巧解生活中的數(shù)學(xué)難題

蔣邕平++蔣科新?お?

[摘要]研究一些生活中的數(shù)學(xué)難題的解法，可以開闊學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生思維.

[關(guān)鍵詞]巧解；數(shù)學(xué)難題；生活

[中圖分類號]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]16746058（2017）17002802

數(shù)學(xué)是思維的體操.數(shù)學(xué)是神奇的、有魅力的，它在更深的層面上揭開了自然界和人類社會的內(nèi)在規(guī)律.數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活.數(shù)學(xué)是一種思維方法、一種推理方法.數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)的靈魂，是分析和解決問題的基礎(chǔ)、導(dǎo)向和金鑰匙.下面我們來看看如何用智慧巧解數(shù)學(xué)難題.

【例1】（農(nóng)夫分牛問題）農(nóng)夫養(yǎng)牛17頭，臨死前要把這17頭牛分給自己的3個兒子.遺囑是這樣的：老大得1/2，老二得1/3，老三得1/9.既不能把牛殺死，也不能賣了分錢.農(nóng)夫死后，兄弟3人怎么分呢？

這是著名的農(nóng)夫分牛問題.在許多趣味數(shù)學(xué)書中有收錄，但是都沒有給出解題的思路和隱藏的數(shù)學(xué)問題.

解：先借鄰居一頭牛，就好分了.這樣，老大得到18的1/2為9頭，老二得到1/3為6頭，老三得到1/9為2頭，合計剛好為17頭，剩下1頭牛還給鄰居.

這樣分牛方法到底合理嗎？也就說，老大、老二和老三得到的牛數(shù)是否真的與農(nóng)夫的遺囑絲毫不差？我們來看下面的數(shù)學(xué)證明過程.

證明：第一次分后，老大得17×1/2頭牛，老二得17×1/3頭牛，老三得17×1/9頭牛.按照農(nóng)夫的遺囑，第一次分后，不能夠把17頭牛完全分完，還剩下17/18頭牛.必須按照遺囑繼續(xù)分掉剩下的牛.

第二次分后，牛也沒有分完，還剩下牛17/182，繼續(xù)分牛.

繼續(xù)分下去，這是一個收斂的無窮級數(shù)，也就是說，老大得到的牛頭數(shù)為17×1/2+17/18×1/2+17/182×1/2+7/183×1/2+……

老二得的牛頭數(shù)為17×1/3+17/18×1/3+17/182×1/3+17/183×1/3+……

老三得的牛頭數(shù)為17×1/9+17/18×1/9+17/182×1/9+7/183×1/9+……

計算級數(shù)1/18+1/182+1/183+……=1/17，經(jīng)過級數(shù)計算可見，分牛方法完全合理.

【例2】1元錢一瓶汽水，喝完后兩個空瓶換一瓶汽水，問：你有20元錢，最多可以喝到幾瓶汽水？

解：第一次可買到20瓶，喝完后有20個空瓶；第二次可換到10瓶，喝完后有10個空瓶；第三次可換到5瓶，喝完后有5個空瓶；第四次可換到2瓶，剩一個空瓶，喝完后有共有3個空瓶；第五次可換到1瓶，剩一個空瓶，喝完后有共有2個空瓶；第六次可換到1瓶，喝完后有1個空瓶，可借1個空瓶，共2個空瓶；第七次可換到1瓶，喝完后剩1個空瓶，可還上借的那個空瓶.因此一共可喝到40瓶.

【例3】有只猴子在樹林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家離香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多能背50根，可是猴子嘴饞，每走一米要吃一根香蕉，問猴子最多能背幾根香蕉回家？

解：猴子先背50根到25米處，這時，吃了25根，還有25根，放下.回頭再背剩下的50根，走到25米處時，又吃了25根，還有25根.再拿起地上的25根，一共50根，繼續(xù)往家走，一共25米，要吃25根，還剩25根到家.

【例4】假設(shè)有一個池塘，里面有無窮多的水.現(xiàn)有2個空水壺，容積分別為5升和6升.問題是如何利用這2個水壺從池塘里取得3升的水？

解：先用5升壺裝滿水后倒進(jìn)6升壺里，再將5升壺裝滿水向6升壺里倒，使6升壺裝滿水為止，此時5升壺里還剩4升水；將6升壺里的水全部倒掉，將5升壺里剩下的4升水倒進(jìn)6升壺里，此時6升壺里只有4升水，再將5升壺裝滿水，向6升壺里倒，使6升壺里裝滿水為止，此時5升壺里就只剩下3升水了.

【例5】某沙漠通訊班接到緊急命令，讓他們火速將一份情報送過沙漠.現(xiàn)在已知沙漠通訊班成員只有靠步行穿過沙漠，每個人步行穿過沙漠的時間均為12天，而每個人最多只能帶8天的食物，請問，在假定每個人飯量大小相同，且所能帶的食物相同的情況下，沙漠通訊班能否完成任務(wù)？如果能，那么最少需要幾人才能將情報送過沙漠，怎么送？

解： 最少需要3人才能將情報送過沙漠.

因最后一個人過沙漠送情報，12-8=4，需要別人為他提供4天的食物.8-4=4.

在第四天返回的人共用4×2=8天的食物.8-8=0，自帶食物無剩余.應(yīng)有別人為他們提供4天的食物.（8-4）/2=2.為他們提供食物的人在第二天返回.三人同行.走二天后，一人給另兩人各兩天食物，自帶兩天食物返回. 走四天后，第二人給第三人兩天食物，自帶四天食物返回.

這時第三人有8-2+2-2+2=8天的食物.第三人一共可行8+4=12天.

【例6】某醫(yī)院有一架天平，只剩下兩個砝碼，一個是5克，另一個是30克，如何用這兩個砝碼，在天平上只稱兩次就把300克的藥品分成兩份，一份100克，一份200克？寫出簡要的操作過程.

解：將5克和30克砝碼一起放上，稱量出35克藥品.然后用稱量出的35克藥品和5克及30克砝碼一起做砝碼，稱量出70克藥品.將稱量出的70克藥品和做砝碼的30克藥品放在一起，100克藥品就稱出來了，剩下的就是200克藥品.

【例7】媽媽讓小明燒水給客人沏茶，燒開水要用15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘，小明估算了一下，完成這些工作要20分鐘，為了使客人早點喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？

解：先洗水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，在等待開水的過程中，同時洗茶杯，拿茶葉，水開了就沏茶，總共用了16分鐘.

又因為燒開水的15分鐘不能減少，燒水前必須洗水壺，所以用16分鐘是最少的.

【例8】用一個平底鍋來烙餅，每次能同時放兩塊餅，如果烙一塊餅需要兩分鐘（正、反面各需1分鐘），那么烙3塊餅至少需要多少分鐘呢？

解：假設(shè)三張餅分別是1、2、3，兩面分別為A、B.第一分鐘：烙1A、2A，第二分鐘：烙1B、3A，第三分鐘：烙2B、3B，就都烙好了， 所以至少需要3分鐘.

【例9】6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘.現(xiàn)在只有這一個水龍頭可用，問怎樣安排這6人的打水次序，可使他們總的等候時間最短？這個最短時間是多少？

解：第一個人接水時，包括他本人在內(nèi)，共有6個人等候，第二個人接水時，有5個人等候……第6個人接水時，只有他1個人等候.可見，等候的人越多（一開始時），接水時間應(yīng)當(dāng)越短，這樣總的等候時間才會最少.因此，應(yīng)當(dāng)把接水時間按從少到多的順序排列等候接水，這個最短時間是36+45+54+63+72+10=100（分鐘）.

【例10】如圖，某工地A有20輛卡車，要把60車渣土從A運到B，把40車磚從C運到D.問：如何調(diào)運最省汽油？

方案一：如果各派10輛車分別運渣土和磚，那么每運一車渣土要空車跑回300米，

每運一車磚則要空車跑回360米，這樣到完成任務(wù).總共空車跑了300×60+360×40=32400（米）.

方案二：如果一輛從A→B→C→D→A跑一圈，

那么每運一車渣土、運一車磚要空車跑240+90=330米.

因此，先派20輛車都從A開始運渣土到B，再空車開往C運磚到D后空車返回A，

這樣每輛車跑兩圈就完成了運磚任務(wù).

然后再派這20輛車都從A運渣土到B再空車返回A，則運渣土任務(wù)也完成了.

這里總共空車跑了330×40+300×20=19200（米）.

方案二比方案一減少跑空車13200米，這是最佳節(jié)油的調(diào)運方案.

（責(zé)任編輯黃桂堅）