guò)選擇合適的設(shè)計(jì)參數(shù)，能保證系統(tǒng)最終有界穩(wěn)定。它也確保了最終的姿態(tài)跟蹤誤差與設(shè)計(jì)參數(shù)成比例，從而可調(diào)。最后，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的控制方案的有效性。

1 航天器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

剛性航天器姿態(tài)跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)模型如下：

(1)

(2)

(3)

式中：ωd∈3表示航天器本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的目標(biāo)角速度；ω∈3表示航天器本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性系的角速度；δω=ω-R(δq)ωd表示角速度誤差；R(δq)為從航天器參考坐標(biāo)系到本體系的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣；表示誤差四元數(shù)；δqv∈3和δq0∈表示誤差四元數(shù)的矢量和標(biāo)量部分；z∈3表示干擾力矩；I3表示三階單位矩陣；J∈3×3表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣。記號(hào)a×表示向量構(gòu)成的一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣：

u=[u1,u2,…,un]T∈n,n≥3

式中：ui,i=1,2,…,n表示第i個(gè)執(zhí)行器提供的控制力矩；D=[d1,d2,…,dn]∈3×n為執(zhí)行器的分配矩陣，其中di∈3,i=1,2,…,n表示在本體坐標(biāo)系下，第i個(gè)執(zhí)行器的方向單位向量。di可以寫(xiě)成di=dn,i+Δdi，在這里dn,i和Δdi表示方向單位矢量的標(biāo)稱(chēng)部分和不確定部分。不確定部分Δdi即來(lái)自于執(zhí)行器的安裝誤差。因此，分配矩陣D可以表示為

D=Dn+ΔD

(4)

式中：Dn和ΔD分別表示執(zhí)行器分配矩陣的標(biāo)稱(chēng)部分和不確定部分。其中，標(biāo)稱(chēng)值：Dn=[dn,1,dn,2,…,dn,n]，由安裝偏差導(dǎo)致的不確定部分：ΔD=[Δd1,Δd2,…,Δdn]。

關(guān)于外部擾動(dòng)的假設(shè)如下：

2 問(wèn)題描述

使用如下的偽逆法分配控制力矩：

(5)

式中：τ∈3表示本體坐標(biāo)系下的控制力矩。

將式(5)代入式(1)得到

(6)

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒控制律τ，并在存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差和外干擾力矩的前提下，確保姿態(tài)角和姿態(tài)角速度跟蹤誤差收斂到一個(gè)包含原點(diǎn)的小區(qū)間內(nèi)。從式(2)、式(3)和式(5)可以看出，航天器姿態(tài)跟蹤問(wèn)題可以等價(jià)的視作一個(gè)對(duì)于δω和δq的漸近穩(wěn)定問(wèn)題。一個(gè)存在執(zhí)行器安裝偏差的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)示意圖如圖1所示：

圖1 考慮執(zhí)行器安裝偏差的姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the attitude tracking control system with actuator misalignments

3 魯棒控制律

本節(jié)針對(duì)式(2)、式(3)和式(6)描述的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，提出了一個(gè)魯棒反饋控制律。為設(shè)計(jì)控制方法，定義如下滑模矢量：

s=δω+βδqv

(7)

式中：δqv表示誤差四元數(shù)的矢量部分，用來(lái)描述航天器姿態(tài)跟蹤誤差；而δω表示角速度跟蹤誤差，β是一個(gè)正的常數(shù)。

文獻(xiàn)[14]證明，在滑動(dòng)面s=0上，隨著t→∞，姿態(tài)角誤差和角速度誤差趨于零，即：

(8)

由式(2)、式(3)和式(7)可得：

(9)

定義：

L(·)= -ω×Jω+J(δω×R(δq)ωd(t)-

(10)

魯棒控制律設(shè)計(jì)如下：

τ=-L(·)-kssφ-kSAT(s,φ)

(11)

式中：L(·)由式(10)定義；ks和k為由設(shè)計(jì)者設(shè)定的正常數(shù)。式(11)中，SAT(s,φ)的定義為：

SAT(s,φ)

(12)

式中：s1,s2,s3是向量s的元素,飽和函數(shù)定義如下：

(13)

式(11)中的sφ定義如下：

sφ=[sφ,1,sφ,2,sφ,3]T

(14)

式中：

sφ,i=si-φsat(si,φ),i=1,2,3

(15)

式中：sφ,i用于衡量當(dāng)前狀態(tài)量到邊界層的代數(shù)距離[15]。

注3．根據(jù)文獻(xiàn)[16]方法，式(11)中的反饋增益ks和式(7)中滑模矢量的參數(shù)β取值由下式確定：

(16)

(17)

式中：ts表示由系統(tǒng)任務(wù)確定的響應(yīng)時(shí)間，仿真中取ts=60s。

對(duì)于姿態(tài)跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)可以得到以下定理：

定理1. 對(duì)于存在執(zhí)行器安裝偏差的姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)(1)～(3)，采用控制律(5)和(11)。如果假設(shè)1和2成立，且控制增益k滿(mǎn)足：

(18)

則式(14)中定義的變量sφ將逐漸收斂到零。

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)

(19)

(20)

把式(11)中的控制律代入式(20)可得：

(21)

由sat(s,φ)和sφ的定義，得到：

(22)

因此，由式(22)可得：

(23)

結(jié)合式(21)和式(23)可得：

(24)

考慮到假設(shè)1和2，式(24)可寫(xiě)為：

(25)

將控制輸入(11)代入式(25)中：

(26)

式(26)可整理得到：

(27)

如果條件(18)成立，則上述方程可簡(jiǎn)化為：

(28)

由定理1和注5可見(jiàn)，滑模矢量s將收斂到一個(gè)包含原點(diǎn)的小區(qū)間內(nèi)。因此，δω和δqv都將收斂到一個(gè)小區(qū)間內(nèi)，這一點(diǎn)可由以下定理得出：

(29)

上面的方程可以改寫(xiě)為如下形式

(30)

由式(30)，當(dāng)

(31)

因此，由式(30)和式(31)可知，姿態(tài)誤差將收斂到區(qū)間：

(32)

由式(29)，有：

(33)

注意到：

(34)

結(jié)合式(32)～(34)，得到角速度誤差的范圍：

(35)

4 仿真校驗(yàn)

本節(jié)以仿真算例驗(yàn)證所提出控制方案的有效性。航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣假設(shè)如下：

為了體現(xiàn)執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝偏差對(duì)姿態(tài)控制性能的影響，在仿真中假定外部干擾為零。三個(gè)執(zhí)行器被安裝在航天器本體坐標(biāo)系的三個(gè)主軸上。理想分配矩陣，不確定部分和實(shí)際分配矩陣假設(shè)如下：

實(shí)際分配矩陣由理想矩陣沿坐標(biāo)軸輕微偏轉(zhuǎn)1°獲得。仿真中考慮了控制力矩飽和0.5N·m。

仿真中考慮兩種情況：在情形A中，使用文獻(xiàn)[16]中的類(lèi)PD姿態(tài)控制器如下：

(36)

在情形B下，使用式(5)和式(11)中的控制器?？刂破鲄?shù)ks和β由式(16)和式(17)確定。φ設(shè)定為φ=0.0001。k設(shè)定為k=0.015以滿(mǎn)足條件。

情形A：本情形下使用式(5)和式(36)中的類(lèi)PD姿態(tài)跟蹤控制器，仿真計(jì)算結(jié)果如圖2～4所示。為了使結(jié)果直觀，將姿態(tài)誤差從姿態(tài)四元數(shù)轉(zhuǎn)換成歐拉角輸出。從圖2可知，由于執(zhí)行器安裝誤差，姿態(tài)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差達(dá)0.08°?？梢?jiàn)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安裝誤差對(duì)姿態(tài)控制精度有明顯的影響，因此在設(shè)計(jì)和分析高精度的姿態(tài)控制系統(tǒng)時(shí)應(yīng)考慮到執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝誤差的影響。

圖2 情形A下的姿態(tài)跟蹤誤差Fig.2 Attitude tracking errors in case A

圖3 情形A下的角速度跟蹤誤差Fig.3 Angular velocity tracking errors in case A

圖4 情形A下的控制力矩Fig.4 Control torqueτin case A

情形B：在這種情況下，系統(tǒng)使用式(5)和式(11)中提出的姿態(tài)跟蹤控制器。姿態(tài)角跟蹤誤差、姿態(tài)角速度跟蹤誤差和控制力矩如圖5～7所示。由圖5可以看出，相比情形A，穩(wěn)態(tài)誤差大大減少至0.008°。從圖4和圖7可見(jiàn)，在穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，兩種情況下的控制力矩是相似的。因?yàn)閮蓚€(gè)控制器幾乎是相同的，除了情形B中控制器相比前者多了一個(gè)附加項(xiàng)kSAT(s,φ)。可見(jiàn)雖然附加項(xiàng)kSAT(s,φ)的值較小，但顯然它對(duì)于抑制執(zhí)行器安裝誤差的影響是有效的。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文理論，并證明了所提出的控制方案的有效性。

圖5 情形B下的姿態(tài)跟蹤誤差Fig.5 Attitude tracking errors in case B

圖6 情形B下的角速度跟蹤誤差Fig.6 Angular velocity tracking errors in case B

圖7 情形B下的控制力矩Fig.7 Control torque τ in case B

5 結(jié) 論

研究了考慮執(zhí)行器安裝誤差和外部干擾的航天器姿態(tài)跟蹤問(wèn)題，并針對(duì)問(wèn)題提出了一種魯棒控制律。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，除了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性外，還給出了明確的跟控制參數(shù)相關(guān)的姿態(tài)跟蹤誤差上界。仿真結(jié)果表明，與具有相同控制增益的常規(guī)控制器相比，所提出的控制器能大大減少姿態(tài)跟蹤誤差。因此，可以得出結(jié)論，該控制器能有效地克服執(zhí)行器安裝偏差和外部干擾對(duì)姿態(tài)控制的影響。

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通信地址：哈爾濱市南崗區(qū)一匡街2號(hào)科學(xué)園B3棟3012信箱(150080)

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吳寶林(1983-)，男，副教授，主要從事衛(wèi)星姿態(tài)控制，姿態(tài)協(xié)同控制研究。本文通信作者。

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Robust Spacecraft Attitude Tracking Control with Actuator Misalignments

LI Dong-bai, XIE Yan-hao, WU Bao-lin

(Research Center of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)

A sliding mode control-based robust control law is proposed to deal with the problem of spacecraft attitude tracking considering actuator misalignments and external disturbances.The control torque errors due to actuator misalignments are considered in the proposed control law, and its effects on attitude control performance are suppressed. Besides showing stability, explicit bound on the attitude tracking errors is given in terms of design parameters. Simulation results show the effectiveness of the proposed control scheme.

Spacecraft; Attitude tracking; Actuator misalignment; Robust control

2016-05-26;

2017-01-18

國(guó)家自然科學(xué)基金(61503093,91438202)；哈爾濱工業(yè)大學(xué)資助項(xiàng)目(AUGA5710053114)；微小型航天器技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金(HIT.KLOF.MST.201502)

V448.2

A

1000-1328(2017)06-0598-07

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.06.006

李冬柏(1980-)，男，副研究員，主要從事衛(wèi)星姿態(tài)控制，軌道控制研究。